Решение находим с помощью калькулятора.
Градиент grad u
grad u в точке А
Вектор а(2;-1;0)
Направляющие углы
Модуль вектора |a| .
Производная в точке А по направлению вектора а .
Пример №2 . Найти grad u в точке М(0,0,0), если u=х*sin(z)-y*cos(z) .
Найти производную функции u=х*y 2 +z 3 -x*y*z в точке М(1,1,2) в направлении, образующем с осями координат углы соответственно в 60 о , 45 о , 60 о .
Пример №3 . Даны функция z = f(x,y) , точка A и вектор a . Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке A ; 2) скорость изменения функции в точке A по направлению вектора a.
z = ln(x 2 + 3y 2 ), A(1,1), a(3,2).
Примечание: наибольшая скорость возрастания функции в указанной точке равна модулю градиента функции в этой точке.
Скачать решение
Задача 1. Найти проекции grad z в точке М(1,2) , где z=ln(4x 2 -y).
Задача 2. Найти производную функции z=х 3 -3x 2 y +3xy 2 +1 в точке М(3,1) в направлении, идущем от этой точки к точке N(6,5) .
Задача 3. Даны функция z = f(x,y) , точка A(x0,y0) и вектор a(a1,a2). Найти:
1) grad z в точке A ;
2) производную в точке A по направлению вектора a .
Решение.
z = ln(5x 2 +3y 2 ), A(1;1), a(3;2)
Скачать решение
Видео:Математика без Ху!ни. Частные производные функции нескольких переменных. Градиент.Скачать
Градиент функции онлайн
Градиент функции — это вектор координатами которого являются частные производные этой функции по всем её переменным.
Градиент обозначается символом набла . Выражение градиента некоторой функции записывается следующим образом:
где , , — частные производные функции по переменным , , соответственно.
Вектор градиента указывает направление наискорейшего роста функции. Рассмотрим график функции .
Эта функция достигает своего единственного максимума в точке . График градиентного поля данной функции имеет вид:
Из данного градика видно, что в каждой точке вектор градиента направлен в сторону наискорейшего роста функции, т.е. в точку . При этом модуль вектора отражает скорость роста (крутизну подъёма) функции в этом направлении.
Задача вычисления градиента функции очень часто возникает при поиске эстремумов функции с использованием различных численных методов.
Наш онлайн калькулятор позволяет вычислить градиент практически любой функции как общем виде, так и в конкретной точке с описанием подробного хода решения на русском языке.
Видео:Градиент в точке.Скачать
Производная по направлению, градиент функции: объяснение, примеры
Видео:10. ФНП. Градиент и производная по направлению функции двух переменных.Скачать
Понятие производной по направлению
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных. Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oy отображается приращение функции f(x) , соответствующее приращению аргумента x . Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x , y , z отображаются на осях Оx , Оy , Оz . Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?
И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
1) функцию u = f(M) , определённую в окрестности точки M с координатами x , y , z ;
Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l . На получившейся прямой отметим точку M 1 , координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:
Величину отрезка MM 1 можно обозначить .
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть
.
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусы показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.
Видео:Частные производные функции многих переменныхСкачать
Примеры нахождения производной по направлению
Пример 1. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2; 3) по направлению вектора .
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением скалярного произведения векторов:
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
А сейчас — домашнее задание. В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.
Пример 2. Найти производную функции в точке M 0 (1; 2) по направлению вектора , где M 1 — точка с координатами (3; 0) .
Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.
Пример 3. Найти производную функции в точке M 0 (1; 1; 1) по направлению вектора .
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Видео:ЕГЭ 2017 Профильный №7 найти производную в точке касания #7Скачать
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M 0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M 0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Пример 4. Найти градиент функции в точке M 0 (2; 4;) .
Решение. Найдём частные производные функции в точке M 0 :
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.
🔍 Видео
Производная по направлениюСкачать
ГрадиентСкачать
Нахождение градиента функции в точкеСкачать
ГрадиентСкачать
Производная функции. 10 класс.Скачать
Экстремум функции двух переменныхСкачать
ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХСкачать
Производная по направлениюСкачать
Угол между ГРАДИЕНТАМИ. Примеры.Скачать
Полный дифференциалСкачать
АЛГЕБРА С НУЛЯ — Что такое Производная?Скачать
Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать
Производная по вектору и по направлению. Градиент. Примеры.Скачать
Вектор-градиент (теория)Скачать