Реферат: Задачи: расширение математического кругозора; развитие творческих способностей
Название: Задачи: расширение математического кругозора; развитие творческих способностей Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат Добавлен 11:15:04 12 сентября 2011 Похожие работы Просмотров: 1526 Комментариев: 14 Оценило: 6 человек Средний балл: 4.3 Оценка: 4 Скачать
Проектная работа по математике на тему:
«Доказательство теоремы Морлея
для прямоугольного треугольника»
Авторы : Сарайкина Ольга, Немков Ян
Руководители: Ленчевская Людмила Ивановна,
Барышева Элла Николаевна,
Моисеева Надежда Николаевна
— доказать собственным авторским способом теорему Франка Морлея о трисектрисах треугольника для любого прямоугольного треугольника.
При работе над этим проектом были поставлены следующие задачи:
— расширение математического кругозора;
— развитие творческих способностей;
— приобретение опыта самостоятельной научной работы;
— углубление знаний по математике и по истории математики.
Видео:Как построить равнобедренный или равносторонний треугольник по клеткам.Скачать
Введение
Следовать за мыслями великого человека
есть наука самая замечательная
Данная работа имеет большую практическую значимость, так как ее результаты обсуждались в школе на занятиях математического кружка и на заседании школьного научного общества. Кроме того, результаты работы могут использоваться в качестве дополнительного материала на уроках геометрии при изучении темы «Биссектрисы треугольника».
Представленная проектная работа имеет две части: в первой части рассматривается история открытия и доказательства английским ученым Франком Морлеем теоремы о трисектрисах треугольника; во второй части приводится оригинальное собственное доказательство авторами проекта теоремы Морлея для прямоугольного треугольника. Выполняя доказательство, авторы проявили эрудицию, смекалку и находчивость.
Данный проект имеет непосредственное отношение к одной теореме математики, которую окрестили “последним великим открытием планиметрии”. Сегодня она известна как теорема Морлея. Эта теорема является фундаментом многих исследований в области планиметрии и геометрии треугольника. Существует множество различных доказательств самой теоремы Морлея, но они раскрыли далеко не все тонкости, готовых принести пользу математике, а лишь затронули отдельный вопрос. Мы же в работе занялись исследованием некоторых особенностей, которые таит в себе теорема Морлея.
Актуальность рассматриваемой темы вытекает из того факта, что вопрос о трисектрисах треугольника и их свойствах еще недостаточно изучен, поэтому представляет интерес для изучения, с целью расширения наших знаний о математике и ее дальнейшем развитии.
Полученный результат оригинален и не был замечен нами ранее в литературе.
Франк Морлей (англ. Frank Morley , 9 сентября 1860 — 17 октября 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию.
Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика.
В 1900 году Морлей закончил Колледж Хэверфорд. Почти всю свою жизнь он провел в США, хотя оставался английским гражданином. Несколько десятков лет Морлей был профессором математики университета имени Джона Гопкинса в Балтиморе – одного их старейших американских университетов.
Наряду с математикой он увлекался и шахматами и однажды сумел выиграть у его одного видного математика – Эммануила Ласкера, тогдашнего чемпиона мира по шахматам.
Пусть ABC – произвольный треугольник. Хорошо известно, что биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Фрэнк Морлей рассмотрел такую ситуацию и доказал, что точки M , N , K при любом исходном треугольнике ABC являются вершинами равностороннего треугольника. Морлей рассказал об этом поразившем его факте своим друзьям, те – в свою очередь – своим, и вскоре «теорема о трисектрисах треугольника», ныне известная как теорема Морлея , распространилась по миру в качестве своеобразного математического фольклора.
Наверное, все не один раз слышали о «неразрешимых» математических задачах. Именно о них ещё в 1792 году Парижская академия наук приняла вечное решение: «Отныне и впредь не рассматривать разрешение задач удвоения куба; трисекции угла; квадратуры круга». Именно поэтому исследования, связанные с упомянутыми вопросами долгое время не рассматривались в научных кругах.
Доказательство своей теоремы Морлей опубликовал в 1914 году – через 15 лет после того, как нашел его. В 1924 году он изложил это доказательство более подробно. Доказательство его теоремы весьма элегантно, но в то же время достаточно сложно. В настоящее время теорема имеет много доказательств, которые являются и тригонометрическими, и через аппарат комплексных чисел, и элементарные геометрические.
Теорема Морлея о трисектрисах — одна из самых удивительных теорем геометрии треугольника (трисектрисами угла называются два луча, делящие угол на три равные части).
Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольник являются вершинами равностороннего треугольника.
Французский математик А. Леберг (1875-1941), используя элементарные средства, доказал, что среди точек пересечения всех трисектрис треугольника можно указать 27 троек, являющихся вершинами равносторонних треугольников. В частности, трисектрисы внешних углов треугольника, примыкающие к одной и той же стороне, попарно пересекаются в точках, являющихся вершинами равностороннего треугольника. Стороны равносторонних треугольников параллельны сторонам «основного» равностороннего треугольника Морлея.
Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т5. Первое свойство равнобедренного треугольника.Скачать
Доказательство теоремы Франка Морлея для прямоугольного треугольника
Теорема: Точки пересечения смежных трисектрис углов прямоугольного треугольник являются вершинами равностороннего треугольника.
Дано: ∆ NEM,
углы E, N и M – поделены каждый на 3 равные части.
Доказать : ∆АВС – равносторонний.
Для удобства записи доказательства примем обозначения:
EM = 1, угол NME = 3β, CM = к , BM = z, NB = y, NA = x.
Из ∆ENM: EN = 1* tg3β, NM = .
Из ECM по теореме синусов:
= → k = ;
Из ∆ NBM по теореме синусов получим: = = .
z = ;
Из ∆ NAE по теореме синусов получим: = → x = .
Из ∆ NBM получим: = → y = .
Откуда = = = = = = = .
Ho: cos (30˚-β) = *cosβ + *sinβ = ( cosβ + sinβ);
Следовательно: = cos (30;
Но в таком случае угол NAB=90˚.
Далее имеем: = ;
Но: sin(30˚+β) = (cosβ+ sinβ);
sin(30˚- β) = (cosβ — sinβ).
Тогда = = = = .
Но в таком случае угол BCM = 90˚
Далее из ∆NAB и ∆MCB получим: AB=y *sin (30˚ – β) =
Следовательно, ∆АВС равносторонний, что и требовалось доказать.
Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Заключение
Хорошо известно, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Франк Морлей доказал, что если соединить отрезками точки пересечения смежных трисектрис произвольного треугольника, то получится равносторонний треугольник. Его доказательство этой теоремы достаточно сложно. Мы были очарованы красотой этой теоремы и решили найти свой более простой способ ее доказательства, используя только полученные в школе математические знания. И нам это блестяще удалось (правда, не для любого, а только для прямоугольного треугольника). Мы нашли собственное остроумное и оригинальное доказательство этой теоремы для прямоугольного треугольника.
Представленная проектная работа имеет ярко выраженную научную направленность и имеет большой развивающий потенциал, так как способствует формированию внимательного отношения к построению, приучает анализировать информацию. Такая исследовательская деятельность помогла отойти от математических штампов обеспечить развитие навыков самообразования через исследовательскую работу
Многие математические теории нередко кажутся искусственными и оторванными от реальной жизни. Если же подойти к этим проблемам с позиции научного развития, то станет виден их глубокий смысл.
Презентация на тему: » Исследовательская работа на тему: «Трисекция угла. Теорема Морлея»» — Транскрипт:
1 Исследовательская работа на тему: «Трисекция угла. Теорема Морлея»
2 Цель работы: Систематизировать сведения о возможных способах трисекции угла. Изучить теорему Морлея, рассмотреть различные способы её доказательства. Выявить возможность применения теоремы Морлея для решения задач.
3 Объект исследования: трисектрисы угла и их свойства. Предмет исследования: Способы трисекции угла, теорема Морлея и её приложения к решению задач.
4 Актуальность: Теорема Морлея не была открыта до двадцатого столетия; люди чувствовали известную неловкость при упоминании о трисекции углов.
5 Неразрешимость задачи Задача о трисекции угла состоит в том, чтобы разделить данный угол на три равные части. Трисектрисой угла называют прямые, проходящие через вершину угла и делящие его на три равные части.
6 Способы построения: C помощью циркуля и линейки с двумя отметками.
8 Теорема Морлея Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами, равностороннего треугольника.
9 Применение теоремы Морлея в решении задач Если точка Y и Z, лежащие на стороне Z’Y’ прямоугольника BCZY’, обладают тем свойством, что |Z’Y| = |YZ| = |ZY’| и центр этого прямоугольника — точка X — вместе с точками Y и Z обра зуют равносторонний треугольник, то прямые ВХ и BZ делят прямой угол В на три равные части.
10 Пусть сторона ZYX равна 1, тогда |Y’Z’| = 3 и |ВС|= 3 и |ВУ’| = |Z’C| = 3, отсюда Ответ: мы доказали,что прямые BZ и BX разделили угол на три равные части
11 Заключение Теорему Морлея можно рассматривать как для внутренних так и для внешних углов треугольника Внешними трисектрисами называются прямые, делящие на три равные части внешние углы треугольника, а также углы, дополняющие углы треугольника до 360°. В частности, трисектрисы внешних углов треугольника, примыкающие к одной и той же стороне, попарно пересекаются в точках, являющихся вершинами равностороннего треугольника. Стороны равносторонних треугольников параллельны сторонам «основного» равностороннего треугольника Морлея (XYZ).
12 Работу выполнил ученик 9 класса Бершетской СОШ Колосницин Андрей Руководитель: Загуляева Л.А. Консультант: Морозова Е.А. старший преподаватель кафедры математического анализа ПГУ
Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать
Геометрия.Теорема Морлея. презентация к уроку по геометрии (9 класс)
Видео:Ты мог этого не знать: формула длины трисектрисы.Скачать
Скачать:
Вложение
Размер
t_morleya.ppt
485.5 КБ
Предварительный просмотр:
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Подписи к слайдам:
Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества. Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.
Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части .
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника Дано: Δ ABC Доказать: Δ ZYX – равносторонний A С B X Y Z
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z Пусть А=3 , B =3 , C =3 , тогда 3 +3 +3 =180 . Тогда + + =60 . В треугольнике ABC сторона AC =2 RsinB , поэтому в треугольнике AZC AC =2 Rsin ³ , ZAC = , ZCA = . Применим к этому треугольнику теорему синусов: Т.к Z =180 — — и α+ + =60 , то sin С= sin (180- — )= sin ( + )= sin (60- ), следовательно, согласно формуле, Доказательство :
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z s in3 =4sin sin(60+ )sin(60- ), поэтому AZ =8 Rsin sin sin (60+ ) Аналогично из треугольника ABY находим: AY =8 Rsin sin sin (60+ ) Теперь по теореме косинусов из треугольника AZY можно найти ZY ²: Доказательство :
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого рассмотрим какой-нибудь треугольник, два угла которого равны (60+ ) и (60+ ). Такой треугольник существует, поскольку сумма этих углов меньше 180 . Третий угол этого треугольника равен . Пусть r – радиус описанной около него окружности. Тогда его стороны равны: 2 rsin (60+ ), 2 rsin (60+ ) и 2 rsin . Применим к нему теорему косинусов: Доказательство :
Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z С окращ аем на 4 r ² , делаем вывод, что выражение в квадратных скобках равно sin ² . Следовательно, для стороны ZY окончательно получаем ZY=8R sin sin sin . В это выражение углы , и входят симметрично. Поэтому для выражений для XY и XZ будут такими же. Это означает, что треугольник XYZ – равносторонний. Доказательство :
Задача 1. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Доказать, что угол СОВ на 90 º больше, чем половина угла А.
Дано: ∆ NEM,
.
ECM по теореме синусов:
= 
→ k = 
;
= 
= 
.
;
= 
→ x = 
.
= 
.
= 
= 
= 
= = 
= 
= 
.
*cosβ + 
*sinβ = 
cosβ + sinβ);
;
= 
;
sinβ).
= 
= 
= 
.
* sinβ
