- Задачи с решениями
- Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
- Предупреждение
- Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- 1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
- Точка пересечения двух прямых на плоскости
- Пересечение прямых
- Прямые пересекаются
- Точка пересечения прямых
- Прямые параллельны
- Уравнение в программный код
- Вывод результата
- Проверка параллельности и совпадения
- Проверка на перпендикулярность
- Класс Intersections
- Применение класса Intersections
- Прикрепленный файл
- Скачать исходник
- Похожая тематика
- 💥 Видео
Задачи с решениями
![Даны две прямые установить пересекаются они скрещиваются параллельны или совпадают](data:image/svg+xml,%3Csvg%20xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'%20viewBox='0%200%200%200'%3E%3C/svg%3E)
Установить, пересекаются, параллельны или совпадают данные пары прямых; в случае пересечения прямых найти координаты точки их пересечения:
а) Найдем угловые коэффициенты прямых. Первое уравнение имеет вид второе уравнение Отсюда
но
Следовательно (см теорему 11.13) прямые перпендикулярны и пересекаются. Для нахождения точки пересечения (общей точки) прямых решим совместно два уравнения
Отсюда получим
б) Умножим первое уравнение на (-2) и получим Это уравнение совпадает с уравнением второй прямой, т. е. прямые совпадают.
в) Умножим первое уравнение на (-3) и получим Второе уравнение имеет вид Коэффициенты при одинаковых переменных равно, но свободные члены при этом различны. Следовательно (см теорему 11.14) прямые параллельны.
Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать
Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
(1) |
(2) |
Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
(3) |
(4) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
p1(x−x1)=m1(y−y1) |
l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
l1y−p1z=l1y1−p1z1. | (6) |
Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):
Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:
(7) |
(8) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):
p2(x−x2)=m2(y−y2) |
l2(y−y2)=p2(z−z2) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
p2x−m2y=p2x2−m2y2, | (9) |
l2y−p2z=l2y2−p2z2. | (10) |
Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:
(11) |
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
(12) |
(13) |
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
(14) |
Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:
(15) |
Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:
(16) |
Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:
(17) |
(18) |
(19) |
Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
(20) |
(21) |
Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:
(22) |
(23) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
(26) |
(27) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
(30) |
Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:
Сделаем перестановку строк 3 и 4.
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
(31) |
(32) |
Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
(33) |
Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:
(34) |
(35) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
(36) |
(37) |
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
(38) |
(39) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
(42) |
Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:
Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:
(43) |
Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.
Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Точка пересечения двух прямых на плоскости
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Пересечение прямых
Для создания компьютерных игр, программ математических графиков, расчетов движения объектов и т.п. очень часто требуется найти точку пресечения прямых. Сначала необходимо на бумаге вывести и упростить формулы вычисления и далее эти формулы перевести в программный код.
Прямые это бесконечные линии, поэтому на плоскости они всегда пересекаются. Если прямые не пересекаются значит они параллельны. Частные случаи поведения прямых на плоскости: прямые неопределенны, прямые параллельны, прямые совпадают, одна из прямых параллельна оси X или Y. Общие случаи «нормального» пересечения прямых и частные случаи учитываются в программном коде класса Intersections прикрепленного исходника.
Видео:16. Показать что прямые пересекаются и найти точку их пересечения в пространствеСкачать
Прямые пересекаются
Даны две прямые AB и CD расположенные на одной плоскости. Они пересекаются и необходимо найти точку пересечения. За основу берем классическое уравнение прямой и подставляя данные получаем систему уравнений для двух прямых.
Точку пересечения можно найти, решая совместно уравнения прямых. Два уравнения — две неизвестных величины. Если количество уравнений больше или равно количеству неизвестных, то система решаема. Точка пересечения двух прямых это такая точка, которая принадлежит обеим прямым.
Классическое уравнение прямой: Запишем уравнение в одну строчку: Вычислим коэффициенты и свободные члены: В итоге получаем уравнение прямой с коэффициентами:
Уравнение с линейными коэффициентами отличается от уравнения с угловым коэффициентом отсутствием операции деления. Минимум операций деления упрощает создание устойчивого программного кода.
Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
Точка пересечения прямых
Координаты точки пересечения это числа которые являются решением для каждого из уравнений прямых. Решая систему из двух уравнений находим в какой точке пересекаются прямые AB и CD.
Подставляем известные данные: Получаем два уравнения: Решаем систему уравнений: Найдено, прямые пересекаются в точке с координатами:
Видео:Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать
Прямые параллельны
Если прямые параллельны и лежат друг от друга на расстоянии, то у них нет общих точек. Совместная система уравнений не имеет решений. Эти уравнения существуют как бы сами по себе. В точности как их параллельные прямые.
Две прямые могут полностью совпадать, в таком случае у них бесконечное количество общих точек. Совпадение прямых означает равность коэффициентов и свободных членов уравнений. Совпадающие прямые имеют идентичные уравнения.
Применяя формулу у.2 выведем уравнения прямых: Получаем систему уравнений:
Итог: система уравнений параллельных прямых не имеет решений.
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Уравнение в программный код
На бумаге всё славненько, надо также сделать и в программном коде. Но программы не разбираются в уравнениях, им подавай переменные, постоянные и функции. Программный код не терпит неопределенности, он требует точные данные. Очень желательно строить выражения без операций деления. Преобразуем в программный код уравнение с коэффициентами (у.3) описанное выше. Для каждой прямой своё уравнение и переменные.
Точки определяющие прямые запишем в структуры Point. У каждой прямой две точки и они являются входными данными:
Определяем коэффициенты и свободные члены уравнений. Записываем их в соответствующие переменные:
Точка пересечения также будет храниться в структуре Point:
Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
Вывод результата
В выражениях присутствует деление. Но знаменатель только тогда и только тогда будет равен нулю, когда обе прямые будут параллельны или оси X или оси Y. В этом случае они не пересекаются или совпадают. Это отслеживаемые состояния в классе Intersections , и вывод информации заканчивается до выбрасывания исключения при делении на ноль.
Видео:10 класс - Геометрия - Скрещивающиеся прямыеСкачать
Проверка параллельности и совпадения
Видео:15. Взаимное расположение прямых в пространствеСкачать
Проверка на перпендикулярность
Видео:Стереометрия для ЕГЭ: 2 - параллельные и скрещивающиеся прямыеСкачать
Класс Intersections
Исходник представляет собой два класса: класс вычисления точки пересечения прямых и информационный класс выдающий множество дополнительных сведений о свойствах исследуемых прямых.
Краткий листинг исходника дающий представление о структуре классов:
Видео:7. Скрещивающиеся прямыеСкачать
Применение класса Intersections
Класс class Intersections легко встраивается в любой исходный код. Точки определяющие прямые являются входными данными. На выходе получаем результат пересечения, координаты точки пересечения. Для дальнейшей обработки результатов можно использовать идентификатор свойства пересечения и дополнительную текстовую информацию.
Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать
Прикрепленный файл
Прикрепленный файл архива содержит исходник классов Intersections, Info и программу демонстрирующую работу класса Intersections в режиме вычисления точки пересечения прямых на плоскости. Исходный код написан на языке C#, но его легко можно преобразовать в код на другом языке программирования. Для работы демонстрационной программы необходима установка платформы. .NET Core 3.1.
Скачать исходник
- Файл: IntersectionsLineLine.zip
- Размер: 84 Кбайт
- Загрузки: 505
Похожая тематика
Пересечение луча и прямой на плоскости »
💥 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
Взаимное расположение прямых в пространстве. Видеоурок 3. Геометрия 10 классСкачать
Параллельность прямых. Практическая часть. 10 класс.Скачать
Взаимное расположение прямых на плоскости. 7 класс.Скачать
17. Показать что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости в которой они расположеныСкачать
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать