Видео:Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать
We are checking your browser. mathvox.ru
Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6d98ed7a5bad005d • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Видео:Секретная формула биссектрисы треугольника плюс Задача из экзамена 9 классСкачать
Биссектриса треугольника
Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.
Определение . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).
Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.
На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD .
Теорема 1 . Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Доказательство . Продолжим сторону AC треугольника ABC , изображенного на рисунке 1, за точку A . Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD . Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).
Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD , поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD . Заметим также, что угол BEA равен углу DAC , поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD . Таким образом, угол EBA равен углу BEA , откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.
Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:
что и требовалось доказать.
Следствие 1 . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения
b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.
что и требовалось доказать.
Следствие 2 . Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O .
Тогда справедлива формула:
что и требовалось доказать.
Теорема 2 . Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.
Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:
Доказательство . Из рисунка 5 следует формула
Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC , получаем:
что и требовалось доказать.
Теорема 3 . Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:
Доказательство . Рассмотрим рисунок 6
откуда с помощью Теоремы 2 получаем:
что и требовалось доказать.
Задача . Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высота CE .
Доказать, что выполнено равенство:
Решение . Поскольку CD – биссектриса угла ACB , то
Поскольку CE – высота, то
что и требовалось доказать.
Из решения этой задачи вытекает простое следствие.
Следствие . Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:
Видео:Теорема Стюарта | формулы для биссектрисы треугольника и медианыСкачать
Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника
Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника
Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:
· длины прилежащих сторон и угол между ними
· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону
· длины трех сторон треугольника.
Докажем первую из формул.
Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.
Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что
.
Обозначим биссектрису AD через la .
.
Используя формулу синуса двойного угла, получаем:
.
Ответ: .
Выражение 
называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу 
можно запомнить следующим образом:
биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.
Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».
Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника: 
Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD — биссектриса, AD=12.
,
Вычислим 
, получаем:
, 
.
(по основному тригонометрическому тождеству).
Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем
.
Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой 
.
Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD
проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.
Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем
, то есть 
.
Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому 
Ответ :
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, 
BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.
3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.
4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.
🔥 Видео
Как найти биссектрису по двум сторонам и углу между ними? Вывод формулыСкачать
Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать
Секретные формулы биссектрисы треугольника!😉❤️🔥#математика #егэСкачать
Как вывести формулу длины биссектрисы | Параметр | mathus.ru #егэ2024Скачать
Длина биссектрисы треугольникаСкачать
ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Первая формула нахождения длины биссектрисы угла треугольника.Скачать
11 класс, 46 урок, Теорема о биссектрисе треугольникаСкачать
Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать
✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать
Найдите биссектрису треугольникаСкачать
56 Длина биссектрисы треугольникаСкачать
Построение биссектрисы в треугольникеСкачать
Планиметрия_Высоты и биссектрисы треугольника_01Скачать
Как решать задачу №16 ЕГЭ математика | Биссектрисы треугольникаСкачать
