Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Как найти градиент

Решение находим с помощью калькулятора.
Градиент grad u

grad u в точке А

Вектор а(2;-1;0)
Направляющие углы

Модуль вектора |a| .

Производная в точке А по направлению вектора а .

Пример №2 . Найти grad u в точке М(0,0,0), если u=х*sin(z)-y*cos(z) .
Найти производную функции u=х*y 2 +z 3 -x*y*z в точке М(1,1,2) в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в 60 о , 45 о , 60 о .

Пример №3 . Даны функция z = f(x,y) , точка A и вектор a . Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке A ; 2) скорость изменения функции в точке A по направлению вектора a.
z = ln(x 2 + 3y 2 ), A(1,1), a(3,2).
Примечание: наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке равна модулю градиента функции в этой точке.
Скачать решение

Задача 1. Найти проекции grad z в точке М(1,2) , где z=ln(4x 2 -y).

Задача 2. Найти производную функции z=х 3 -3x 2 y +3xy 2 +1 в точке М(3,1) в направлении, идущем от этой точки к точке N(6,5) .

Задача 3. Даны функция z = f(x,y) , точка A(x0,y0) и вектор a(a1,a2). Найти:
1) grad z в точке A ;
2) производную в точке A по направлению вектора a .
Решение.
z = ln(5x 2 +3y 2 ), A(1;1), a(3;2)
Скачать решение

Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать

Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.

Градиент функции онлайн

Градиент функции — это вектор координатами которого являются частные производные этой функции по всем её переменным.

Градиент обозначается символом набла . Выражение градиента некоторой функции записывается следующим образом:

где , , — частные производные функции по переменным , , соответственно.

Вектор градиента указывает направление наискорейшего роста функции. Рассмотрим график функции .

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Эта функция достигает своего единственного максимума в точке . График градиентного поля данной функции имеет вид:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Из данного градика видно, что в каждой точке вектор градиента направлен в сторону наискорейшего роста функции, т.е. в точку . При этом модуль вектора отражает скорость роста (крутизну подъёма) функции в этом направлении.

Задача вычисления градиента функции очень часто возникает при поиске эстремумов функции с использованием различных численных методов.

Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить градиент практически любой функции как общем виде, так и в конкретной точке с описанием подробного хода решения на русском языке.

Видео:Градиент в точке.Скачать

Градиент в точке.

Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры

Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать

10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.

Понятие производной по направлению

Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению

Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?

И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.

Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).

Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:

1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Величину отрезка MM 1 можно обозначить Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Функция u = f(M) при этом получит приращение

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Определение производной по направлению. Предел отношения Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точкепри Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке, если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке, то есть

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.

Видео:Частные производные функции многих переменныхСкачать

Частные производные функции многих переменных

Примеры нахождения производной по направлению

Пример 1. Найти производную функции Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точкев точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.

Пример 2. Найти производную функции Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точкев точке M 0 (1; 2) по направлению вектора Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке, где M 1 — точка с координатами (3; 0) .

Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.

Пример 3. Найти производную функции Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точкев точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Решение. Найдём направляющие косинусы вектора

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Видео:ЕГЭ 2017 Профильный №7 найти производную в точке касания #7Скачать

ЕГЭ 2017 Профильный №7 найти производную в точке касания #7

Градиент функции

Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.

Как найти градиент?

Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке, Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке, Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точкеэтой функции в соответствующей точке:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.

Для градиента функции двух переменных формула короче:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

Пример 4. Найти градиент функции Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точкев точке M 0 (2; 4;) .

Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке

Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:

Дана функция z f x y точка а и вектора найти grad z в точке.

🔍 Видео

Производная по направлениюСкачать

Производная по направлению

ГрадиентСкачать

Градиент

Нахождение градиента функции в точкеСкачать

Нахождение градиента функции в точке

ГрадиентСкачать

Градиент

Производная функции. 10 класс.Скачать

Производная функции. 10 класс.

Экстремум функции двух переменныхСкачать

Экстремум функции двух переменных

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Производная по направлениюСкачать

Производная по направлению

Угол между ГРАДИЕНТАМИ. Примеры.Скачать

Угол между ГРАДИЕНТАМИ. Примеры.

Полный дифференциалСкачать

Полный дифференциал

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnline

Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.Скачать

Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.

Вектор-градиент (теория)Скачать

Вектор-градиент  (теория)
Поделиться или сохранить к себе: