Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютЗадачи с решениями Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Установить, пересекаются, параллельны или совпадают данные пары прямых; в случае пересечения прямых найти координаты точки их пересечения:

а) Найдем угловые коэффициенты прямых. Первое уравнение имеет вид Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютвторое уравнение Отсюда Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютно Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютСледовательно (см теорему 11.13) прямые перпендикулярны и пересекаются. Для нахождения точки пересечения (общей точки) прямых решим совместно два уравнения

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Отсюда получим Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

б) Умножим первое уравнение на (-2) и получим Это уравнение совпадает с уравнением второй прямой, т. е. прямые совпадают.

в) Умножим первое уравнение на (-3) и получим Второе уравнение имеет вид Коэффициенты при одинаковых переменных равно, но свободные члены при этом различны. Следовательно (см теорему 11.14) прямые параллельны.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямые

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

  • Содержание
  • 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
  • 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
  • 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
  • 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают,(1)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают,(2)

Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают,(3)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

p1(xx1)=m1(yy1)
l1(yy1)=p1(zz1)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p1xm1y=p1x1m1y1,(5)
l1yp1z=l1y1p1z1.(6)

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают,(7)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(8)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

p2(xx2)=m2(yy2)
l2(yy2)=p2(zz2)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

p2xm2y=p2x2m2y2,(9)
l2yp2z=l2y2p2z2.(10)

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(11)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(12)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(13)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(14)

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(15)

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(16)

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(17)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(18)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(19)

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(20)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(21)

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(22)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(23)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(26)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(27)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(30)

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(31)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(32)

Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(33)

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(34)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(35)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(36)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают.(37)

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(38)
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(39)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают
Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(42)

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают(43)

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Пересечение прямых

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютДля создания компьютерных игр, программ математических графиков, расчетов движения объектов и т.п. очень часто требуется найти точку пресечения прямых. Сначала необходимо на бумаге вывести и упростить формулы вычисления и далее эти формулы перевести в программный код.

Прямые это бесконечные линии, поэтому на плоскости они всегда пересекаются. Если прямые не пересекаются значит они параллельны. Частные случаи поведения прямых на плоскости: прямые неопределенны, прямые параллельны, прямые совпадают, одна из прямых параллельна оси X или Y. Общие случаи «нормального» пересечения прямых и частные случаи учитываются в программном коде класса Intersections прикрепленного исходника.

Видео:16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать

16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространстве

Прямые пересекаются

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютДаны две прямые AB и CD расположенные на одной плоскости. Они пересекаются и необходимо найти точку пересечения. За основу берем классическое уравнение прямой и подставляя данные получаем систему уравнений для двух прямых.

Точку пересечения можно найти, решая совместно уравнения прямых. Два уравнения — две неизвестных величины. Если количество уравнений больше или равно количеству неизвестных, то система решаема. Точка пересечения двух прямых это такая точка, которая принадлежит обеим прямым.

Классическое уравнение прямой: Запишем уравнение в одну строчку: Вычислим коэффициенты и свободные члены: В итоге получаем уравнение прямой с коэффициентами:

Уравнение с линейными коэффициентами отличается от уравнения с угловым коэффициентом отсутствием операции деления. Минимум операций деления упрощает создание устойчивого программного кода.

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни.  Взаимное расположение прямой и плоскости.

Точка пересечения прямых

Координаты точки пересечения это числа которые являются решением для каждого из уравнений прямых. Решая систему из двух уравнений находим в какой точке пересекаются прямые AB и CD.

Подставляем известные данные: Получаем два уравнения: Решаем систему уравнений: Найдено, прямые пересекаются в точке с координатами:

Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.

Прямые параллельны

Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадаютЕсли прямые параллельны и лежат друг от друга на расстоянии, то у них нет общих точек. Совместная система уравнений не имеет решений. Эти уравнения существуют как бы сами по себе. В точности как их параллельные прямые.

Две прямые могут полностью совпадать, в таком случае у них бесконечное количество общих точек. Совпадение прямых означает равность коэффициентов и свободных членов уравнений. Совпадающие прямые имеют идентичные уравнения.

Применяя формулу у.2 выведем уравнения прямых: Получаем систему уравнений:

Итог: система уравнений параллельных прямых не имеет решений.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Уравнение в программный код

На бумаге всё славненько, надо также сделать и в программном коде. Но программы не разбираются в уравнениях, им подавай переменные, постоянные и функции. Программный код не терпит неопределенности, он требует точные данные. Очень желательно строить выражения без операций деления. Преобразуем в программный код уравнение с коэффициентами (у.3) описанное выше. Для каждой прямой своё уравнение и переменные.

Точки определяющие прямые запишем в структуры Point. У каждой прямой две точки и они являются входными данными:
Определяем коэффициенты и свободные члены уравнений. Записываем их в соответствующие переменные:
Точка пересечения также будет храниться в структуре Point:

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Вывод результата

В выражениях присутствует деление. Но знаменатель только тогда и только тогда будет равен нулю, когда обе прямые будут параллельны или оси X или оси Y. В этом случае они не пересекаются или совпадают. Это отслеживаемые состояния в классе Intersections , и вывод информации заканчивается до выбрасывания исключения при делении на ноль.

Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать

10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямые

Проверка параллельности и совпадения

Видео:15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать

15. Взаимное расположение прямых в пространстве

Проверка на перпендикулярность

Видео:Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямыеСкачать

Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямые

Класс Intersections

Исходник представляет собой два класса: класс вычисления точки пересечения прямых и информационный класс выдающий множество дополнительных сведений о свойствах исследуемых прямых.

Краткий листинг исходника дающий представление о структуре классов:

Видео:7. Скрещивающиеся прямыеСкачать

7. Скрещивающиеся прямые

Применение класса Intersections

Класс class Intersections легко встраивается в любой исходный код. Точки определяющие прямые являются входными данными. На выходе получаем результат пересечения, координаты точки пересечения. Для дальнейшей обработки результатов можно использовать идентификатор свойства пересечения и дополнительную текстовую информацию.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Прикрепленный файл

Прикрепленный файл архива содержит исходник классов Intersections, Info и программу демонстрирующую работу класса Intersections в режиме вычисления точки пересечения прямых на плоскости. Исходный код написан на языке C#, но его легко можно преобразовать в код на другом языке программирования. Для работы демонстрационной программы необходима установка платформы. .NET Core 3.1.

Скачать исходник

  • Файл: IntersectionsLineLine.zip
  • Размер: 84 Кбайт
  • Загрузки: 505

Похожая тематика

Пересечение луча и прямой на плоскости »

💥 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 класс

Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. Практическая часть.  10 класс.

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать

17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположены

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: