Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник (рис. 9). Докажите, что ∠4 = ∠1 + ∠2 + ∠3.
Содержание
  1. Ваш ответ
  2. Похожие вопросы
  3. Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс
  4. Презентация к уроку
  5. Ход урока
  6. Введение
  7. 1. Теоретическая часть
  8. 2. Практическая часть. Решение задач.
  9. Заключение
  10. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  11. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  12. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  13. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  14. Параллелограмм
  15. Параллелограмм и его свойства
  16. Признаки параллелограмма
  17. Прямоугольник
  18. Признак прямоугольника
  19. Ромб и квадрат
  20. Свойства ромба
  21. Трапеция
  22. Средняя линия треугольника
  23. Средняя линия трапеции
  24. Координаты середины отрезка
  25. Теорема Пифагора
  26. Справочный материал по четырёхугольнику
  27. Пример №1
  28. Признаки параллелограмма
  29. Пример №2 (признак параллелограмма).
  30. Прямоугольник
  31. Пример №3 (признак прямоугольника).
  32. Ромб. Квадрат
  33. Пример №4 (признак ромба)
  34. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  35. Пример №5
  36. Пример №6
  37. Трапеция
  38. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  39. Центральные и вписанные углы
  40. Пример №8
  41. Вписанные и описанные четырёхугольники
  42. Пример №9
  43. Пример №10
  44. 📺 Видео

Видео:№759 Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите, что:Скачать

№759 Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите, что:

Ваш ответ

Видео:№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите егоСкачать

№951. Докажите, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,652
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащихСкачать

№429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих

Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (276 кБ)

Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи:

  1. Изучить теоретический материал: понятия «параллелограмм Вариньона», бимедианы четырехугольника, разобрать доказательство теоремы Вариньона и следствия из нее.
  2. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и, используя теорему Вариньона.
  3. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.

Видео:8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Ход урока

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.

Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.

1. Теоретическая часть

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

Теорема Вариньона [2]

Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

1) KLMN – параллелограмм;

  1. Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL средняя линия треугольника ABC(по определению),следовательно, KLAC. Аналогично, так как MN средняя линия треугольника ADC,то MNAC. Так как KLAC и MNAC следовательно, KLNM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.
  2. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,
  3. т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2.

Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Следствия из теоремы Вариньона

Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: KLMN – ромб

Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

KLMN – параллелограмм Вариньона;

KM и LN перпендикулярны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны

Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – равны

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

Что и требовалось доказать.

Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

KLMN – параллелограмм Вариньона;

диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

KLMN – параллелограмм Вариньона;

бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

Доказать: KLMN – квадрат

Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

Что и требовалось доказать.

2. Практическая часть. Решение задач.

Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).

б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);

Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).

У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

См. теорему Вариньона.

Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Олимпиадные задачи

1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: SABCD= KM*LN

Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Что и требовалось доказать.

2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.

Что и требовалось доказать.

Заключение

«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.

Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.

Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.

Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.

От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.

Видео:№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоуглы Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляются внешними.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоДан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоДан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтото параллелограмм Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляется ромбом.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство теоремы 1.

Дано: Дан невыпуклый четырехугольник докажите чторомб.

Докажите, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство (словестное): По определению ромба Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите чторавнобедренный. Медиана Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(так как Дан невыпуклый четырехугольник докажите что), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоТак как Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляется прямым углом, то Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Аналогичным образом можно доказать, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

План доказательства теоремы 2

Дано: Дан невыпуклый четырехугольник докажите чторавнобедренная трапеция. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Докажите: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтотогда Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопроведем параллельную прямую к прямой Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Дан невыпуклый четырехугольник докажите чточерез точку Дан невыпуклый четырехугольник докажите что— середину стороны Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопроведите прямую параллельную Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоКакая фигура получилась? Является ли Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтотрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоМожно ли утверждать, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Пусть дан треугольник Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои его средняя линия Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПроведём через точку Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопрямую параллельную стороне Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтот.е. совпадает со средней линией Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоТ.е. средняя линия Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопараллельна стороне Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоТеперь проведём среднюю линию Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоТ.к. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтото четырёхугольник Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПо теореме Фалеса Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоТогда Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство: Через точку Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои точку Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтосередину Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Дан невыпуклый четырехугольник докажите чточерез Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Дан невыпуклый четырехугольник докажите чторадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои точка Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокоторая является серединой отрезка Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтото Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоа отсюда следует, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

2) По теореме Фалеса, если точка Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляется серединой отрезка Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтото на оси абсцисс точка Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

3) Координаты середины отрезка Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтос концами Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоточки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтонаходятся так:

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтото, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что— прямоугольный.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтотакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Скачать

№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоДан невыпуклый четырехугольник докажите что

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Дан невыпуклый четырехугольник докажите что+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Решение:

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(АВ CD, ВС-секущая), Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(ВС || AD, CD — секущая), Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. По свойству углов четырёхугольника, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Следовательно, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо двум сторонами и углу между ними.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПри помощи циркуля сравните длины отрезков Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Проведём через точки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопрямые Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопараллельные ВС. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо стороне и прилежащим к ней углам. У них Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопо условию, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак противоположные стороны параллелограммов Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоПроведём прямую Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Через точки Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтопроведём прямые, параллельные прямой Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Дан невыпуклый четырехугольник докажите что, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Поэтому Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРДан невыпуклый четырехугольник докажите что, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Дан невыпуклый четырехугольник докажите что= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак вертикальные, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтовнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Дан невыпуклый четырехугольник докажите чторавнобедренный. Поэтому Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтосоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоДан невыпуклый четырехугольник докажите что

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. По свойству внешнего угла треугольника, Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоДан невыпуклый четырехугольник докажите что— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Из доказанного в первом случае следует, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоизмеряется половиной дуги AD, a Дан невыпуклый четырехугольник докажите что— половиной дуги DC. Поэтому Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтокак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Дан невыпуклый четырехугольник докажите что, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Дан невыпуклый четырехугольник докажите что(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Тогда Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Докажем, что Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что. По свойству равнобокой трапеции, Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Тогда Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтои, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтоцентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Дан невыпуклый четырехугольник докажите чтовписанного в окружность. Действительно,

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Следовательно, четырёхугольник Дан невыпуклый четырехугольник докажите что— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Дан невыпуклый четырехугольник докажите что
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

№772. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА+ХС=XB+XD, где X— произвольнаяСкачать

№772. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА+ХС=XB+XD, где X— произвольная

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.Скачать

№378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Станет ли Галкин Пугачевым? Кто родил Кеннеди? Горячие финские выборыСкачать

Станет ли Галкин Пугачевым? Кто родил Кеннеди? Горячие финские выборы

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольникСкачать

№382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Выпуклые и невыпуклые многоугольникиСкачать

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 классСкачать

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и его элементы. §1 геометрия 8 класс

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку
Поделиться или сохранить к себе: