На окружности случайно выбирается

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Сущность парадокса Бертрана

Некоторые задачи по теории вероятности требуют геометрического подхода, например, попадание орудия в мишень. В таких задачах предполагается, что все случайные точки распределены равномерно на некоторой области. Степень вероятности попадания в произвольную часть данной области пропорциональна площади, т.е. объему или длине. Из-за таких вероятностей возникает ряд парадоксов. К примеру, шансы попадания в центр мишени равны нулю. Но с другой стороны, в эту точку можно попасть. Из этого следует, что необходимо различать события, которые происходят с нулевой вероятностью, и невозможные события.

Парадокс Бертрана является проблемой классического определения теории вероятностей. Ж. Бертран описал данный парадокс в своей работе как пример того, что невозможно четко определить вероятность, пока не выбран метод или механизм определения случайной величины.

Для заданной окружности выбирается хорда случайным образом. Необходимо определить вероятность того, что данная хорда длиннее, чем сторона правильного треугольника, который вписан в окружность. Согласно парадоксу, такая вероятность определяется неоднозначно, поскольку различные методы дают разные результаты. Бертран рассмотрел три метода решения, которые описаны ниже (рисунок 1).

Рисунок 1. Методы решения в парадоксе Бертрана. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Первый метод. В круге случайным образом выбирается точка. Данная точка определяет одну единственную хорду, для которой она является серединой. Эта хорда будет длиннее стороны правильного треугольника только в том случае, если ее середина расположена внутри круга, который вписан в треугольник. Радиус такого круга равняется 1/2 радиуса исходного, таким образом, площадь вписанного круга равна 1/4 исходного. Из этого следует, что вероятность нахождения внутри вписанного круга случайно выбранной точки равна 1/4.

Готовые работы на аналогичную тему

Второй метод. По соображениям симметрии считается, что один конец хорды – это фиксированная произвольная точка, расположенная на окружности. Пускай такой точкой будет вершина треугольника, вписанного в окружность. Другой конец хорды выбирается случайно. Вершины треугольника разделяют окружность на три одинаковые дуги, а случайная хода будет длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает данный треугольник. Таким образом, искомая вероятность равна 1/3.

Третий метод. Равномерно и случайным образом выбирается точка на радиусе окружности, а хорда располагается перпендикулярно данному радиусу и проходит через определенную нами точку. В этом случае случайная хорда будет длиннее стороны треугольника, вписанного в круг, если случайная точка находится на половине радиуса, расположенной ближе к центру. По соображениям симметрии не имеет значения, какой радиус выбран для построения, а искомая вероятность равняется 1/2.

С одной стороны, рассуждения во всех трех рассмотренных случаях верны, но при этом вероятность одного и того же события разная. Это объясняется тем, что рассматривались три совершенно разные задачи, т.е. мерой в трех случаях были различные множества:

• В первом методе мерой множества являлась площадь, на которой располагались рассматриваемые точки, и вычислялось отношение этих двух площадей.
• Во втором методе мерой множества точек, которые попадали в определенный угол, была величина соответствующего угла, а вычислялось отношение двух углов.
• В третьем же методе хорда «перемещалась» по диаметру и, рассматривая отрезок в качестве меры множества точек, расположенных на нем, вычислялось отношение длины этих отрезков.

Видео:КАК НУБУ И ПРО ВЫЖИТЬ В КРАСНОМ КРУГЕ 24 ЧАСА МАЙНКРАФТ НУБИК И ПРО ТРОЛЛИНГ ЛОВУШКА MINECRAFTСкачать

Классическое решение и решение Джейнса

Классическое решение зависит от метода, с помощью которого выбрана хорда. Когда метод выбора задан, только тогда у проблемы есть четкое определенное решение. Методы выбора не уникальны, поэтому единственного решения не существует. Три решения, которые были представлены Бертраном, соответствовали различным методам выбора, а отсутствие дополнительных данных не является основанием выбора какого-либо одного метода.

Э. Джейнс в своей работе предложил метод решения парадокса Бертрана, который бал основан на принципе неопределенности: не обязательно использовать данные, которые не даны по условию. Джейнс заметил, что в проблеме Бертрана положение или размер круга не задается, поэтому утверждал, что в данном случае любые объективные и точные решения не должны зависеть от размера и положения.

Видео:Геометрическая вероятностьСкачать

Парадокс Бертрана в экономике

В коммерции и экономике парадокс Бертрана описывает ситуацию, когда два игрока достигают равновесия Нэша По данной теме мы уже выполнили контрольную работу «Теорема Эрроу» подробнее . Другими словами, две фирмы устанавливают цену, которая равна предельным издержкам.

Основой парадокса Бертрана является предпосылка, которая состоит в том, что моделях, подобных модели конкуренции Курно, увеличение количества предприятий связано с приближением цен к величине предельных издержек. В данных моделях парадокс Бертрана существует в олигополии небольшого числа предприятий, которые имеют положительную прибыль, устанавливая цены выше себестоимости.

Например, два предприятия А и В продают однородную продукцию, у каждого из которых одинаковая стоимость производства, а также распределения. Таким образом, покупатели отдают предпочтение тому или иному товару, основываясь только на его стоимости. Это значит, что спрос будет бесконечно эластичным по стоимости. Ни предприятие А, ни В не установят более высокую стоимость, чем другие, так как это станет причиной нарушения парадокса Бертрана.

Также может присутствовать и дополнительное равновесие в парадоксе Бертрана при смешанной стратегии и положительной экономической прибыли, если монопольная сумма бесконечна. При конечной прибыли невозможна положительная прибавка, поскольку существует ценовая конкуренция.

На реальной жизни парадокс Бертрана довольно редко встречается, так как продукты в большинстве случаев дифференцируются другим способом, помимо цены. У фирм имеются ограничения на собственные возможности по производству продукции и ее распространению. Поэтому у двух схожих предприятий редко наблюдаются одинаковые затраты.

Видео:Я УМЕНЬШИЛСЯ И ПРОВЁЛ 24 ЧАСА ВНУТРИ КРАСНОГО КРУГА В МАЙНКРАФТ | Компот MinecraftСкачать

План-конспект урока по математике. Тема: «Геометрическая вероятность»

«Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики в основной школе» (36 часов) вариативный модуль.

Итоговая работа выполнена Ковалевой Галиной Александровной , учителем математики МОУ «СОШ №14 с УИОП», г. Сергиев Посад, гр. 199

Тема урока: «Геометрическая вероятность»

Цель урока: ввести определение геометрической вероятности

Задачи: рассмотреть определение геометрической вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости, при выборе точки из отрезка, из дуги окружности, при выборе точки из числового отрезка; добиться качественного понимания этого определения; научиться применять его при решении задач.

Тип урока: лекционно-семинарский

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Организационный момент формулирование темы урока

Учитель просит учеников дать классическое определение вероятности и предлагает задачу.

Задача о монете.

На тетрадный лист в линейку наудачу бросается рублевая монета. Расстояние между линейками равно 8 мм, диаметр монеты 20 мм. Какова вероятность того, что монета пересечет

а) две линии б) три линии?

Ученики должны рассмотреть все возможные элементарные события в этом опыте и убедиться, что монета пересекает 2 или 3 линии. Важно подвести учеников к мысли, что исходы опыта можно связать с расстоянием от центра монеты до ближайшей линейки.

Результатом работы с этой моделью должно быть, что количество возможных исходов (элементарных событий) в этом опыте бесконечно много! Это числа из отрезка [0; 4]. Благоприятствующих элементарных событий, соответствующих а) и б) тоже бесконечно много…

КАК ПОСЧИТАТЬ ВЕРОЯТНОСТЬ?

Геометрическое определение вероятности при выборе точки из фигуры на плоскости

Ученикам предлагается рассмотреть следующую задачу (фронтальная работа с обсуждением, причем учителю следует вводить определение после попыток учеников самостоятельно ответить на вопрос задачи).

Точку наудачу бросают в область F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадет в некоторую область G , которая содержится в фигуре F ?

Если предположить, что попадание в любую точку области F равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в область G будет равна отношению площадей области G и области F , то есть

, где

Такое определение вероятности называется геометрическим.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F , поэтому P ( A )≤1.

Имеет смысл после введения определения поработать над качественным пониманием его, предложив следующий пример:

Выберем на географической карте мира случайную точку (зажмурили глаза и показали указкой).

— Какова вероятность что эта точка окажется в России? (Для ответа на вопрос нужно знать какую часть всей карты занимает Россия)

— Какова вероятность попасть в Гринвичский меридиан (Как ни странно, придется положить ее равной 0, так как площадь меридиана равна 0 – попасть указкой точно в меридиан невозможно)

4 . Решение задач

Точку наудачу бросают в квадрат, сторона которого равна 1. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем

Решение этой задачи провести при фронтальном обсуждении его. У доски может работать ученик или учитель (зависит от подготовленности аудитории)

S _F =1 (площадь исходного квадрата)

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G .

S _G = S _F – S _ABCD = 1 — =

Если A = <расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата не больше, чем >, то

P ( A ) = : 1 =

Ответ:

Ученикам предлагается самостоятельно по вариантам решить следующие задачи:

В квадрате случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка не принадлежит вписанному в этот квадрат кругу.

В круге случайным образом берется точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в этот круг квадрату.

После решения эти задачи необходимо проверить и обсудить решения (слайд презентации, или подготовленная запись решения на откидной доске)

Пусть сторона квадрата равна a , тогда r = a

S _кр = π r 2 = π a 2

S _A – площадь заштрихованной области квадрата

S _A = S _кв — S _кр = a 2 — π a 2 = a 2

P (A) = = Ответ :

Пусть радиус круга равен a .

Тогда S _кр = π a 2

AB = a

P (A) = =

Ответ :

Если темп урока позволяет, имеет смысл задать дополнительные вопросы по этим задачам (вероятности попадания в другие, указанные учителем, области)

Геометрическое определение вероятности при выборе точки из отрезка, дуги окружности; при выборе точки из числового отрезка

5.1 Случайный выбор точки X из отрезка MN можно понимать так, будто точку X случайным образом «бросают» на отрезок MN . Элементарным событием в этом опыте может стать выбор любой точки отрезка. Рассмотрим пример:

Пусть отрезок CD содержится в отрезке MN . Нас интересует событие A , состоящее в том, что выбранная точка X принадлежит отрезку CD .

Аналогично определению геометрической вероятности данному выше имеем

P ( A ) =

Учителю стоит обратить внимание учеников на аналогию рассматриваемого примера с приведенным выше. Отличие состоит только в мерности объектов. И опять следует подчеркнуть, что P ( A ) – число неотрицательное и не превосходящее 1, как и полагается для вероятности случайного события. Далее предлагается пример для фронтальной работы с ним. Пример предлагается ученикам как задача. Цель работы с ним – качественное понимание данного определения. Не стоит давать рисунок вместе с текстом, так как в нем содержится подсказка.

Внутри отрезка MN случайным образом выбирается точка X . Найдите вероятность того, что точка X ближе к N чем к M .

Решение

Пусть O – середина отрезка MN . Обозначим указанное событие через A . Это событие наступит только тогда, когда точка X лежит внутри отрезка ON . То есть P (A) = =

Ничего не меняется, если точка X выбирается не из отрезка, а из дуги некоторой кривой линии. Например, можно случайным образом выбирать точку X на окружности.

Пример: в окружность вписан квадрат ABCD . На окружности случайным образом выбирается точка M . Найдите вероятность того, что эта точка лежит на:

а) меньшей дуге AB

б) большей дуге AB

Учитель предлагает ученикам самостоятельно решить эту задачу. Проверка с помощью слайда или рисунка, заранее подготовленного на откидной доске.

Решение

A – указанное событие

а) P ( A ) =

б) P ( A ) =

5.3 Геометрическую вероятность можно применять к числовым промежуткам. Предположим, что случайным образом выбирается число x , удовлетворяющее условию

m ≤ x ≤ n . Этот опыт можно заменить опытом, в котором из отрезка [ m ; n ] на числовой прямой выбирается точка с координатой x .

Рассмотрим событие, состоящее в том, что точка с координатой x выбирается из отрезка

[ a ; b ], содержащегося в отрезке [ m ; n ].

Это событие обозначим ( a ≤ x ≤ b ). Его вероятность равна отношению длин отрезков [ a ; b ] и [ m ; n ].

P ( a ≤ x ≤ b ) =

Найти вероятность того, что точка, случайно выбранная из отрезка [0; 1], принадлежит отрезку []

Решение: P ( ≤ x ≤ ) = =

Учитель подводит итог на этом этапе урока, задавая ученикам следующие вопросы:

— с какой вероятностью познакомились на этом уроке?

— для каких случаев была рассмотрена эта вероятность?

Учитель еще раз обращает внимание учеников на аналогичность определения геометрической вероятности во всех случаях и возвращает к началу урока, к задаче о монете, предлагая ученикам теперь ее решить.

Решение задачи о монете

Вспомним, что положение монеты договорились оценивать по расстоянию от центра монеты до ближайшей линейке. Если обозначить это расстояние x , то множество всех исходов соответствует 0 ≤ x 4. Монета бросается на лист наудачу, это значит что все значения x из отрезка [0; 4] будут равновозможными.

Событие A = соответствует 2 x ≤ 4;

Событие B = соответствует 0 ≤ x ≤ 2.

По формуле геометрической вероятности получим

P ( A ) = =

P ( B ) = = .

Ответ:

Вероятности событий A и B получились одинаковыми. Стоит ученикам задать вопросы:

— можно ли это было предполагать с самого начала (нет)

— от чего эти результаты зависели (расстояние между линейками, размерами монеты).

Если темп работы аудитории позволяет, то хорошо бы успеть рассмотреть последним заданием урока задачу о встрече, как классический пример задачи, решение которой наглядно демонстрирует необходимость владения геометрическим определением вероятности.

Задача о встрече

Илья и Женя договорились встретиться у памятника Пушкину с 17.00 до 18.00. Пришедший первым ждет другого в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течении заданного часа?

Обозначим время прихода Ильи через X , а Жени — через Y (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 17 часов). Тогдо точка с координатами ( x , y ) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Oxy , изображенном на рисунке:

Каждая точка этого квадрата – это один из возможных исходов нашего эксперимента. Эксперимент завершается встречей, если выполняется условие | x — y | S =60 2 – 2 ▪ ▪ 30 ▪ 30 = 3600 – 900 = 2700

Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприятной» площади ко всей площади квадрата:

P= =

Ответ:

Видео:На отрезке [‐7;18] числовой оси случайным образом отмечают одну точку. Найти вероятность того,что..Скачать

Геометрическая вероятность

Цели и задачи: 1) Познакомить учащихся с одним из возможных способов задания

2) Повторение пройденного и закрепление навыков формализации

текстовых вероятностных задач с помощью геометрических фигур.

1) Знать определение геометрической вероятности выбора точки

внутри фигуры на плоскости и прямой;

2) Уметь решать простейшие задачи на геометрическую вероятность,

зная площади фигур или умея их вычислять.

I. Выбор точки из фигуры на плоскости.

Пример 1. Рассмотрим мысленный эксперимент: точку наудачу бросают на квадрат, сторона которого равна 1. Спрашивается, какова вероятность события, которое состоит в том, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата не больше чем ?

В этой задаче речь идет о так называемой геометрической вероятности.

Рассмотрим более общие условия опыта.

Точку наудачу бросают в фигуру F на плоскости. Какова вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G, которая содержится в фигуре F.

Ответ зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение «бросить точку наудачу».

Обычно это выражение трактуют так:

1. Брошенная точка может попасть в любую часть фигуры F.

2. Вероятность того, что точка попадает в некоторую фигуру G внутри фигуры F, прямо пропорциональна площади фигуры G.

Подведем итог: пусть и — площади фигур F и G . Вероятность события А «точка Х принадлежит фигуре G, которая содержится в фигуре F», равна

.

Заметим, что площадь фигуры G не больше, чем площадь фигуры F, поэтому

Вернемся к нашей задаче. Фигура F в этом примере квадрат со стороной 1. Поэтому =1.

Точка удалена от границы квадрата не более чем на , если она попала в заштрихованную на рисунке фигуру G. Чтобы найти площадь , нужно из площади фигуры F вычесть площадь внутреннего квадрата со стороной .

Тогда вероятность того, что точка попала в фигуру G, равна

Пример 2. Из треугольника АВС случайным образом выбирается точка Х. Найти вероятность того, что она принадлежит треугольнику, вершинами которого являются середины сторон треугольника.

Решение: Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольников. Значит,

Вероятность того, что точка Х принадлежит треугольнику KMN, равна:

Вывод. Вероятность попадания точки в некоторую фигуру прямо пропорциональна площади этой фигуры.

Задача. Нетерпеливые дуэлянты.

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется. В случае же прибытия последнего в эти 5 минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Решение: Пусть х и у обозначают время прибытия 1-го т 2-го дуэлянтов соответственно, измеренное в долях часа начиная с 5 часов.

Дуэлянты встречаются, если , т. е. x —

📹 Видео

Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать

КАК НУБУ И ПРО ВЫЙТИ ИЗ КРАСНОГО КРУГА В МАЙНКРАФТ ? ПРОФЕССИОНАЛ ПРОТИВ ТРОЛЛИНГ ЛОВУШКА ВЫЖИВАНИЕСкачать

НУБ И ПРО, НО НЕЛЬЗЯ ВЫХОДИТЬ ЗА КРАСНЫЙ КРУГ МАЙНКРАФТ ! ПРОФЕССИОНАЛ И ТРОЛЛИНГ ВЫЖИВАНИЕ ЛОВУШКАСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

НАМ С ЖИТЕЛЯМИ НЕЛЬЗЯ ПОКИДАТЬ ДЕРЕВНЮ В КРАСНОМ КРУГЕ В МАЙНКРАФТ | Компот MinecraftСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

НУБ И ПРО ВЫЖИВАЮТ В КРУГЕ 24 ЧАСА В МАЙНКРАФТ ! НУБИК И ПРО ТРОЛЛИНГ ЛОВУШКА MINECRAFTСкачать

ЖИТЕЛИ СЛУЧАЙНО ЗАКРЫЛИСЬ В БЕДРОКОВОЙ КОМНАТЕ В МАЙНКРАФТ | Компот MinecraftСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

😱 Мой ДРУГ Выжил 100 Дней в КРУГУ и ВЫИГРАЛ 100,000 РУБЛЕЙ в Майнкрафт ! ВЛАДУССкачать

ПРО ЗАСУНУЛ НУБА В БУТЫЛКУ ТЕРРАРИУМ В МАЙНКРАФТ ! МАЛЕНЬКИЙ НУБИК И ТРОЛЛИНГ ЛОВУШКА В MINECRAFTСкачать

Я прожил 100 Дней в ЭТОМ КРАСНОМ КРУГУ в Майнкрафт…Скачать

Я ЗАКРЫЛ ВСЕХ ЖИТЕЛЕЙ ВНУТРИ ПОРТАЛА В МАЙНКРАФТ | Компот MinecraftСкачать

ЖИТЕЛИ ОТДЕЛИЛИ МОЙ ДОМ ОТ ВСЕЙ ДЕРЕВНИ В МАЙНКРАФТ | Компот MinecraftСкачать

ЛАБИРИНТ КОМПОТА ПРОТИВ ЛАБИРИНТА ЖИТЕЛЯ В МАЙНКРАФТ | Компот MinecraftСкачать