Решение:
Записываем матрицу перехода А:
и находим ее определитель
0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1 , f2 , f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R 3 .
Находим обратную матрицу А -1 .
Транспонированная матрица:
Обратная матрица А -1
Находим координаты вектора х относительно нового базиса.
Пример №1 . Даны векторы a, b, c и d . Установить, что векторы a , b , c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 — β*2 — γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c :
d = 1/2a + 1/2b — 3/2c
Пример №2 . Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:
Пример №3 . Даны два линейных преобразования:
х’1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х»1 = b11x’1 + b12x’2 + b13x’3,
х’2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х»2 = b21x’1 + b22x’2 + b23x’3,
х’3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х»3 = b31x’1 + b32x’2 + b33x’3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х»1, x»2, x»3 через х1, х2, х3.
х’1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х»1 = — x’1 + 3x’2 — 2x’3,
х’2 = 6x1 + 7x2 + x3, х»2 = — 4x’1 + x’2 + 2x’3,
х’3 = 9x1 + x2 + 8x3, х»3 = 3x’1 — 4x’2 + 5x’3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:
A = |
|
B = |
|
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 — 1*1) — 6*(3*8 — 1*5) + 9*(3*1 — 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1 : A -1 ·A·X = A -1 ·B, тогда получим E·X = A -1 ·B, или X = A -1 ·B.
Найдем обратную матрицу A -1 .
A -1 = -1/182 |
|
Матрицу Х ищем по формуле:
X = A -1 ·B = -1/182 |
| * |
| = |
|
Пример №4 . В декартовой прямой системе координат даны вершины пирамиды A(3,0,-1), B(-1,-2,-4), C(-1,2,4), D(7,-3,1). Найдите:
а) длину ребра AB;
б) косинус угла между векторами AB и AC ;
в) уравнение ребра AB;
г) уравнение грани ABC;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC;
е) координаты векторов e 1= AB , e 2= AC , e 3= AD и докажите, что они образуют линейную независимую систему;
ж) координаты вектора MN , где M и N – середины ребер AD и DC соответственно;
з) разложение вектора MN по базису ( e 1, e 2, e 3)
Решение. Пункты (а-д) решаются через онлайн калькулятор.
Задание 1 . Разложить вектор d =(8;-5) по векторам a =(1;-2) и b =(2;3).
Решение. Векторы a и b образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны).
Следовательно, вектор d = α a +β b , где α и β – коэффициенты, которые надо найти.
Таким образом, имеем равенство
8i-5j=α(i-2j)+β(2i+3j)=(α+2β)i+ (-2α+3β)j.
В координатной форме это равенство примет вид
Решим полученную систему уравнений.
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Метод Крамера онлайн
Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать
Метод Крамера
Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.
Пусть задана следующая система линейных уравнений:
(1) |
Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением
Ax=b | (2) |
где A -основная матрица системы:
(3) |
а x и b − векторы столбцы:
первый из которых нужно найти, а второй задан.
Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A -1 . Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A -1 , получим:
A -1 Ax=A -1 b. |
Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A -1 A=E), получим
x=A -1 b. | (4) |
Обратная матрица имеет следующий вид:
(5) |
где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.
где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.
Мы получили формулы Крамера:
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера
- Вычислить определитель Δ основной матрицы A.
- Замена столбца 1 матрицы A на вектор свободных членов b.
- Вычисление определителя Δ1 полученной матрицы A1.
- Вычислить переменную x1=Δ1/Δ.
- Повторить шаги 2−4 для столбцов 2, 3, . n матрицы A.
Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать
Примеры решения СЛУ методом Крамера
Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
. |
Вычислим определитель основной матрицы A:
. |
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
. |
Вычислим определитель матрицы A1:
. |
Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:
. |
Вычислим определитель матрицы A2:
. |
Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:
. |
Вычислим определитель матрицы A3:
. |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на «−».
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на «+».
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:
Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼ |
Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼ |
Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼ |
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Видео:Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать
Разложить вектор по базису Онлайн
Данный онлайн-калькулятор показывает подробное доказательство, что векторы , , образуют базис, и делает разложение вектора по базису векторов с указанием на все необходимые теоремы, также производится чертеж векторов на трёхмерном графике.
Запишите координаты своих векторов и нажмите кнопку.
Решить Очистить
Примечание: дробные координаты
записывайте через точку, а не запятую.
🔥 Видео
Решение системы уравнений методом Крамера 2x2Скачать
Образуют ли данные векторы базисСкачать
Математика Без Ху!ни. Система линейных уравнений. Метод Крамера.Скачать
Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать
№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать
Решение системы трех уравнений по формулам КрамераСкачать
Линейная алгебра, 8 урок, Метод КрамераСкачать
Координаты в новом базисеСкачать
Линейная алгебра: матрицы, определители, метод Крамера. Высшая математикаСкачать
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.Скачать
2 минуты на формулы Крамера ➜ Решение систем уравнений методом КрамераСкачать
Метод КрамераСкачать
Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать
№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координатыСкачать
Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать