Даны две линейные функции f x и g x такие что графики параллельные прямые (6 видео)

Даны две линейные функции f x и g x такие что графики параллельные прямые

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Найдём количество решений уравнения

в зависимости от $$ a$$.

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

Даны две линейные функции f x и g x такие что графики параллельные прямые

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=_left(xright)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ fleft(0right)=sqrt$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=_left(xright)$$, при $$ a=3$$ и $$ ain [0;sqrt)$$ есть две точки пересечения, а при $$ ain [sqrt;3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=sqrt$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

При $$ ain (-infty ;0)bigcup (3;+infty )$$ решений нет, при $$ ain [0;sqrt)bigcup left$$ – два решения, при $$ ain left<sqrtright>$$ – три решения, при $$ ain (sqrt;3)$$ – четыре решения.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

Методом интервалов нетрудно построить график функции

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ fleft(xright)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

При $$ ain (8;+infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ ain (-infty ;8)$$ решений нет.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ left|xright|+left|yright|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ left|aright|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

При $$ ain (-infty ;-4)cup (-2sqrt;2sqrt)cup (4;+infty )$$ система не имеет решений;

при $$ ain <-4;-2sqrt;2sqrt;4>$$ система имеет 4 решения;

при $$ ain (-4;-2sqrt)cup (2sqrt;4)$$ система имеет 8 решений.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=fleft(xright)$$ имеет локальный максимум в точке $$ _$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=sqrt$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$dfrac3leq a 1/4` они не имеют общих точек.

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ ^-8left|xright|+16+^-8left|yright|+16le 1$$ или $$ left(right|x|-4^+(left|yright|-4^le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ _$$, $$ _$$, $$ _$$, $$ _$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ _(4;4)$$, $$ _(4;-4)$$, $$ _(-4;-4)$$, $$ _(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ left|aright|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ _$$ и $$ _$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ _$$ и $$ _$$ в направлении точек $$ _$$ и $$ _$$. Пусть $$ _$$ и $$ _$$ – точки пересечения $$ _$$ и окружности с центром $$ _$$, $$ _$$ и $$ _$$ – точки пересечения $$ _$$ и окружности с центром $$ _$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

При $$ 4le left|aright|le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ _$$ , а при $$ sqrt-1le left|aright|le sqrt+1$$ – с кругом $$ _$$.

а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|^-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 0$$).

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;

– три корня при `4/5

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ ^+^=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ sqrt$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=sqrt$$.

Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=sqrtpm sqrt$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (sqrt-sqrt;sqrt+sqrt)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=sqrt+sqrt$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 sqrt + sqrt$$), т. е. у системы 1 решение.

Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=sqrt+sqrt$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=^=9$$ и $$ a=(sqrt+sqrt^=23+4sqrt$$.

Содержание

Даны две линейные функции y = a1x + b1 и y = a2x + b2?
Найдите значение коэффициента к и выясните , возрастает или убывает линейная функция у = кх, если у = 14 при х = — 7?
Что показывают коэффициенты k и m в формуле линейной функции?
В каком случае графики линейных функций пересекаются?
Запиши коэффициенты k и m линейной функции y = x−5?
Даны две линейные функции y = k1x + m1 y = k2x + m2 ?
Постройте график линейной функции с угловым коэффициентом К = 3, проходящий через точку А( — 1 ; 4)?
Даны две линейные функции y = k1x + m1 y = k2x + m2 ?
Как расположен график линейной функции в зависимости от коэффициента b относительно графика функции икрек = kx?
Даны две линейные функции y = k1x + m1 и y = k2x + m2?
Узнай проходит ли график линейной функции y = kx через точку M(0 ; 0), если известно, что он проходит через точку A(3 ; 21)?
💥 Видео

Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Даны две линейные функции y = a1x + b1 и y = a2x + b2?

Алгебра | 1 — 4 классы

Даны две линейные функции y = a1x + b1 и y = a2x + b2.

Запиши какими должны быть коэффициенты a1, a2, b1, b2, чтобы графики линейных функций пересекались, причём обе функции были бы убывающими.

Ответ : Коэффициенты a1, a2 Коэффициенты b1, b2 При ответе используй слова (словосочетания) : любые одинаковы различны одинаковы и отрицательны различны и отрицательны первый отрицателен, второй положителен.

А1 и а2 должны быть отрицательны и различны.

B1 и b2 могут быть любыми.

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Найдите значение коэффициента к и выясните , возрастает или убывает линейная функция у = кх, если у = 14 при х = — 7?

Найдите значение коэффициента к и выясните , возрастает или убывает линейная функция у = кх, если у = 14 при х = — 7.

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Что показывают коэффициенты k и m в формуле линейной функции?

Что показывают коэффициенты k и m в формуле линейной функции?

Видео:Задание 11 (часть 1) | ЕГЭ 2024 Математика (профиль) | ГрафикиСкачать

В каком случае графики линейных функций пересекаются?

В каком случае графики линейных функций пересекаются?

2. как найти координаты точки пересечения графиков линейных функций

При каком условии графики линейных функций параллельны?

4. что такое коэффициент прямой?

Помогите пожалуйста, очень срочно!

Видео:Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать

Запиши коэффициенты k и m линейной функции y = x−5?

Запиши коэффициенты k и m линейной функции y = x−5.

Видео:7 класс, 36 урок, Что означает в математике запись y = f(х)Скачать

Даны две линейные функции y = k1x + m1 y = k2x + m2 ?

Даны две линейные функции y = k1x + m1 y = k2x + m2 .

Подберите такие коэффициенты чтобы графики линейных функций пересекались, причём обе функции были : а) возрастающими ; Задайте условия на коэффициенты с помощью &gt ; , &lt ; , = , !

Видео:ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ / тип 10 ЕГЭ #профиль #508895Скачать

Постройте график линейной функции с угловым коэффициентом К = 3, проходящий через точку А( — 1 ; 4)?

Постройте график линейной функции с угловым коэффициентом К = 3, проходящий через точку А( — 1 ; 4).

Видео:Как построить график линейной функции.Скачать

Даны две линейные функции y = k1x + m1 y = k2x + m2 ?

Даны две линейные функции y = k1x + m1 y = k2x + m2 .

= (не равно) ПЛИЗ СРОЧНО.

Видео:Урок ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 7 КЛАСССкачать

Как расположен график линейной функции в зависимости от коэффициента b относительно графика функции икрек = kx?

Как расположен график линейной функции в зависимости от коэффициента b относительно графика функции икрек = kx.

Видео:Определение графика линейной функции по его формулеСкачать

Даны две линейные функции y = k1x + m1 и y = k2x + m2?

Даны две линейные функции y = k1x + m1 и y = k2x + m2.

Назови какими должны быть коэффициенты k1, k2, m1, m2, чтобы графики линейных функций были параллельны, причём обе функции были бы возрастающими.

Коэффициенты k1, k2

Коэффициенты m1, m2

При ответе используй слова :

одинаковы и положительны

различны и положительны

одинаковы и положительны.

Видео:Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Узнай проходит ли график линейной функции y = kx через точку M(0 ; 0), если известно, что он проходит через точку A(3 ; 21)?

Узнай проходит ли график линейной функции y = kx через точку M(0 ; 0), если известно, что он проходит через точку A(3 ; 21).

Определи коэффициент k.

График линейной функции.

Перед вами страница с вопросом Даны две линейные функции y = a1x + b1 и y = a2x + b2?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 1 — 4 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.