Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Как найти координаты вектора в базисе

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:

Обратная матрица А -1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.

Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c

Пример №2 . Даны векторы Даны векторы в некотором базисе метод крамера. Показать, что векторы Даны векторы в некотором базисе метод крамераобразуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора Даны векторы в некотором базисе метод крамерав этом базисе:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .

A -1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:

X = A -1 ·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75 /182-1 46 /911 9 /13
-13 /141 2 /7-1
5 /1821 3 /91-1 2 /13

Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)

Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.

Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (Даны векторы в некотором базисе метод крамера, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид Даны векторы в некотором базисе метод крамера Даны векторы в некотором базисе метод крамера
Решим полученную систему уравнений.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvy

Метод Крамера онлайн

Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

Метод Крамера

Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.

Пусть задана следующая система линейных уравнений:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера(1)

Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением

Ax=b(2)

где A -основная матрица системы:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера(3)

а x и b − векторы столбцы:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

первый из которых нужно найти, а второй задан.

Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A -1 . Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A -1 , получим:

A -1 Ax=A -1 b.

Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A -1 A=E), получим

x=A -1 b.(4)

Обратная матрица имеет следующий вид:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера(5)

где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.

Даны векторы в некотором базисе метод крамера
Даны векторы в некотором базисе метод крамера

где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.

Мы получили формулы Крамера:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера

  1. Вычислить определитель Δ основной матрицы A.
  2. Замена столбца 1 матрицы A на вектор свободных членов b.
  3. Вычисление определителя Δ1 полученной матрицы A1.
  4. Вычислить переменную x11/Δ.
  5. Повторить шаги 2−4 для столбцов 2, 3, . n матрицы A.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Примеры решения СЛУ методом Крамера

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где

Даны векторы в некотором базисе метод крамера.

Вычислим определитель основной матрицы A:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера.

Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера.

Вычислим определитель матрицы A1:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера.

Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера.

Вычислим определитель матрицы A2:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера.

Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера.

Вычислим определитель матрицы A3:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера.

Решение системы линейных уравнений вычисляется так:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера
Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на «−».

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на «+».

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:

Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера
Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера
Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:

Даны векторы в некотором базисе метод крамераДаны векторы в некотором базисе метод крамера
Даны векторы в некотором базисе метод крамера

Решение системы линейных уравнений вычисляется так:

Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.

Разложить вектор по базису Онлайн

Данный онлайн-калькулятор показывает подробное доказательство, что векторы , , образуют базис, и делает разложение вектора по базису векторов с указанием на все необходимые теоремы, также производится чертеж векторов на трёхмерном графике.

Запишите координаты своих векторов и нажмите кнопку.

Решить Очистить

Примечание: дробные координаты
записывайте через точку, а не запятую.

🔥 Видео

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера 2x2

Образуют ли данные векторы базисСкачать

Образуют ли данные векторы базис

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать

Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать

Решение системы трех уравнений по формулам Крамера

Линейная алгебра, 8 урок, Метод КрамераСкачать

Линейная алгебра, 8 урок, Метод Крамера

Координаты в новом базисеСкачать

Координаты в новом базисе

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать

Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математика

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать

Решение систем линейных алгебраических уравнений  методом Крамера.

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать

2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом Крамера

Метод КрамераСкачать

Метод Крамера

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координатыСкачать

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математика

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: