Как поставить биссектрису в треугольнике

Как можно построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?

Как поставить биссектрису в треугольнике

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Процесс построения

Биссектриса (лат. bisectio) представляет собой геометрическое место точек внутри угла (острый, прямой или тупой), которые одинаково удалены от обеих его сторон.

Для её построения нужно подготовить различные школьные принадлежности и выполнить несколько простых действий.

Подготовительный этап

Чтобы быстро найти биссектрису треугольника с помощью циркуля, нужно провести тщательную подготовку. Она заключается в поиске школьных принадлежностей, которые будут использоваться при построении.

Необходимые предметы:

Как поставить биссектрису в треугольнике

Порядок действий

Нарисовать луч, разделяющий пополам угол, можно при помощи транспортира. Однако если этой школьной принадлежности нет в наличии, заменить её сможет обыкновенный циркуль.

Быстрый способ:

Как поставить биссектрису в треугольнике

  1. На листе бумаги рисуют 2 пересекающиеся линии.
  2. Чтобы построить биссектрису данного угла, в его вершину ставят ножку циркуля и чертят окружность произвольного радиуса.
  3. Отмечают точками места пересечения сторон угла с окружностью.
  4. На них поочерёдно ставят циркуль и, не меняя радиус, рисуют 2 дуги.
  5. Находят и отмечают место их пересечения.
  6. Стирают дуги ластиком, чтобы они не мешали дальнейшей работе.
  7. С помощью линейки и простого карандаша проводят искомый отрезок, соединяющий вершину угла с точкой пересечения дуг.

С помощью циркуля можно легко найти биссектрису треугольника (всякого). Для этого понадобится стандартный набор школьных принадлежностей и наличие базовых знаний геометрии.

Порядок действий:

  1. Любым известным способом вписывают окружность в треугольник.
  2. С помощью карандаша и линейки из её центра проводят линии к каждой вершине.
  3. Полученные отрезки станут частью искомого луча.

Видео:Построение биссектрисы в треугольникеСкачать

Построение биссектрисы в треугольнике

Альтернативный вариант

Если у ученика нет циркуля, то начертить луч, разделяющий угол пополам, можно и без этой школьной принадлежности. Для работы понадобится линейка, карандаш и транспортир.

Как поставить биссектрису в треугольнике

Правильная последовательность действий:

Как поставить биссектрису в треугольнике

  1. Нулевое значение на шкале прикладывают к вершине.
  2. Совмещают линейку транспортира с одним из лучей и определяют величину угла.
  3. Полученное значение делят пополам.
  4. Затем заново прикладывают транспортир и откладывают величину, полученную в результате расчётов.
  5. Через эту точку и вершину проводят отрезок, который будет являться искомым лучом.

Видео:ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Полезные советы

В некоторых случаях для нахождения не нужно использовать транспортир и циркуль. Это возможно только тогда, когда нужно определить расположение биссектрисы в треугольнике.

Полезные рекомендации:

  1. Биссектриса всегда разделяет противолежащую сторону треугольника в отношении, равном пропорции 2 других сторон геометрической фигуры.
  2. В равнобедренном треугольнике биссектрисы всегда пересекаются под прямым углом.
  3. Если треугольник равносторонний, то все биссектрисы будут параллельны противоположным сторонам. При этом длина образованных отрезков будет одинаковой.

Построить биссектрису угла с помощью циркуля сможет даже двоечник. Для этого ему понадобится минимум времени, знаний и усилий. Подробно изучив порядок действий, каждый учащийся сможет легко поделить любой угол пополам и объяснить этот процесс одноклассникам.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Как поставить биссектрису треугольника

Видео:Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Please wait.

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d6366e0799076ad • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Как можно построить биссектрису угла с помощью циркуля и линейки?

Как поставить биссектрису в треугольнике

Видео:№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.Скачать

№102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

Процесс построения

Биссектриса (лат. bisectio) представляет собой геометрическое место точек внутри угла (острый, прямой или тупой), которые одинаково удалены от обеих его сторон.

Для её построения нужно подготовить различные школьные принадлежности и выполнить несколько простых действий.

Подготовительный этап

Чтобы быстро найти биссектрису треугольника с помощью циркуля, нужно провести тщательную подготовку. Она заключается в поиске школьных принадлежностей, которые будут использоваться при построении.

Необходимые предметы:

Как поставить биссектрису в треугольнике

Порядок действий

Нарисовать луч, разделяющий пополам угол, можно при помощи транспортира. Однако если этой школьной принадлежности нет в наличии, заменить её сможет обыкновенный циркуль.

Быстрый способ:

Как поставить биссектрису в треугольнике

  1. На листе бумаги рисуют 2 пересекающиеся линии.
  2. Чтобы построить биссектрису данного угла, в его вершину ставят ножку циркуля и чертят окружность произвольного радиуса.
  3. Отмечают точками места пересечения сторон угла с окружностью.
  4. На них поочерёдно ставят циркуль и, не меняя радиус, рисуют 2 дуги.
  5. Находят и отмечают место их пересечения.
  6. Стирают дуги ластиком, чтобы они не мешали дальнейшей работе.
  7. С помощью линейки и простого карандаша проводят искомый отрезок, соединяющий вершину угла с точкой пересечения дуг.

С помощью циркуля можно легко найти биссектрису треугольника (всякого). Для этого понадобится стандартный набор школьных принадлежностей и наличие базовых знаний геометрии.

Порядок действий:

  1. Любым известным способом вписывают окружность в треугольник.
  2. С помощью карандаша и линейки из её центра проводят линии к каждой вершине.
  3. Полученные отрезки станут частью искомого луча.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Альтернативный вариант

Если у ученика нет циркуля, то начертить луч, разделяющий угол пополам, можно и без этой школьной принадлежности. Для работы понадобится линейка, карандаш и транспортир.

Как поставить биссектрису в треугольнике

Правильная последовательность действий:

Как поставить биссектрису в треугольнике

  1. Нулевое значение на шкале прикладывают к вершине.
  2. Совмещают линейку транспортира с одним из лучей и определяют величину угла.
  3. Полученное значение делят пополам.
  4. Затем заново прикладывают транспортир и откладывают величину, полученную в результате расчётов.
  5. Через эту точку и вершину проводят отрезок, который будет являться искомым лучом.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Полезные советы

В некоторых случаях для нахождения не нужно использовать транспортир и циркуль. Это возможно только тогда, когда нужно определить расположение биссектрисы в треугольнике.

Полезные рекомендации:

  1. Биссектриса всегда разделяет противолежащую сторону треугольника в отношении, равном пропорции 2 других сторон геометрической фигуры.
  2. В равнобедренном треугольнике биссектрисы всегда пересекаются под прямым углом.
  3. Если треугольник равносторонний, то все биссектрисы будут параллельны противоположным сторонам. При этом длина образованных отрезков будет одинаковой.

Построить биссектрису угла с помощью циркуля сможет даже двоечник. Для этого ему понадобится минимум времени, знаний и усилий. Подробно изучив порядок действий, каждый учащийся сможет легко поделить любой угол пополам и объяснить этот процесс одноклассникам.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

Как построить биссектрису данного угла? Задачи на построение

Существует такой забавный детский стишок, с помощью которого легко запомнить, что такое биссектриса: «Биссектриса — это такая крыса, что бегает по углам и делит угол пополам». Однако нельзя забывать, что, несмотря на простоту запоминания этого шуточного определения, учитель справедливо потребует другое, взятое из учебника.

В дальнейшем изучении школьной программы дети сталкиваются со сложной с первого взгляда задачей — как построить биссектрису данного угла с помощью циркуля. Однако уже более продвинутый школьник без труда справится с этим заданием, которое является основой выполнения цикла задач на построение в геометрии. Давайте же разберемся с этим вопросом раз и навсегда.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Как построить биссектрису данного угла?

Как поставить биссектрису в треугольникеВам будет интересно: Французский язык: спряжение vivre

Самым очевидным и наиболее простым способом является использование транспортира, но если данного вспомогательного инструмента не оказалось под рукой, надо уметь строить биссектрису без него.

Для выполнения данной задачи, как уже понял читатель, нам потребуется циркуль, а помимо него — линейка (важно понимать, что делениями на ней пользоваться нельзя) и простой карандаш с ластиком.

Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать

№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Алгоритм построения

Необходимо совершить такие действия:

Как поставить биссектрису в треугольнике

  • Установите иглу циркуля в вершине данного угла.
  • Установите циркулем произвольный радиус, проверните инструмент так, чтобы нарисованная им дуга пересекала оба луча, образующие угол.
  • Отметьте точки пересечения дуги со сторонами заданного угла.
  • Переставьте иглу циркуля в одну из отмеченных точек, выберете произвольный радиус и снова проверните циркуль таким образом, чтобы нарисованная им дуга была заключена внутри угла.
  • Аналогичные действия проделайте, передвинув циркуль в точку, отмеченную на другой стороне угла. Важно сохранить радиус, выбранный в предыдущем пункте алгоритма.
  • Отметьте точку пересечения двух дуг, которые были начерчены в двух предыдущих пунктах.
  • Проведите луч из вершины угла, проходящий через эту точку.
  • Полученный луч является искомым.

    Мы дали ответ на поставленный вопрос — как построить биссектрису данного угла.

    Видео:Построить биссектрису угла. Построение с помощью циркуля и линейки.Скачать

    Построить биссектрису угла. Построение с помощью циркуля и линейки.

    Доказательство

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Теперь, разобравшись, как построить биссектрису данного угла, стоит вспомнить еще одно определение биссектрисы, используя термин «геометрическое место точек». Биссектрисой называется геометрическое место точек, которые равноудалены от лучей, образующих угол.

    Согласно выполненному построению в пунктах 4-6, точка, принадлежащая построенной биссектрисе, также принадлежит двум окружностям, равным по радиусу, центр которых располагается на лучах, образующих угол на одинаковом расстоянии от вершины угла (согласно пунктам 1-3 построения). Опустим перпендикуляр из отмеченной в пункте 6 точки на лучи, образующие угол. Докажем, что получившиеся прямоугольные треугольники равны, и выясним, что опущенные перпендикуляры также равны, как соответствующие элементы треугольников. Таким образом, их общая гипотенуза является биссектрисой угла по определению. Что и требовалось доказать.

    Видео:Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать

    Как найти биссектрису в треугольнике?  2 формулы биссектрисы

    Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

    В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

    Видео:Биссектрисы треугольника.Скачать

    Биссектрисы треугольника.

    Определение биссектрисы угла треугольника

    Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

    Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

    Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Видео:Как построить биссектрису, медиану и высоту в треугольникеСкачать

    Как построить биссектрису, медиану и высоту в треугольнике

    Свойства биссектрисы треугольника

    Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

    Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Свойство 2

    Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Свойство 3

    Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Свойство 4

    Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

    BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Свойство 5

    Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    • CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
    • CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
    • DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

    Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

    Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

    Пример задачи

    Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

    Решение
    Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
    BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
    Следовательно, BC = 10 см.

    Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

    Как поставить биссектрису в треугольнике

    Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
    8a = 60 – 6a
    14a = 60
    a ≈ 4,29

    Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

    Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
    AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

  • Поделиться или сохранить к себе: