Задачи на окружность девяти точек

И. Ф. Шарыгин. Нужна ли в школе 21-го века Геометрия? (pdf)
Матем. просв., сер. 3, 8, 2004 г.

А. Д. Блинков. Почему я не вызываю учеников к доске?(doc)
Статья написана в 2004 году к Международному конгрессу по образованию.

И. А. Кушнир. Эмоциональная геометрия (pdf)
Эмоциональная геометрия основана на коротких посильных и красивых задачах повышенной сложности. О таких задачах (в том числе, авторских) и пойдет речь.

И. Ф. Шарыгин. Избранные статьи djvu.

Статьи Игоря Фёдоровича в «Кванте» .

В. Протасов, В. Тихомиров. Геометрические шедевры Шарыгина (pdf) «Квант», №1, 2006 г.

Cредняя линия. Параллелограмм

Г. Б. Филипповский. О двух параллелограммах в треугольнике. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.

Квадраты

Е. Бакаев. Комбинации квадратов (pdf). «Квант», №7, 2018г.

А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Угол в квадрате (pdf). «Квант», №4, 2015 г.

Е. Бакаев, А. Д. Блинков. Вспомогательные квадраты (pdf). «Квант», №4, 2016 г.

Вокруг биссектрисы

И. Ф. Шарыгин. Вокруг биссектрисы «Квант», №8, 1983 г.
«В этой статье собраны некоторые геометрические факты, прямо или косвенно связанные с биссектрисой треугольника.»

Теорема Штейнера-Лемуса

Л. Штейнграц. Новый взгляд на теорему Штейнера-Лемуса. (pdf) «Квант», №1, 2013 г.

Вписанная и вневписанные окружности

А.Д. Блинков, Ю.А. Блинков. Вневписанная окружность. (pdf) «Квант», №2, 2009 г. В статье излагаются классические факты о вневписанной окружности, обсуждаются задачи, в которых вневписанная окружность возникает самым неожиданным образом.

Г. Б. Филипповский. Замечательная прямая треугольника. (pdf) «Квант», №4, 2007 г. К статье рекомендуем подборку задач о вписанной окружности.

Ю. Билецкий, Г. Филипповский. О пользе вневписанных окружностей. (pdf)

А. Д. Блинков, Ю. А. Блинков. Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике. (pdf) «Квант», №2, 2012 г.

А.А. Заславский, М. Панов О вписанной окружности прямоугольного треугольника (pdf) «Квант», №4, 2017 г.

П. А. Кожевников. Вневписанные окружности и дюжины точек.
21-я летняя конференция международного математического Турнира городов.

Фольклор Задача Ф. Ивлева. (pdf)
В заметке решение трудной и красивой задачи разбито на несколько подзадач, что позволяет использовать материал на кружке. Решения многих задач и различные обобщения можно найти в статье.

Huseyin Demir and Cem Tezer More on Incircles (pdf) Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (Apr., 1989), pp. 107-114

Площадь

Е. Бакаев. Площадь Треугольника (pdf)

«Квантик №2», 2012 год

А. Щетников. Параллелограмм и равенство площадей (pdf)

«Квантик №2», 2012 год

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

И. Ф. Шарыгин, А. Ягубьянц. Окружность девяти точек и прямая Эйлера «Квант» №8, 1981 г. К этой статье рекомендуем такую серию задач.

И. А. Кушнир. Золотой ключ Леонарда Эйлера (pdf) «Математика в школах Украины», №13-15, 2012 г.
Рассказывается о приложениях окружности девяти точек для доказательства классических задач.

Д. В. Швецов. Важная лемма (pdf) «Квант» №5-6, 2012 г.

Л. А. Емельянов. Точка Шиффлера (pdf) «Математика в школе» №6, 2006 г.
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Тогда прямые Эйлера треугольников $AIC$, $AIB$, $BIC$, $ABC$ пересекаются в одной точке!

Nguyen Minh Ha. A proof of Vittas’ Theorem and its converse (pdf)
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $P$. Тогда прямые Эйлера треугольника $APB$, $BPC$, $CPD$, $DPA$ пересекаются в одной точке.

Debdyuti Banerjee and Sayan Mukherjee. Neuberg Locus And Its Properties (pdf) Journal of Classical Geometry, Volume 2, 2013
Отметим все такие точки $P$, что прямые Эйлера треугольников $APB$, $BPC$, $CPA$ пересекаются в одной точке. Оказывается, что это ГМТ обладает многими интересными своствами.

Точка Микеля, прямая Симсона, прямая Штейнера, теорема Дроз-Фарни

Ю. А. Блинков. Точка Микеля(pdf)
Базовые факты о точке Микеля.

Michal Rol ́ınek and Le Anh Dung The Miquel Points, Pseudocircumcenter, and Euler-Poncelet Point of a Complete Quadrilateral (pdf), Forum Geometricorum Volume 14 (2014) 145–153.

Г. Б. Филипповский. Ґрунтовна розмова про пряму Симсона-Уоллеса
Увлекательный рассказ о всех основных свойствах прямой Симсона, разбирается большое количество примеров!

Д. В. Швецов. От прямой Симсона к теореме Дроз-Фарни (pdf)
Журнал «Квант», №6, 2010 г.

Е. Д. Куланин. О прямых Симсона, кривой Штейнера и кубике Мак-Кэя (pdf)
Ежегодник «Математическое просвещение», №10, М., 2006
Обстоятельная статья, в которой, например, изучается вопрос касания прямых Симсона окружности Эйлера.

Cosmin Pohoata and Son Hong Ta. A Short Proof of Lamoen’s Generalization of the Droz-Farny Line Theorem (pdf)
Теорему Дроз-Фарни можно обобщать в разных направлениях. Об одном таком и идёт речь в статье.

Titu Andreescu and Cosmin Pohoata Droz-Farny Demystified (pdf)
В статье приводится очень короткое доказательство красивого обобщения теоремы Дроз-Фарни.

Теорема Фейербаха и точка Фейербаха

В. Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.
В статье обсуждаются сразу две жемчужины: теорема Тебо и теорема Фейербаха. Оказывается, что одна из теорем является следствием другой!

П.А. Кожевников. Ещё раз о точке Фейербаха. (pdf) Математическое просвещение, Выпуск 15, 2012 г.
«В этой заметке предлагается геометрическое доказательство теоремы Фейербаха, которое дает возможность описать точку Фейербаха и, в частности, получить отличное от авторского геометрическое решение задачи 8 из задачного раздела «Математического просвещения», вып. 14, 2010 г.»

J.L. Ayme. Красивое доказательство теоремы Фейербаха. (pdf)
Очень красивое доказательство теоремы Фейербаха. Оригинал статьи можно посмотреть на странице автора.

Фольклор. Доказательство теоремы Фейербаха по И. Ф. Шарыгину. (pdf)

Nguyen Minh Ha and Nguyen Pham Dat. Synthetic Proofs of Two Theorems Related to the Feuerbach Point.(pdf) Forum Geometricorum Volume 12 (2012) 39–46. В статье излагаются геометрические доказательства двух замечательных теорем, связанных с точкой Фейербаха. Кроме цитированной статьи J. Vonk, рекомендуем заглянуть в статью Куланина Е. Д., в которой теорема Емельянова доказывается с помощью коник.

Jan Vonk. The Feuerbach point and reflections of the Euler line. (pdf) Forum Geometricorum, 9 (2009) 47—55.
Рассматриваются интересные свойства точки Фейербаха.

Куланин Е.Д., Шихова Н.А. Прямые Эйлера и точки Фейербаха.(pdf)
Математическое образование, №2, 2012.

Кожевников П. А.(по статье Д. Гринберга) Обобщение теоремы Фейербаха. (pdf)

Куланин Е. Д. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником. (pdf)
Ежегодник «Математическое просвещение», №9, М., 2005.
Доказательство теоремы Фейербаха через коники! В статье указывается целое семейство окружностей, проходящих через точку Фейербаха(например, окружность, проходящая через основания биссектрис, проходит через точку Фейербаха). Для понимания статьи необходим некоторый опыт работы с кониками, который можно получить, почитав замечательную книгу А. Акопяна, А. Заславского (pdf).

Симедиана

А. Карлюченко, Г. Филипповский. О касательных, проведённых в двух вершинах треугольника , (pdf)

Ю. Блинков. Симедиана (pdf), «Квант», №4, 2015 г.

Tran Quang Hung . A Simple Synthetic Proof of Lemoine’s Theorem (pdf)

Конструкции

В.Ю. Протасов. О двух велосипедистах и вишнёвой косточке (pdf) «Квант», №3, 2008 г. «Попробуем подвести некоторые итоги. Две задачи международных олимпиад, задача о бабочке, два десятка геометрических задач, которые мы сформулировали в виде упражнений (некоторые из них появлялись на математических олимпиадах, в Задачнике , и в различных сборниках задач). Список далеко не полный. И все это выросло из задачи 1, совсем простенькой и неинтересной, которую мы вначале и решать-то не хотели.»

Г. Б. Филипповский. О точке на стороне и двух параллельных (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2011 г.

А. Полянский. Воробьями по пушкам (pdf) «Квант», №2, 2012 г. Решения упражнений
«В этой статье мы пользуясь двумя простыми и элегантными фактами, решим две достаточно сложные задачи.»

Ю. А. Блинков Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и ещё одна точка ! (pdf) «Квант», №2, 2014 г.

А. Карлюченко, Г. Филипповский. Задачи с тремя равными окружностями (pdf) «Математика в школах Украины», № 22-23, август 2014 г.

Г. Б. Филипповский. «Угловые» приключения барона Мюнхгаузена (pdf)

А. Карлюченко, Г.Б. Филипповский. Про вiдстанi вiд вершини трикутника до його чудових точок (pdf). «У світі математики», том 22, випуск 4, 2016 г.

Ф. Нилов. New Examples of Hexagonal Webs of Circles (pdf)

Задача о бабочке

А. В. Спивак. Десять бабочек (pdf)

Е. С. Горская. Шесть доказательств теоремы о бабочке (pdf) Сборник «Учим математике-2». МЦНМО, 2009 г.

Построения

Г. Б. Филипповский, А. Карлюченко На трёх параллельных прямых pdf

А. Д. Блинков Геометрические построения с помощью треугольника-шаблона (pdf) «Квантик», №3-4, 2012 г.

Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2012 г.

Гомотетия

А. Спиров. Неожиданная поворотная гомотетия (pdf) «Квант», №5, 1998 г.

П. А. Кожевников. Задача M2100 (pdf)

Рекомендуем такие интересные серии задач на гомотетию:

Ортоцентр, середина стороны, точка пересечения касательных и … еще одна точка! (pdf)

Полувписанная окружность, окружности Тебо

В. Ю. Протасов. Касающиеся окружноти: от Тебо до Фейербаха. (pdf) «Квант», №4, 2008 г.

Рекомендуем серию задач про полувписанную окружность:
полувписанная окружность

А. Львов. О центрах гомотетий вписанных окружностей и окружностей Тебо pdf

Wilfred Reyes. An Application of Thebault’s Theorem (pdf) Forum Geometricorum Volume 2 (2002) 183–185.

Dmitry S. Babichev. Circles touching sides and the circumcircle for inscribed quadrilaterals (pdf) Journal of Classical Geometry, Volume 1, 2012

Замечательные окружности

Очень советуем порешать замечательную подборку задач Д. В. Прокопенко.

А. Г. Мякишев. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора(pdf)

Jan Vonk and J. Chris Fisher. On a new circle associated with a triangle (pdf) Forum Geometricorum Volume 11 (2011) 13–26.
В статье, посвящённой окружности Фурмана, очень много красивых геометрических доказательств.

Трисекция. Теорема Морлея

Л. Емельянов, Т. Емельянова Теорема Морлея. Сто лет спустя «Математика в школе», 2004 год.

Тоноян Г., Яглом И. Теорема Морлея «Квант» №8, 1978 год.

Е. Д. Куланин Еще раз о трисекции угла (pdf) «Математика в школах Украины», №4, 2012 г.

Изогональное сопряжение

Для первого знакомства с темой рекомендуем книжку В. В. Прасолова и статью Д. Гринберга(ниже).

Д. Гринберг. Isogonal conjugation with respect to a triangle (zip)

А. В. Акопян, А. А. Заславский. Разные взгляды на изогональное сопряжение (pdf) Математическое просвещение, сер. 3, вып. 11, 2007.

Д. В. Прокопенко Изогональное сопряжение и педальные треугольники pdf «Квант» №9, 2017 год.

А. Куликова, Д.В. Прокопенко Теорема об изогоналях pdf , «Квант», №4-5, 2018 год
» В статье приведено доказательство теоремы и продемонстрирована эффективность применения этой теоремы в олимпиадных задачах высокого уровня»

Dimitar Belev. Some Properties of the Brocard Points of a Cyclic Quadrilateral (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 2, 2013

A. В. Акопян. Conjugation of lines with respect to a triangle (pdf), Journal of Classical Geometry, volume 1, 2012
В статье речь идёт об обобщениях изогонального и изотомического сопряжениях. Для понимания статьи нужны знани проективных преобразований и коник. Всё необходимое можно найти в книжке про коники.

Теорема Кэзи

Luis Gonzlez. Casey’s Theorem and its Applications (pdf)

Shay Gueron. Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem (pdf)

Shailesh Shirali. On the Generalized Ptolemy Theorem (pdf)

Л. Емельянов. Замечательная окружность (pdf)

Комбинаторная геометрия

В. Ю. Протасов Теорема Хелли и вокруг неё (pdf) «Квант», №3, 2009 г.

Н. Б. Васильев Формула Пика «Квант», №12, 1974 г. Для дальнейшего знакомства с этим сюжетом рекомендуем книжку Вавилова и Устинова «Многоугольники на решетках»(pdf).

А. Полянский Одной рукой узелок не развяжешь ! (pdf) «Квант» №3, 2013 год.

А. Спивак, М. Смуров Покрытие полосками (часть-1) и (часть-2) «Квант», №4-5, 1998 г.

М. Петкова Салфетки «Кванта» и теорема Пифагора (pdf) «Квант» №3, 2012 год.

С. Табачников, В. Тиморин Прямая Сильвестра(pdf) «Квант», №5, 2009 г.

Геометрические неравенства

В. Протасов, В. Тихомиров Пространство Lp и замечательные точки треугольника (pdf) «Квант», №2, 2012 г.

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Геометрическое доказательство неравенства Эрдеша-Морделла.(pdf)
Forum Geometricorum, 7 (2007) 99-102. В статье излагается одно из самых красивых доказательств известного неравенства.

Замечательные кривые

Акопян А. В. Кардиоида. «Квант» №3, 2012 год.

Теорема Понселе

Протасов В. Ю. Два века теоремы Понселе (pdf), Журнал «Квант» №5-6, 2014 г.

Протасов В. Ю. Обобщенные теоремы о замыкании (pdf) / Generalized closing theorems (pdf)

Е.Диомидов, А.Заславский, В.Калашников, Г.Челноков. Вокруг теоремы Понселе. Материалы ЛКТГ, 2014 г.

Белухов Н. И. The Mixed Poncelet-Steiner Closure Theorem. (pdf)

Алгебра и геометрия

Г. Б. Филипповский. Рене Декарт (1596–1650). Декартова система координат (pdf) «Математика в школах Украины», №35-36, 2011 г.

А.И. Сгибнев. «Геометрия помогает алгебре» (ps, 2M), (ps-zip, 400K), (pdf, 190K)

Стереометрия

В.Ю. Протасов. Выход в пространство-2 pdf «Квант» №1-2, 2018 г.

С. Кузнецов. Расстояния на сфере pdf «Квант» №4, 2017 г.

А. Заславский. Описанная и вписанные сферы тетраэдра «Квант» №1, 2004 год.

А. Заславский, Д. Косов. Изогонально сопряжение в тетраэдре и его гранях «Квант» №3, 2004 год.

Видео:Окружность девяти точек уничтожает задачу на ЕГЭСкачать

Задачи с окружностью 9 точек

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

Задачи с окружностью 9 точек

Возьмём произвольный треугольник ABC и построим середины его сторон. Проведём высоты треугольника – они пересекутся в точке H, называемой его ортоцентром. Отметим ещё 6 точек: основания высот и середины отрезков, соединяющих H с вершинами треугольника.

Если теперь провести окружность через середины сторон треугольника, то она пройдёт и через шесть других отмеченных нами точек. Эта окружность названа в честь великого швейцарского математика Леонарда Эйлера. Другое часто используемое название для неё – окружность 9-ти точек.

Пошевелите вершины треугольника и убедитесь, что окружность всегда проходит через указанные девять точек.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Окружность 9 точек.

В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине отрезка OH и радиусом R/2.

В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек может располагаться следующим образом:

• Она касается описанной окружности в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
• Она целиком лежит внутри описанной окружности, если треугольник остроугольный.
• Она пересекает описанную окружность в двух разных точках, если треугольник тупоугольный.

Утверждение 1:

Треугольники ABC, HBC, AHC, ABH имеют общую окружность 9 точек.

Утверждение 2:

Прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC, ABH пересекаются в одной точке.

Утверждение 3:

Центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC, ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCH.

Видео:16 задание. Профильный ЕГЭ 2023. 9 точек окружности, окружность Эйлера. Что это?Скачать

Урок «Окружность девяти точек»

Видео:Окружность девяти точек, Эйлера, Фейербаха, Теркема...Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:Окружность Эйлера (окружность 9 точек) и прямая ЭйлераСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Описание презентации по отдельным слайдам:

Окружность девяти точек Построение окружности Эйлера с помощью GeoGebra

Окружность девяти точек Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 323 человека из 72 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 702 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Горбовец Екатерина АлександровнаНаписать 1323 24.12.2017

Номер материала: ДБ-985960

24.12.2017 312

24.12.2017 283

24.12.2017 306

24.12.2017 257

24.12.2017 100

24.12.2017 826

24.12.2017 870

24.12.2017 2926

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:26 Окружность девяти точекСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

530 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Проходной балл ЕГЭ для поступления на бюджет снизился впервые за 10 лет

Время чтения: 3 минуты

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Ретроспектива культовой сказки «Вечера на Хуторе близ Диканьки»

Время чтения: 5 минут

Федеральный перечень учебников будет дополнен новыми учебниками

Время чтения: 3 минуты

Порядка 65% выпускников российских вузов идут работать по специальности

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Please wait.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:ШМ. Окружность девяти точек. Теория для сложной геометрии ОГЭ и ЕГЭ.Скачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6cf7e1d42fd27597 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

💥 Видео

Шпаргалка Прямая Эйлера, окружность 9 точекСкачать

Прямая Эйлера и окружность девяти точек -- Олимпиадная математика AllesСкачать

27 Где на прямой Эйлера лежит центр окружности девяти точек?Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Окружность девяти точекСкачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать