Что значит коллинеарный вектор и неколлинеарный вектор

Вектор (векторная величина) – всякая величина, обладающая направлением.

Скаляр (скалярная величина) – величина, не обладающая направлением.

Сила , действующая на материальную точку, есть вектор, так как обладает направлением. Например скорость, ускорение, перемещение .

А вот например температура есть скаляр, так как не связано c направлением. Масса, плотность, объём, площадь, время это тоже скаляр.

В аналитической геометрии направленный отрезок называется вектором.

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора. Модуль есть скалярная величина.

О единичном векторе см. здесь

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные вектора. 9 класс.Скачать

Обозначение вектора

Вектор, началом которого служит A, а концом – B, обозначается , $overrightarrow $ также обозначается одной буквой (эту букву печатают жирным шрифтом a, а на письме ставят черту $left| right|$).

Модуль вектора обозначается двумя вертикальными чертами слева и справа:

$overrightarrow $, или |a| , или $left| right|$

Видео:Коллинеарные векторы.Скачать

Нуль-вектор

Если начало A и конец B отрезка AB совпадают, то отрезок AB обращается в точку и теряет направление. Этот вектор называется нуль-вектором и считается коллинеарным и сонаправленным с любым вектором. Обозначается, как число нуль (знак 0).

Любая точка пространства может рассматриваться как нуль-вектор.

Видео:Вектор. Определение. Коллинеарные векторы. Равные векторы.Скачать

Коллинеарные векторы

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых.

Неколлинеарные векторы – это векторы, не лежащие на параллельных прямых.

Другим словами параллельные вектора называются коллинеарными.

Векторы a, c, d – коллинеарны.

Векторы a и d – векторы имеющие одинаковое направление и их называют или сонаправленными или равнонаправленными векторами, а векторы a и c и векторы с и d называют противоположно направленными.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Компланарные векторы

Компланарными векторами называют три вектора, которые лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

На этом рисунке векторы a,b,c являются компланарными

На рисунке векторы m,n,p — некомпланарны

Смешанное произведение трех компланарных векторов равно 0, т.е.

(a, b, c) = 0

Пример смешанного произведения трех компланарных векторов смотрите здесь

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Равенство векторов

Два вектора a и b равны, если они равнонаправленные и имеют один и тот же модуль (длину).

На рисунке векторы a и b равны.

Векторы c и d не равны (даже если длины одинаковы), так как направления различны, следовательно и векторы c и a тоже не равны.

Векторы d и a равны.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы — это коллинеарные вектора, направленные в одну сторону, т.е. совпадают направления.

Обозначение: a↑↑b

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Противоположные векторы

Два коллинеарных (параллельных) вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, т.е. друг другу называются противоположными векторами.

Вектор, противоположный вектору a, обозначается как –a.

Обозначение: a↑↓b

Векторы a и – a — противоположные.

Видео:Что такое вектор? | Коллинеарные векторы | Сонаправленные векторы | МегаШколаСкачать

Вектор: определение и основные понятия

Видео:Понятие вектора. Коллинеарные векторы.Скачать

Определение вектора

рис. 1

Видео:ВЕКТОРЫ 9 класс С НУЛЯ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Обозначение вектора

Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .

Видео:№754. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у , z и постройте векторы x+у, x+z, z+y.Скачать

Длина вектора

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.

Видео:Разложение вектора на неколлинеарные вектора.Скачать

Нулевой вектор

Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Видео:Вектор. Действия над векторами. Коллинеарные и неколлинеарные векторыСкачать

Коллинеарные вектора

рис. 2

Видео:10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Сонаправленные вектора

рис. 3

Видео:Геометрия - 9 класс (Урок№1 - Понятие вектора. Равенство векторов)Скачать

Противоположно направленные вектора

рис. 4

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Компланарные вектора

рис. 5

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Видео:Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным | МатематикаСкачать

Равные вектора

рис. 6

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Единичный вектор

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Векторы: третий уровень сложности

Знакомимся с коллинеарностью.

Для большинства людей искусственный интеллект — это нечто сложное и таинственное. А для математиков это синоним фразы «перемножение матриц». С точки зрения человека, который владеет линейной алгеброй, в искусственном интеллекте нет ничего загадочного.

Мы хотим, чтобы вы тоже смогли понять искусственный интеллект на уровне математики. Для этого у нас идёт цикл статей про линейную алгебру:

Сама тема несложная, но конкретно этот шаг вам ничего не даст в практическом смысле. Но если вам хватит терпения, на базе этих знаний мы уже перейдём к матрицам.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Что за коллинеарность

Представьте два вектора, которые находятся в одной плоскости и располагаются параллельно друг другу. При этом у них может быть разная длина. Такое расположение делает связку векторов коллинеарными, или, по-простому, линейно зависимыми.

И наоборот: если вектора находятся в одной плоскости и располагаются не параллельно друг относительно друга, то их считают линейно независимыми — неколлинеарными. Пока что ничего сложного.

Коллинеарные векторы Неколлинеарные векторы

Сложение коллинеарных и неколлинеарных векторов

Очевидно, что сложить два коллинеарных вектора очень легко: откладываем второй вектор от начала первого, получится новый вектор. Он будет коллинеарным своим слагаемым, они все будут лежать, грубо говоря, на одной линии.

Можно представить, что вы идёте прямо: каждый ваш шаг — это вектор. Каждый новый шаг — новый вектор. Но если все их сложить, получится один большой прямой вектор длиной как все ваши шаги.

Теперь попробуем сложить пару неколлинеарных векторов. Это как если бы мы сначала сделали шаг немного правее, а потом сделали бы шаг влево. Шага два, но если соединить начало и конец пути, он не будет совпадать с траекториями наших шагов. Появится какой-то новый вектор, с новым направлением, и он будет неколлинеарным по отношению к своим слагаемым.

Также пару неколлинеарных векторов из одной плоскости можно растянуть и развернуть в пространстве. Если их сложить, также появится новый вектор.

У математиков такой вектор называют базисом. Когда базис находится на плоскости или в пространстве, то он может единственным образом превращаться обратно в пару неколлинеарных векторов, которые его сформировали.

Правило работает, когда мы масштабируем и меняем расположение векторов в пространстве. Если мы изменим направление исходных векторов, то получим новый базис.

Базис — понятие из высшей математики, поэтому, если сейчас сложно, не отчаивайтесь. Студенты-математики когда-то тоже отчаивались.

Мы изменили пару неколлинеарных векторов и сформировали из них базис — получили новый фиолетовый вектор с собственной системой координат Теперь мы изменили исходные неколлинеарные векторы и получили новый базис — это оранжевый вектор

Как определять неколлинеарность

Когда мы работаем с короткими векторами, всё очевидно: нарисовали систему координат, отложили на ней векторы, они либо совпали, либо не совпали. Если совпали — коллинеарные, если нет — неколлинеарные.

А теперь представьте, что вектора настолько огромные, что мы физически не можем их нарисовать и сопоставить. Например,

Как такое нарисовать? Как проверить коллинеарность? Вот тут начинается магия алгебры.

Есть три способа проверки линейной зависимости векторов. Для простоты вычислений проверим эти три способа на вот этих всё ещё простых векторах:

По этим координатам ответим на два вопроса: являются ли предложенные вектора линейно зависимыми (то есть коллинеарными) и можно ли их раскладывать по базису.

Первый способ. Запишем простую систему уравнений: возьмём первую координату каждого вектора и приравняем её ко второй координате каждого вектора, умноженной на неизвестное число λ. Вычислим λ и сравним результаты.

👉 Знак λ здесь по традиции и для удобства. На самом деле это просто некое неизвестное число. Вместо этой буквы могли быть X, Y, Z или N, но так как у нас вектора уже называются X и Y, а N в математике используется для других целей, возьмём λ — это греческая буква «лямбда», давний предок нашей русской буквы «Л».

Составляем систему уравнений:

Вычисляем значение λ:

Сравниваем результат и делаем вывод:

Мы получили разное значение для неизвестного числа λ и поэтому наши векторы будут считаться линейно независимыми. Из них можно получить базис.

Если бы значение λ совпало, то мы бы имели дело с линейно зависимыми векторами.

Второй способ. Проверяем координаты векторов на пропорциональность: берём первую координату первого вектора, делим её на первую координату второго вектора. Повторяем это же действие со вторыми координатами: берём вторую координату первого вектора и делим её на вторую координату второго вектора.

Получаем такую пропорцию:

Считаем значение и сравниваем результат:

Равенство не выполняется, и поэтому между векторами нет зависимости.

Третий способ. Используем четыре элемента наших координат для поиска определителя — скалярной величины, с которой мы подробно познакомимся в следующих статьях во время решения матричных уравнений. Сейчас нам не нужны подробности, и для проверки линейной зависимости достаточно формулы.

Записываем в две строки координаты наших векторов:

Переводим координаты векторов в определитель — добавляем с двух сторон вертикальную черту и получаем простую квадратную матрицу размером 2 на 2:

В полученной матрице две диагонали. Числа −6 и −1 образуют главную диагональ; числа −4 и 5 — вторую диагональ. Чтобы найти определитель, нам нужно умножить числа главной и второй диагонали, а затем вычесть их разницу.

Если из координат вектора мы получили определитель и он не равен нулю, то векторы считаются линейно независимыми и подходят для разложения по базису.

И наоборот: нулевой определитель указывает на линейную зависимость векторов.

Что из этого нужно запомнить

• С точки зрения векторов важно, они сонаправленные или нет. По-другому — они коллинеарны или нет.
• Коллинеарность влияет на то, что можно делать с этими векторами. Например, неколлинеарные векторы можно разложить по базису.
• Базис — это вектор, который можно разложить на те самые неколлинеарные векторы.
• Коллинеарность легко проверяется через уравнения. Строить векторы на координатной плоскости необязательно.

Что дальше

Следующий шаг — матрицы. Это те самые, которые лежат в основе всех нейронок и искусственного интеллекта. Матрица — это таблица чисел, с которыми можно проводить различные вычисления.