Даны точки найти абсолютную величину вектора

Планиметрия. Страница 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

Рис.1 Обозначение векторов.

Координаты вектора

Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x₂-x₁ и y₂-y₁. Например, координаты вектора

с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут:

Координаты нулевого вектора равны нулю.

Абсолютная величина вектора — это его длина. А следовательно, ее можно определить как расстояние между двумя точками, начальной и конечной. Т.е.

Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.

Рис.2 Координаты вектора.

2.Сложение векторов

Пусть заданы два вектора со своими координатами

(b₁;b₂). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами

В векторной форме можно записать так:

Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма.

Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор

параллельным переносом так, чтобы конец вектора

совпадал с началом вектора

. Тогда начало вектора

и конец вектора

и будет сумма векторов

По методу параллелограмма, если два вектора

имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор

Разностью двух векторов

называется такой вектор

, который нужно прибавить к вектору

, чтобы получить вектор

Рис.3 Сложение векторов.

3.Умножение вектора на число

Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна:

Для любых двух векторов

число λ можно вынести за скобку λ (

Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что

Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен:

Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5)

Так как координаты вектора

(b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов

Рис.5 Скалярное произведение векторов.

Отсюда вытекает следующий вывод:

если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

6.Пример 1

Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Докажите равенство векторов

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Рис.6 Задача. Четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и x_AB = x_CD, y_AB = y_CD, то вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

от точки В (Рис.8).

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

, так же как вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

(-3;-2). Найдите вектор

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| 2 = (-1) 2 + (-4) 2 = 17

| =

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

A(2, 1)В(1, 1)С(2, — 1)Найти : Абсолютную величину и координаты вектора — 2АВ?

Геометрия | 5 — 9 классы

Найти : Абсолютную величину и координаты вектора — 2АВ.

В(1, 1) по идеи должно быть так.

Даны точки А( — 3 ; 1), В(1 ; — 2), С( — 1 ; 0)?

Даны точки А( — 3 ; 1), В(1 ; — 2), С( — 1 ; 0).

Найти : а)Координаты вектора АВ и АС.

Б)модули векторов АВ и АС.

В)Координаты вектора МК = 2АВ — 3АС.

Найти координаты вектора ВС если А 2 4 В — 2 — 6 С 0 7?

Найти координаты вектора ВС если А 2 4 В — 2 — 6 С 0 7.

A(3 ; — 2), B(1 ; — 1) найти координаты вектора АВ?

A(3 ; — 2), B(1 ; — 1) найти координаты вектора АВ.

Даны координаты точек А(6 ; — 1 ; 0), В( — 3 ; 4 ; 2) Найти : а) координаты вектора АВ и вектора ВА?

Даны координаты точек А(6 ; — 1 ; 0), В( — 3 ; 4 ; 2) Найти : а) координаты вектора АВ и вектора ВА.

Б)расстояние между точками А и В.

Найти координаты векторов?

Найти координаты векторов.

Даны векторы n(4 ; — 1) и m( — 5 ; 4)?

Даны векторы n(4 ; — 1) и m( — 5 ; 4).

Найти координаты суммы векторов n и m.

Знайти абсолютну величину вектора (4 ; 6)?

Знайти абсолютну величину вектора (4 ; 6).

Найти третью координату вектора если данные его координаты y = 4, z = — 3 и длина вектора равна 5?

Найти третью координату вектора если данные его координаты y = 4, z = — 3 и длина вектора равна 5.

Срочно?

Зарание спасибо тем кто поможет!

Даны точки А( — 2 ; 6), В( — 1 ; — 3).

1. Найти координаты вектора АВ.

2. Найти абсолютную велечену вектора а (6 ; — 8).

3. Найти длину вектора АВ, если А(3 ; 1), В(1 ; 2).

А(3 ; — 5) В( — 5 ; 1) а) найдите координаты точки О если вектор ВО = ОА б) Найдите координаты и абсолютную величину вектора ВОHepl pliss?

А(3 ; — 5) В( — 5 ; 1) а) найдите координаты точки О если вектор ВО = ОА б) Найдите координаты и абсолютную величину вектора ВО

Вы перешли к вопросу A(2, 1)В(1, 1)С(2, — 1)Найти : Абсолютную величину и координаты вектора — 2АВ?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

В данном случае нам понадобится узнать синус угла А, так как этот угол будет противолежащим стороне бц, а если мы его узнаем, то и узнаем сам радиус. Для этого находим угол а, угол А = 180 градусов — (угол С + угол Б) = 180 — (64 + 56) = 60. Мы зна..

Эти параллельные прямые и высоту трапеции разбивают на три равных части (по теореме Фалеса) если провести обе высоты трапеции, то получим две тройки подобных треугольников и площадь средней части трапеции можно связать с площадью всей трапеции.

34 / 2 = 17 вот и радиус.

1) угол OAD = углу OBC по условию 2) сторона АО = стороне ОВ по условию 3) уголAOD = углуCOB т. К. Вертикальные углы = > треугольники COB и DAO равны по второму признаку равенства треугольников ( по стороне и прилежащим двум углам).

Прямоугольный треугольник, угол 30 градусов, катет напротив этого угла равен 1 / 2 гипотенузы (АВ) То есть 3 см высота S = BC×H S = 8×3 = 24см площадь.

SinA = 0. 8⇒cos A = √(1 — 0. 8²) = 0. 6. Находим АВ, для этого проекцию ее делим на cosA, 12 / 0, 6 = 20 — это АВ. 20 * 1, 2 = 24 — это АD. P = (20 + 24) * 2 = 88.

Площадь равна с квадрат помноженный на синус а и на косинус а.

Нахождение координат вектора

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

<table data-id="254" data-view-id="254_31110" data-title="Координаты вектора" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B_x — A_x; B_y — A_y> » data-order=» AB = <B_x — A_x; B_y — A_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> AB = <B_x — A_x; B_y — A_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B_x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z> » data-order=» AB = <B_x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z> «> AB = <B_x — A_x; B_y — A_y; B_z — A_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B₁ — A₁; B₂ — A₂; . B_n — A_n> » data-order=» AB = <B₁ — A₁; B₂ — A₂; . B_n — A_n> «> AB = <B₁ — A₁; B₂ — A₂; . B_n — A_n>

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .

Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
B_x = AB _x + A_x = 6 + 2 = 8.
B_y = AB _y + A_y = 14 + 5 = 19.