Что такое вектор состояния системы (5 видео)

Что такое вектор состояния системы

Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»

Понятие пространства состояний

Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).

Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»

Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.

1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.

r — число входов

2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода

m — число выходов.

3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, — переменные состояния, представляются вектором

n — число переменных состояния.

Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, — в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б).

Состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.

Собственно система, ее входы и выходы — это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.

Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний,.

Векторно-матричные модели в непрерывном времени

В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:

где F — n-мерная вектор-функция системы; Q — m-мерная вектор-функция выхода.

Матричное уравнение (1.1) называют уравнением состояния системы. Его решение, удовлетворяющее начальному условию , дает вектор состояния системы

Матричное уравнение (1.2), определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода.

В частном случае зависимости могут быть линейными комбинациями переменных состояния x_i и входных переменных u_q. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме:

Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями

А — функциональная матрица размером n x n, называемая матрицей состояния системы (объекта);

В — функциональная матрица размером n x r, называемая матрицей управления (входа);

С — функциональная матрица размером m x n, называемая матрицей выхода по состоянию;

D — функциональная матрица размером m x r, называемая матрицей выхода по управлению.

Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа.

В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных непрерывных линейных систем, представленное в виде уравнений (1.6), (1.7).

Таким образом, ВММ имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления. Однако с использованием ВММ может быть получено лишь приближенное проектное решение, которое потребует дальнейшего уточнения, так как такие модели отображают динамическое поведение реального объекта лишь в классе стационарных линейных систем.

Построение ВММ реального объекта сопряжено с проблемами линеаризации исходного математического описания и приведения его к структурированному виду — форме Коши.

Если мы знаем физическое описание системы и можем записать уравнения, описывающие поведения ее отдельных частей, то получить уравнения состояния системы обычно сравнительно не трудно. Покажем эту процедуру на нескольких примерах.

Пример 1.1. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.2.

Динамическое поведение этой системы при полностью определяется, если известны начальные значения и входное напряжение U(t) при . Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть

Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения

или в векторно-матричной форме

Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.2. На рис. 1.3. показан электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения, работающий при постоянном магнитном потоке (Ф=const).

Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния: — скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора . При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы и вращающего момента двигателя получим уравнение электрической цепи

и уравнения вращающейся части

где J – приведенный момент инерции электродвигателя.

Представляя векторы состояния, входа и выхода как получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока

То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.3. Построим векторно-матричную модель электромеханического объекта — электропривода постоянного тока, приводящего в движение через механический редуктор тяжелую платформу. Функциональная схема такого объекта приведена на рис. 1.4.

Здесь легко выделить три функциональных элемента, соответствующие трем видам преобразования энергии:

преобразователь, осуществляющий управляемое преобразование электрической энергии;

двигатель, выполняющий преобразование электрической энергии в механическую, — электромеханический преобразователь;

механизм, осуществляющий передачу механической энергии от вала двигателя через редуктор к рабочему органу — платформе.

При использовании общеизвестных допущений [5] и обозначений координат и параметров такого объекта его динамическое поведение при МС=0 описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

Если компонентами вектора состояния выбрать , где U_п – напряжение преобразователя, i_я — ток электродвигателя, — скорость вращения электродвигателя, М_У — момент упругости механизма, — скорость вращения механизма, то элементы векторно-матричной модели

принимают следующий вид:

После подстановки реальных значений параметров объекта, которые приведены в табл. 1.1, компоненты матриц состояния А и управления В принимают вид (1.13).

На рис. 1.5. приведено окно редактирования векторно-матричной модели (1.13) в среде Компьютерного комплекса функционального проектирования динамических систем.

Содержание

Контрольные вопросы к лекции № 1.
ОТВЕТЫ
ВЕ́КТОР СОСТОЯ́НИЯ
Вектор состояния. Амплитуда вероятности.
🎥 Видео

Контрольные вопросы к лекции № 1.

1. Какие переменные при построении математического описания системы принято называть

a) входными переменными;

b) выходными переменными;

c) переменными состояния?

2. Математическое описание объекта с одним входом и одним выходом представлено структурной схемой, содержащей q элементов, представленных передаточной функцией общего вида

Как в этом случае можно определить размерность пространства состояния для описания этого объекта?

3. Математическое описание объекта с двумя входами и одним выходом y(t) представлено следующим уравнением в операторной форме

Какова в этом случае будет размерность пространства состояния n для описания этого объекта?

4. Выберите из приведенных ниже записей возможные формы представления уравнения состояния для непрерывных систем.

5. Объект управления имеет r – входов, m — выходов, его математическое описание в непрерывном времени содержит n дифференциальных уравнений первого порядка. Какова в этом случае будет размерность матрицы состояния?

6. Сформируйте векторно-матричную модель фильтра, электрическая схема которого представлена на рис. 1.6.

Здесь следует учесть, что

объект имеет один вход — U₁ один выход — i_H; все параметры электрической схемы R₁, R₂, L, C₁, C₂, R_H известны и являются постоянными;
могут быть использованы следующие обозначения

7.При составлении математического описания динамических процессов в упругом электромеханическом объекте, влючающем в себя электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (Ф=const) и механизм, модель которого представляется двухмассовой системой (см. пример 1.3), могут быть использованы следующие переменные:

i_я — ток электродвигателя,
— скорость вращения электродвигателя,
М_у – упругий момент механизма,
— скорость вращения механизма,
— угол поворота ротора электродвигателя,
l – линейное перемещение механизма.

Какие из этих переменных, и в какой последовательности включены в состав вектора состояния приведенной ниже векторно-матричной модели?

ОТВЕТЫ

a) переменные, характеризующие реакцию системы на входные воздействия;

b) переменные, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе;

c) промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы.

Видео:Квантовая механика 7 - Вектор состояния. Амплитуда вероятности.Скачать

ВЕ́КТОР СОСТОЯ́НИЯ

В книжной версии

Том 4. Москва, 2006, стр. 710

Скопировать библиографическую ссылку:

ВЕ́КТОР СОСТОЯ́НИЯ, физическая величина, характеризующая возможное состояние квантовой системы; одно из осн. понятий квантовой механики . В отличие от классич. механики, где движение тел описывается экспериментально измеримыми величинами – наблюдаемыми (координатами, импульсом, моментом импульса, энергией и т. д.), в квантовой механике результаты измерений той или иной величины предсказываются лишь вероятностно. Все возможные состояния данной системы образуют пространство состояний (бесконечномерное гильбертово пространство ), элементами которого и являются В. с. Как и в математике, В. с. можно складывать, получая новые возможные состояния ( суперпозиции принцип ), умножать на комплексные числа, каждой паре В. с. сопоставляется комплексное число – их скалярное произведение.

Видео:Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Вектор состояния. Амплитуда вероятности.

В рамках классической Ньютоновской механики система описывается заданием координат и импульсов всех ее составляющих. Другие свойства являются производными от основных, например, кинетическая энергия. С помощью закона Ньютона мы можем предсказать траекторию движения системы в таком фазовом пространстве. То есть изменение координат и импульсов с течением времени. Например для затухающего маятника это будет спираль.

В квантовой механике система описывается вектором соятояния, который живет в Гильбертовом пространстве. Это более абстрактный объект, чем привычный нам набор физических параметров классических систем.

В данном видео мы рассмотрим математический формализм описания векторов состояния. В последствии мы увидим как эти абстрактные векторы используются для реальных физических расчетов.

Алгебра векторов состояния идентична алгебре рассматриваемых в школьной программе векторов. Но они не имеют геометрической интерпретации в виде направленных отрезков. Несмотря на это для наглядности проведем аналогию с обычными векторами.

Вектор на плоскости можно представить направленным отрезком. Однако нам надо уйти от геометрии и характеризовать его только алгебраически. Это можно сделать задав два числа – декартовы координаты вектора. По аналогии, квантовомеханический вектор состояния, живущий в двумерном пространстве, характеризуется двумя числами – компонентами вектора. Мы запишем их в столбец.

Вектор-столбец называется кет-вектором и обозначается правой скобкой. Это просто общепринятый формализм, введенный одним из отцов-основателей квантовой механики Полом Дираком. Внутри скобок может быть что угодно. Это просто условное обозначение, поясняющее о каком векторе состояния идет речь. Аналогично обозначению обычного вектора стрелочкой над символом.

Сам вектор характеризуется набором чисел (компонентами вектора) в количестве равном размерности пространства в котором живет вектор. В нашем случае два. Эти числа в общем случае комплексные. Именно поэтому вектор состояния нельзя представить направленным отрезком. Декартовы координаты не могут быть комплексными числами.

Векторы состояния как и обычные векторы на плоскости можно складывать друг с другом и умножать на число, которое также может быть комплексным. В координатных обозначениях эти операции идентичны операциям с обычными векторами. Однако из-за замены действительных чисел комплексными, графическое представление умножения на число как увеличение длины вектора уже не работает. Как и графическое сложение по правилу параллелограмма.

В квантовой механике очень важно понятие базисных векторов. В случае обычных векторов в качестве базисных можно выбрать перпендикулярные друг другу векторы в количестве равном размерности пространства. На плоскости единичные векторы ex и ey можно выбрать в качестве базисных. Тогда любой произвольный вектор можно представить как сумму базисных, умноженных на определенные числа. В случае обычных векторов эти числа не что иное, как декартовы координаты вектора. В случае векторов состояния это компоненты вектора. В компонентных обозначениях операции сложения и умножения идентичны действиям с обычными векторами.

Следует подчеркнуть, что выбор базисных векторов отнюдь не единственен. Числовые значения компонент вектора зависят от выбранного базиса, но сам вектор (как математический объект) при смене базиса остается неизменным. В частности неизменным останется скалярное произведение векторов. Однако нам не подойдет школьная формула скалярного произведения векторов как произведения их длин на косинус угла между ними. Мы не сможем определить угол между векторами состояния, потому что они не имеют геометрического представления. Нам нужно все перевести на язык алгебры.

Векторы (как и матрицы) перемножаются по правилу «строка на столбец». Мы можем перевести столбец в строку посредством рассматриваемой в прошлом видео операции эрмитового сопряжения, обозначаемой крестиком. Тогда скалярное произведение запишется как произведение вектор-строки на вектор-столбец. Заметьте, что мы получили аналог школьной формулы для скалярного произведения как суммы произведений соответствующих декартовых координат векторов. Но поскольку компоненты векторов состояния являются комплексными числами, из-за эрмитового сопряжения у нас добавилась операция комплексного сопряжения, обозначаемая звездочкой. В случае обычных чисел комплексное сопряжение ничего не делает и мы получим привычную школьную формулу для скалярного произведения.

Эрмитово-сопряженный кет-вектор обозначается левой скобкой и называется бра-вектор. Поскольку эрмитово сопряжение помимо замен столбцов на строки включает еще и комплексное сопряжение, то в разложении вектора по базисным, мы видим комплексно-сопряженные компоненты. Скалярное произведение обозначается совмещением бра- и кет- векторов и называется в квантовой механике амплитуда вероятности по причинам, которые будут ясны в дальнейшем.

Названия предложены Дираком и являются разложением слова брэкет на две части бра- и кет-.

Скалярное произведение интересно во многих отношениях. Скалярное произведение двух векторов дает не вектор, а число (в общем случае комплексное). То есть амплитуда вероятности это комплексное число. Произведение вектора a на b равно комплексному сопряжению произведения b на a.

Заметьте, что даже если компоненты вектора состояния являются комплексными числами, то скалярное произведение вектора с самим собой — это действительное неотрицательное число. Действительно, входящие в формулу произведения комплексных чисел на свои сопряжения это действительные числа — квадраты модулей комплексного числа. Для обычных векторов скалярное произведение вектора с самим собой это квадрат длины вектора.

Еще одно интересное свойство скалярного произведения: Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то для обычных векторов это означает, что они перпендикулярны. В случае векторов состояния говорят, что они ортогональны. Можно, например, убедиться, что базисные векторы ex и ey ортогональны.

И наконец, компонента вектора равна скалярному произведению данного вектора с соответствующим этой компоненте базисным вектором. Для обычных векторов это свойство наглядно поскольку скалярное произведение векторов можно представить как проекцию одного вектора на направление другого. То есть коэффициенты в разложении вектора состояния по базисным векторам являются амплитудами вероятности.