Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Содержание
  1. Вписанная окружность
  2. Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)
  3. Готовые работы на аналогичную тему
  4. Описанная окружность
  5. Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)
  6. Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности
  7. Описанная и вписанная окружность
  8. теория по математике 📈 планиметрия
  9. Описанная окружность
  10. Вписанная окружность
  11. Вписанный и описанный треугольники
  12. Вписанный и описанный четырехугольники
  13. Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения
  14. Описанная и вписанная окружности треугольника
  15. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности
  16. Вписанные и описанные четырехугольники
  17. Окружность, вписанная в треугольник
  18. Описанная трапеция
  19. Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника
  20. Обобщенная теорема Пифагора
  21. Формула Эйлера для окружностей
  22. Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника
  23. 📹 Видео

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рисунок 1. Вписанная окружность

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Готовые работы на аналогичную тему

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанная окружность

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рисунок 3. Описанная окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $^0$, то около него можно описать окружность.

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $^2=^2-^2, BM=sqrt<^2-frac<^2>>=sqrt=sqrt=3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

Ответ: $frac$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

Видео:Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Описанная и вписанная окружность

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Описанная окружность

Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Видео:Вписанная и описанная окружности.Скачать

Вписанная и описанная окружности.

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанный и описанный треугольники

Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиЦентр вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.

Вписанный и описанный четырехугольники

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.

Вписанная и описанная окружность определение с примерамиУсловие вписанной в 4-х угольник окружности

Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB

Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.

Видео:Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде R — радиус описанной окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Найдем радиус Вписанная и описанная окружность определение с примерамивневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПо свойству касательной Вписанная и описанная окружность определение с примерамиИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Вписанная и описанная окружность определение с примерами(по острому углу) следуетВписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как Вписанная и описанная окружность определение с примерамито Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Вписанная и описанная окружность определение с примерамиописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Вписанная и описанная окружность определение с примерамивписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Вписанная и описанная окружность определение с примерамии по свойству касательной к окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамито центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде Вписанная и описанная окружность определение с примерами— полупериметр треугольника, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Вписанная и описанная окружность определение с примерами— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиРадиусы Вписанная и описанная окружность определение с примерамипроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Вписанная и описанная окружность определение с примерами(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см. рис. 95) Вписанная и описанная окружность определение с примерамииз Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Вписанная и описанная окружность определение с примерамикак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: Вписанная и описанная окружность определение с примерамисм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Вписанная и описанная окружность определение с примерамиа высоту, проведенную к основанию, — Вписанная и описанная окружность определение с примерамито получится пропорция Вписанная и описанная окружность определение с примерами.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Вписанная и описанная окружность определение с примерамипо теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см), откуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Вписанная и описанная окружность определение с примерами— общий) следует:Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Тогда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерами(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см. рис. 97) Вписанная и описанная окружность определение с примерами, из Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Вписанная и описанная окружность определение с примерами‘ откуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами= 3 (см).

Способ 4 (формула Вписанная и описанная окружность определение с примерами). Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерамиИз формулы площади треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамиследует: Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Вписанная и описанная окружность определение с примерамиего вписанной окружности.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПоскольку ВК — высота и медиана, то Вписанная и описанная окружность определение с примерамиИз Вписанная и описанная окружность определение с примерами, откуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами.
В Вписанная и описанная окружность определение с примерамикатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Откуда

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Ответ: Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамито Вписанная и описанная окружность определение с примерамиЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Вписанная и описанная окружность определение с примерамираз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Вписанная и описанная окружность определение с примерамиразделить на Вписанная и описанная окружность определение с примерами, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде с — гипотенуза.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерами, где Вписанная и описанная окружность определение с примерами— искомый радиус, Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами— катеты, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— гипотенуза треугольника.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Вписанная и описанная окружность определение с примерамии гипотенузой Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Вписанная и описанная окружность определение с примерамикасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамиЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Тогда Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Вписанная и описанная окружность определение с примерамиНо Вписанная и описанная окружность определение с примерами, т. е. Вписанная и описанная окружность определение с примерами, откуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Следствие: Вписанная и описанная окружность определение с примерами где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Формула Вписанная и описанная окружность определение с примерамив сочетании с формулами Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерамидает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Вписанная и описанная окружность определение с примерамиНайти Вписанная и описанная окружность определение с примерами.

Решение:

Так как Вписанная и описанная окружность определение с примерамито Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Из формулы Вписанная и описанная окружность определение с примерамиследует Вписанная и описанная окружность определение с примерами. По теореме Виета (обратной) Вписанная и описанная окружность определение с примерами— посторонний корень.
Ответ: Вписанная и описанная окружность определение с примерами= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Вписанная и описанная окружность определение с примерами— квадрат, то Вписанная и описанная окружность определение с примерами
По свойству касательных Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Тогда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПо теореме Пифагора

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Следовательно, Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Радиус описанной окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Вписанная и описанная окружность определение с примерамизначения Вписанная и описанная окружность определение с примерамиполучим Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПо теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность определение с примерами, т. е. Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТогда Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамирадиус вписанной в него окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерамиНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Вписанная и описанная окружность определение с примерамигипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Вписанная и описанная окружность определение с примерамивписанной окружности, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— высота Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Вписанная и описанная окружность определение с примерамипо катету и гипотенузе.
Площадь Вписанная и описанная окружность определение с примерамиравна сумме удвоенной площади Вписанная и описанная окружность определение с примерамии площади квадрата CMON, т. е.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Вписанная и описанная окружность определение с примерамиследует Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерамиВозведем части равенства в квадрат: Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерами

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Вписанная и описанная окружность определение с примерамиследует, что Вписанная и описанная окружность определение с примерамиИз формулы Вписанная и описанная окружность определение с примерамиследует, что Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Видео:ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Вписанная и описанная окружность определение с примерамиДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерамиАналогично доказывается, что Вписанная и описанная окружность определение с примерами180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Вписанная и описанная окружность определение с примерамито около него можно описать окружность.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Вписанная и описанная окружность определение с примерамиили внутри нее в положении Вписанная и описанная окружность определение с примерамито в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Вписанная и описанная окружность определение с примерамине была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Вписанная и описанная окружность определение с примерами(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Вписанная и описанная окружность определение с примерамикоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Вписанная и описанная окружность определение с примерами(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамичто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Для описанного многоугольника справедлива формула Вписанная и описанная окружность определение с примерами, где S — его площадь, р — полупериметр, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как у ромба все стороны равны , то Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиИскомый радиус вписанной окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Вписанная и описанная окружность определение с примераминайдем площадь данного ромба: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПоскольку Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см), то Вписанная и описанная окружность определение с примерамиОтсюда Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см).

Ответ: Вписанная и описанная окружность определение с примерамисм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Вписанная и описанная окружность определение с примерамиделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерамиНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Вписанная и описанная окружность определение с примерамитрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТогда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПо свойству описанного четырехугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамиОтсюда Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как Вписанная и описанная окружность определение с примерамикак внутренние односторонние углы при Вписанная и описанная окружность определение с примерамии секущей CD, то Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 131). Тогда Вписанная и описанная окружность определение с примерами— прямоугольный, радиус Вписанная и описанная окружность определение с примерамиявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Вписанная и описанная окружность определение с примерамиили Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВысота Вписанная и описанная окружность определение с примерамиописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как по свой­ству описанного четырехугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамито Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамиНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Вписанная и описанная окружность определение с примерамикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Вписанная и описанная окружность определение с примерамии прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВ прямоугольном треугольнике ABM Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Вписанная и описанная окружность определение с примерамито Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как АВ = AM + МВ, то Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерамит. е. Вписанная и описанная окружность определение с примерами. После преобразований получим: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиАналогично: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Замечание. Если Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 141), то Вписанная и описанная окружность определение с примерами Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПусть в трапеции ABCD основания Вписанная и описанная окружность определение с примерами— боковые стороны, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Известно, что в равнобедренной трапеции Вписанная и описанная окружность определение с примерами(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерамиОтсюда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиОтвет: Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Вписанная и описанная окружность определение с примерамибоковой стороной с, высотой h, средней линией Вписанная и описанная окружность определение с примерамии радиусом Вписанная и описанная окружность определение с примерамивписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Вписанная и описанная окружность определение с примерами

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Вписанная и описанная окружность определение с примерамикак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Вписанная и описанная окружность определение с примерамито около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Вписанная и описанная окружность определение с примерами» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Вписанная и описанная окружность определение с примерамипроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Вписанная и описанная окружность определение с примерамиможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Вписанная и описанная окружность определение с примерамитреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Вписанная и описанная окружность определение с примерами— соответствующие линейные элемен­ты Вписанная и описанная окружность определение с примерамито можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Действительно, из подобия указанных треугольников Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Пример:

Пусть Вписанная и описанная окружность определение с примерами(см. рис. 148). Найдем Вписанная и описанная окружность определение с примерамиПо обобщенной теореме Пифагора Вписанная и описанная окружность определение с примерамиотсюда Вписанная и описанная окружность определение с примерами
Ответ: Вписанная и описанная окружность определение с примерами= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Вписанная и описанная окружность определение с примерамии расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Вписанная и описанная окружность определение с примерами, и Вписанная и описанная окружность определение с примерами— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаВписанная и описанная окружность определение с примерами— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде b — боковая сторона, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Вписанная и описанная окружность определение с примерамиРадиус вписанной окружности Вписанная и описанная окружность определение с примерамиТак как Вписанная и описанная окружность определение с примерамито Вписанная и описанная окружность определение с примерамиИскомое расстояние Вписанная и описанная окружность определение с примерами
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Вписанная и описанная окружность определение с примерамиоткуда Вписанная и описанная окружность определение с примерамиКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Вписанная и описанная окружность определение с примерами
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерами
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерамигде Вписанная и описанная окружность определение с примерами— полупериметр, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами— центр окружности, описанной около треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерами, поэтому Вписанная и описанная окружность определение с примерами.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамисуществует точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамибудет центром описанной окружности, а отрезки Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами— ее радиусами.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Проведем серединные перпендикуляры Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерамисторон Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерамисоответственно. Пусть точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамипринадлежит серединному перпендикуляру Вписанная и описанная окружность определение с примерами, то Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Так как точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамипринадлежит серединному перпендикуляру Вписанная и описанная окружность определение с примерами, то Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Значит, Вписанная и описанная окружность определение с примерамиВписанная и описанная окружность определение с примерами, т. е. точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамиравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерами, отрезки Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиусы, проведенные в точки касания, Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Вписанная и описанная окружность определение с примерамисуществует точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамибудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Вписанная и описанная окружность определение с примерами.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Проведем биссектрисы углов Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— точка их пересечения. Так как точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамипринадлежит биссектрисе угла Вписанная и описанная окружность определение с примерами, то она равноудалена от сторон Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамипринадлежит биссектрисе угла Вписанная и описанная окружность определение с примерами, то она равноудалена от сторон Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Следовательно, точка Вписанная и описанная окружность определение с примерамиравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Вписанная и описанная окружность определение с примерами, где Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус вписанной окружности, Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами— катеты, Вписанная и описанная окружность определение с примерами— гипотенуза.

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Решение:

В треугольнике Вписанная и описанная окружность определение с примерами(рис. 302) Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерами, точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами— центр вписанной окружности, Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами— точки касания вписанной окружности со сторонами Вписанная и описанная окружность определение с примерами, Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерамисоответственно.

Отрезок Вписанная и описанная окружность определение с примерами— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Вписанная и описанная окружность определение с примерами.

Так как точка Вписанная и описанная окружность определение с примерами— центр вписанной окружности, то Вписанная и описанная окружность определение с примерами— биссектриса угла Вписанная и описанная окружность определение с примерамии Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Тогда Вписанная и описанная окружность определение с примерами— равнобедренный прямоугольный, Вписанная и описанная окружность определение с примерами. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Вписанная и описанная окружность определение с примерами

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Вписанная и описанная окружности. ЗадачиСкачать

Вписанная и описанная окружности. Задачи

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Вписанная и описанная окружность #профильнаяматематика #егэпрофиль #егэ #профиль #артуршарафиевСкачать

Вписанная и описанная окружность #профильнаяматематика #егэпрофиль #егэ #профиль #артуршарафиев

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

ВПИСАННАЯ окружность ОПИСАННАЯ окружность радиус 8 классСкачать

ВПИСАННАЯ окружность ОПИСАННАЯ окружность радиус 8 класс

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)
Поделиться или сохранить к себе: