Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Неверно введено число.

Вектор не должен быть нуль-вектором.

Взаимное расположение двух векторов

Введите координаты векторов:

a=( , )
b=( , )
a=( , , )
b=( , , )

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Теория

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых

Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору.

Условие коллинеарности двух векторов. Для того чтобы векторы a и b, заданные координатами, были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны. Т.е. существует такое действительное число λ, что

Условие перпендикулярности двух векторов. Для того чтобы векторы a и b были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их склярное произведение было равно нулю.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Векторы на плоскости и в пространстве — основные определения

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a → . Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B , то вектор обозначается так A B → .

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Видео:СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Длину вектора A B → принято обозначать так A B → .

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Видео:Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Направление векторов

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a → ↑ ↑ b → .

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a → и b → , у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a → ↑ ↓ b → .

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Видео:Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnlineСкачать

Урок 3. Произведение векторов и загадочный угол между векторами. Высшая математика | TutorOnline

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a → и b → . Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы O A → = a → и O B → = b → . Лучи OA и OB образуют угол ∠ A O B = φ .

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

2 42 Ортогональность векторов

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторови Что можно сказать о взаимном расположении векторовосновано на следующих соображениях. Если Что можно сказать о взаимном расположении векторов, то Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов– правая тройка; если Что можно сказать о взаимном расположении векторов, то Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов– левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторови Что можно сказать о взаимном расположении векторовкомпланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю Что можно сказать о взаимном расположении векторов:

Что можно сказать о взаимном расположении вектороввекторы Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторовкомпланарны.

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторови Что можно сказать о взаимном расположении вектороввычисляется как Что можно сказать о взаимном расположении векторов, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Пример 8.1. Вершинами пирамиды служат точки Что можно сказать о взаимном расположении векторови Что можно сказать о взаимном расположении векторов. Найти объем пирамиды.

Что можно сказать о взаимном расположении векторовРешение. Находим векторы Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов, Что можно сказать о взаимном расположении векторов:

Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Находим Что можно сказать о взаимном расположении векторов:

Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Что можно сказать о взаимном расположении векторовСледовательно, Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Глава III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НА ПЛОСКОСТИ

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Основные понятия

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная(декартова) система координат.

Читайте также:

  1. II 5.3. Определение сухой плотности
  2. II этап. Определение общей потребности в собственных финансовых ресурсах.
  3. II. Размещение принятых заказов во времени и пространстве. 1 страница
  4. II. Размещение принятых заказов во времени и пространстве. 2 страница
  5. II. Размещение принятых заказов во времени и пространстве. 3 страница
  6. II. Размещение принятых заказов во времени и пространстве. 4 страница
  7. II. Размещение принятых заказов во времени и пространстве. 5 страница
  8. II. Размещение принятых заказов во времени и пространстве. 6 страница
  9. III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРОИЗВОДСТВА
  10. IV. Определение компенсирующего объёма реализации при изменении анализируемого фактора
Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу масштаба берут обычно одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения Оначалом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Оx), другую – осью ординат (осью Оy) (рис. 23).

На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат − вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят

плоскость на четыре области – четверти (или квадранты).

Единичные векторы осей обозначают Что можно сказать о взаимном расположении векторови Что можно сказать о взаимном расположении векторов Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Систему координат обозначают Oxy (или Что можно сказать о взаимном расположении векторов), а плоскость, в которой расположена система координат, называют координатной плоскостью.

Рассмотрим произвольную точку М плоскости Oxy. Вектор Что можно сказать о взаимном расположении векторовназывается радиус-вектором точки М.

Координатами точки М в системе координат Oxy ( Что можно сказать о взаимном расположении векторов) называются координаты радиус-вектора Что можно сказать о взаимном расположении векторов. Если Что можно сказать о взаимном расположении векторов, то координаты точки М записываются так: Что можно сказать о взаимном расположении векторов, число х называется абсциссой точки М, уординатой точки М.

Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единственная точка М плоскости, и наоборот.

Другой практически важной системой координат является полярная система координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Оp,

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

называемой полярной осью, и единичным вектором Что можно сказать о взаимном расположении векторовтого же направления, что и луч Оp.

Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой стрелки) (см. рис. 24).

Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут Что можно сказать о взаимном расположении векторов, при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным углом.

Для построения всех точек плоскости достаточно полярный угол φ ограничить промежутком Что можно сказать о взаимном расположении векторов(или Что можно сказать о взаимном расположении векторов), а полярный радиус – Что можно сказать о взаимном расположении векторов. В этом случае каждой точке плоскости (кроме О) соответствует единственная пара чисел r и φ, и обратно.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху, а полярную ось с положительной полуосью Ох. Пусть х и у – прямоугольные координаты точки М, а r и φ – ее полярные координаты.

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Из рисунка 25 видно, что прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные координаты точки следующим образом:

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Полярные же координаты точки М выражаются через ее декартовы координаты (тот же рисунок) такими формулами:

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Определяя величину φ, следует установить (по знакам х и у) четверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Пример 9.1. Дана точка Что можно сказать о взаимном расположении векторов. Найти полярные координаты точки М.

Что можно сказать о взаимном расположении векторовРешение: Находим r и φ:

Что можно сказать о взаимном расположении векторов

Что можно сказать о взаимном расположении векторовОтсюда Что можно сказать о взаимном расположении векторовНо так как точка М лежит в 3-й четверти, то Что можно сказать о взаимном расположении векторови Что можно сказать о взаимном расположении векторов. Итак, полярные координаты точки М есть Что можно сказать о взаимном расположении векторов, т.е. Что можно сказать о взаимном расположении векторов.

Дата добавления: 2015-01-15 ; просмотров: 11 ; Нарушение авторских прав

🎥 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

А ТЫ УЖЕ РАЗОБРАЛСЯ С УМНОЖЕНИЕМ ВЕКТОРОВ? ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэСкачать

А ТЫ УЖЕ РАЗОБРАЛСЯ С УМНОЖЕНИЕМ ВЕКТОРОВ? ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ

Лекция 26. Взаимное расположение двух плоскостей.Скачать

Лекция 26. Взаимное расположение двух плоскостей.

ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тестСкачать

ТЕСТ НА ЭРУДИЦИЮ и кругозор: МНОГО УМНЫХ ВОПРОСОВ, ответы знает не каждый. #насколькотыумный #тест

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов через координаты. 9 класс.

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?Скачать

➡️ КАК ВЫЧИТАТЬ ВЕКТОРЫ?

A.7.3 Проекции векторов. А вот и датасайнс!Скачать

A.7.3 Проекции векторов. А вот и датасайнс!
Поделиться или сохранить к себе: