Необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых, заданных уравнением:
служит равенство их угловых коэффициентов, то есть
Если прямые заданы уравнениями в общем виде, то есть
то условие параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны:
или в другом представлении
Также это равенство можно записать в виде
Если свободные члены пропорциональны, то есть,
то прямые не только параллельны, но и совпадают.
4x+2y-8=0 и 8x+4y-16=0
представляют одну и ту же прямую, то есть совпадают.
Пример 2
Прямые у=4x-3 ( на графике синего цвета ) и y=4x+7 ( прямая красного цвета ) параллельны, так как у них угловые коэффициенты равны k1=k2=4
Пример 3
Прямые у=5x+1 и y=3x-4 не параллельны, так как у них угловые коэффициенты не равны, т.е. k1=5, k2=3
Пример 4
Прямые 2x+4y+7=0 и 3x+6y-5=0 параллельны, так как выражение равно нулю
Пример 5
Прямые 2x-7y+7=0 и 3x+y-5=0 не параллельны, так как выражение не равно нулю
- 1) Какая из точек принадлежит графику функции, заданной формулой y=-3x? 1)A(2;6) 2)B(-2;6) 3)C(-2;-6) 4)D(2;-1) 2) Укажите формулу,задающую линейную функцию, график которой параллелен оси ox 1)y=2x+6 2)y=-4x 3)y=9 4)x=-5 3) Найдите абсциссу точки пересечения прямой 5x+3y-15=0 с осью ox ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 30 БАЛЛОВ. НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ 6x-7y+12=0 с осью ox. В ответ укажите абсциссу этой точки
- Взаимное расположение прямых
- Просмотр содержимого документа «Взаимное расположение прямых»
- 💥 Видео
Видео:Задание 7 ЕГЭ по математикеСкачать
1) Какая из точек принадлежит графику функции, заданной формулой y=-3x? 1)A(2;6) 2)B(-2;6) 3)C(-2;-6) 4)D(2;-1) 2) Укажите формулу,задающую линейную функцию, график которой параллелен оси ox 1)y=2x+6 2)y=-4x 3)y=9 4)x=-5 3) Найдите абсциссу точки пересечения прямой 5x+3y-15=0 с осью ox ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА ДАЮ 30 БАЛЛОВ. НАЙДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ 6x-7y+12=0 с осью ox. В ответ укажите абсциссу этой точки
1) В принадлежит, если подставишь в y=-3xвместо х абсциссу точки В, а вместо у ординату точки В.
2) ответ номер 3, у=9, так как он параллелен оси х
3)5х+3·0 -15=0
5х-15=0
5х=15
х=3 точка А(3;0) -точка пересечения графика с осью ох.
4) 6x-7y+12=0 вместо у подставляем нуль и считаем, 6х-7 ·0 +12=0
6х=-12
х=-2 это и есть абсцисса
В(-2;0) -точка пересечения графика с осью ох.
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Взаимное расположение прямых
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.
Просмотр содержимого документа
«Взаимное расположение прямых»
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ.
Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, пересечение прямых, расстояние от данной точки до данной прямой.
Под углом между прямыми в плоскости понимают меньший (острый) из двух смежных углов образованными этими прямыми.
Если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у=к1х+b1 и у=к2х+b2, то угол φ между ними вычисляется по формуле
tg φ=
Условие параллельности прямых l1 и l2 имеет вид
а условие их перпендикулярности
k1 = — (или k1k2= — 1)
то величина φ угла между ними вычисляется по формуле
tg φ=
угловые их параллельности
( или А1В2-А2В1=0)
Условие их перпендикулярности
Для нахождения общих точек прямых l1 и l2 необходимо решить систему
уравнений
А1х+В1у+С1=0, у=k1x+b1
или
Если , то имеется единственная точка пересечения прямых ;
Если — прямые l1 и l2 не имеет общей точки, т. е параллельны;
Если -прямые имеют бесконечное множество точек т.е совпадают
Расстоянием d от точки М0 (х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую .
Расстояние d определяется по формуле
d=
Расстояние от точки М0 (х0;у0) до прямой х cos + y sin— p=0 вычисляется по формуле
d=
ПРИМЕР: найти угол между прямыми :
1) y=2x-3 и y=;
2) 2x-3y+10=0 и 5x – y+4=0;
3) y= и 8x+6y+5=0;
Воспользуемся формулой. Подставляя в неё значения k1=2 и k2= , находим tg===
=arctg);
Подставим значения А1 = 2, В1=-3,А2=5,В2=-1 в формулу : tg==1,
Здесь k1=найдём k2. Для этого перейдём от 6y =-8x-5 к эквивалентному равенству y=- Здесь k2=-Так как k1*k2=-1, то данные прямые перпендикулярны. (По формуле получаем:tg==)
k1=5,k2=5, tg=0,=0.
Задания для практических занятий:
1. Найти угол между прямыми:
2) 2х-3у-7=0 и 2х-у+5=0;
3) у=х+6 и 3х-2у-8=0;
4) у= 7х -1 и у=7х+1;
2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:
1) 3х+5у-9=0 и 10х-6у+4=0
2) 2х+5у-2=0 и х+у+4=0;
3) 2у=х-1 и 4у-2х+2=0;
5) =1 и у=х+2;
8) у=3-6х и 12х+2у-5=0;
10) х —у-1=0 и х +у+2=0
3. При каких значениях следующие пары прямых: а) параллельны; б) перпендикулярны.
1) 2х-3у+4=0 и х-6у+7=0;
2) х-4у+1=0 и -2х+у+2=0;
3) 4х+у-6=0 и 3х+у-2=0;
4) х- у+5=0 и 2х+3у+3=0;
4.Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0; х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.
5. Найти уравнение прямой, проходящий через точку А (-1;2):
а) параллельно прямой у=2х-7;
б) перпендикулярно прямой х+3у-2=0.
6. Найти длину высоты ВД в треугольнике с вершинами А (4;-3); В (-2;6) и С (5;4).
7. Даны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х-11у-29=0 и 3х-у+11=0.
Найти вершины этого треугольника.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти острый угол между прямыми:
2) 2х-3у+6=0 и 3х-у-3=0
4) 3х+4у-12=0 и 15х-8у-45=0
2. Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:
1) 2х-3у+4=0 и 10х+3у-6=0
2) 3х-4у+12=0 и 4х+3у-6=0
3) 25х+20у-8=0 и 5х+4у+4=0
4) 4х+5у-8=0 и 3х-2у+4=0
3. Найти уравнение прямой, проходящий через точку В (2;-3)
а) параллельно прямой, соединяющей точки М1 (-4;0) и М2 (2;2);
б) перпендикулярно прямой х-у=0.
4. Составить уравнение прямой, содержащий высоту ВД в треугольнике с вершинами
А (-3;2), В (5;-2), С (0; 4)
5. Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2х+у+4=0, х+7у-11=0 и 3х-5у-7=0.
6.Через точку пересечения прямых 3х+2у-4=0 и х-5у+8=0 проведены прямые, одна из которых проходит через начало координат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравнения.
7. Дан четырехугольник АВСД с вершинами А (3;5); В (6;6); С (5;3); Д (1;1). Найти:
а) координаты точки пересечения диагоналей;
б) угол между диагоналями.
8.Даны вершины треугольника А(2;-2), В (3;5), С (6;1). Найти:
1) длины сторон АС и ВС;
2) уравнения прямых, на которых лежат стороны ВС и АС;
3) уравнение прямой , на которой лежит высота, проведенная из В;
4) длину этой высоты;
5) уравнение прямой, на которой лежит медиана проведенная из точки А;
6) длину этой медианы;
7) уравнение прямой, на которой лежит биссектриса угла С;
8) центр тяжести треугольника;
9) площадь треугольника;
Ответы к заданиям для самостоятельного решения:
1. 1)63 0 ; 2) 37,9 0 ; 3) 31,3 0 ; 4) 81,2 0 . 2.1)Параллельны;
2)Перпендикулярны; 3)Параллельны; 4)Пересекаются; 5)Пересекаются;
💥 Видео
Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать
Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Как построить график линейной функции.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
7 класс. Задайте формулой линейную функцию, параллельную данной и проходящую через точку NСкачать
Линейная функция и её график. Алгебра, 7 классСкачать
10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать
Видеоурок "Канонические уравнения прямой"Скачать
Математика без Ху!ни. Непрерывность функции, точки разрыва.Скачать
Урок ГРАФИК ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ 7 КЛАСССкачать
10 класс, 10 урок, Обратная функцияСкачать
Постройте график функции y=2x-4.Скачать
Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать