Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

Векторное произведение векторов онлайн

Данный онлайн калькулятор вычисляет векторное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления векторного произведения векторов введите координаты векторов в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:№403. Запишите координаты векторов: a = 3i+2j—5k, b=—5i + 3k — k, c=i — j, d = j+k, mСкачать

№403. Запишите координаты векторов: a = 3i+2j—5k, b=—5i + 3k — k, c=i — j, d = j+k, m

Векторное произведение векторов

Прежде, чем перейти к определению векторного произведения векторов, рассмотрим понятия упорядоченная тройка векторов, левая тройка векторов, правая тройка векторов.

Определение 1. Три вектора называются упорядоченой тройкой (или тройкой ), если указано, какой из этих векторов первый, какой второй и какой третьий.

Запись cba — означает — первым является вектор c, вторым является вектор b и третьим является вектор a.

Определение 2. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, эти векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой(левой) руки.

Определение 2 можно формулировать и по другому.

Определение 2′. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой ( левой ), если при приведении к общему началу, вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Тройка векторов abc, изображенная на рис. 1, является правой, а тройка abc изображенная на рис. 2, является левой.

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

Если две тройки векторов являются правыми либо левыми, то говорят, что они одной ориентации. В противном случае говорят, что они противоположной ориентации.

Определение 3. Декартовая или афинная система координат называется правой ( левой ), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Определение 4. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый символом c=[ab] (или c=[a,b], или c=a×b) и удовлетворяющий следующим трем требованиям:

  • длина вектора с равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
    |c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;(1)
  • вектор с ортогонален к каждому из векторов a и b;
  • вектор c направлен так, что тройка abc является правой.

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

  • [ab]=−[ba] ( антиперестановочность сомножителей);
  • [(λa)b]=λ[ab] ( сочетательность относительно числового множителя);
  • [(a+b)c]=[ac]+[bc] ( распределительность относительно суммы векторов);
  • [aa]=0 для любого вектора a.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Геометрические свойства векторного произведения векторов

Теорема 1. Для коллинеарности двух векторов необходимо и достаточно равенство нулю их векторного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы a и b коллинеарны. Тогда угол между ними 0 или 180° и sinφ=sin180=sin 0=0. Следовательно, учитывая выражение (1), длина вектора c равна нулю. Тогда c нулевой вектор.

Достаточность. Пусть векторное произведение векторов a и b навно нулю: [ab]=0. Докажем, что векторы a и b коллинеарны. Если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то эти векторы коллинеарны (т.к. нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать коллинеарным любому вектору).

Если же оба вектора a и b ненулевые, то |a|>0, |b|>0. Тогда из [ab]=0 и из (1) вытекает, что sinφ=0. Следовательно векторы a и b коллинеарны.

Теорема 2. Длина (модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.

Доказательство. Как известно, площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними. Следовательно:

S=|[ab]|=|a||b|sinφ.(2)

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Векторное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 3. Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a=<x1, y1, z1>, b=<x2, y2, z2>.

Тогда векторное произведение этих векторов имеет вид:

[ab]=<y1z2y2z1, z1x2z2x1, x1y2x2y1>.(3)

Для запоминания формулы (3) удобно представить векторное произведение векторов в виде определителя:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

Раскрывая определитель по элементам первой строки мы получим разложение вектора a×b по базису i, j, k, которое эквивалентно формуле (3).

Доказательство теоремы 3. Составим все возможные пары из базисных векторов i, j, k и посчитаем их векторное произведение. Надо учитывать, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину (иными словами можно предполагать, что i=, j=, k=). Тогда имеем:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите(4)
Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

Из последнего равенства и соотношений (4), получим:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

которая эквивалентна равенству (3).

Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

Векторное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти векторное произведение векторов [ab], где

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите, Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Пример 2. Найти векторное произведение векторов [ab], где вектор a представлен двумя точками. Начальная точка вектора a: Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите, конечная точка вектора a: Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите, вектор b имеет вид Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Р е ш е н и е. Переместим первый вектор на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки координаты начальной точки:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов a и b:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов a и b:

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислитеДаны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите.

Таким образом, результатом векторного произведения векторов a и b будет вектор:

Видео:№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координатыСкачать

№409. Даны векторы а{5; —1; 1}, b { — 2; 1; 0}, с {0; 0,2; 0} и d {-⅓;2⅖; -1/7}. Найдите координаты

Задача 22494 3. Даны векторы vector =.

Условие

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

3. Даны векторы vector = 2vector-vector+3vector, vector = vector-3vector+2vector, с = 3vector+2vector-4vector. Найти вектор vector, если vector*vector = -5, vector*vector = -11, vector*vector = 20.

Решение

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

Пусть вектор vector=(m;n;p)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат

vector*vector=-11, значит
m-3n+2p=-11

vector*vector=20, значит
3m+2n-4p=20

Умножаем третье на 5, второе на 7
<2m-n+3p=-5
<-35m-49p=28
<35m+10p=50
Складываем второе и третье
-39р=78
р=-2
m=(10-2p)/7=(10+4)/7=2
n=2m+3p+5=2*2+3*(-2)+5=4-6+5=3

Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Векторное произведение векторов.

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите
рис. 1

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = < ax ; ay ; az > и b = < bx ; by ; bz > в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Свойства векторного произведения векторов

SΔ =1| a × b |
2

Видео:№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координатыСкачать

№411. Даны векторы а{ — 1; 1; 1}, b{0; 2; —2}, с { — 3; 2; 0} и d{ — 2; 1; —2}. Найдите координаты

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

a × b =ijk=
123
21-2

= i (2 · (-2) — 3 · 1) — j (1 · (-2) — 2 · 3) + k (1 · 1 — 2 · 2) =

Даны вектора а 5i 2j 4k и b 3j 2k вычислите

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b =ijk=
-12-2
21-1

= i (2 · (-1) — (-2) · 1) — j ((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k ((-1) · 1 — 2 · 2) =

Из свойств векторного произведения:

SΔ = 1 2 | a × b | = 1 2 √ 0 2 + 5 2 + 5 2 = 1 2 √ 25 + 25 = 1 2 √ 50 = 5√ 2 2 = 2.5√ 2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🌟 Видео

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

The Vectors AB=3i+4k, AC=5i-2j+4k are the sides of a triangle ABC. The length of the median throughСкачать

The Vectors AB=3i+4k, AC=5i-2j+4k are the sides of a triangle ABC. The length of the median through

Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать

Длина вектора через координаты. 9 класс.

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:Скачать

№770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b , если:

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.Скачать

Математика без Ху!ни. Угол между векторами, применение скалярного произведения.

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором? | TutorOnlineСкачать

Как выражать вектор? Как решать задачу с вектором?  |  TutorOnline

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: