Задачи треугольник паскаля с решениями

В данной работе рассмотрены примеры решения комбинаторных задач и задач по теории вероятностей с помощью треугольника Паскаля.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Скачать:

Видео:Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

Предварительный просмотр:

Задача 1 .В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали. Получу число 56.

Задача 2. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.

Задача 3. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Найду диагональ четвёртую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 6. Вычислю факториал числа 2, получу 2. Искомое произведение равно 12.

Задача 4 . У ювелира есть пять изумрудов, восемь алмазов, четыре топаза. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Два изумруда из пяти имеющихся можно выбрать 10 способами, три алмаза из восьми 56 способами, два топаза из четырёх 6 способами. Браслет можно сделать 3360 способами, т.е.

Задача 5 . В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

Решение. Сначала найдём общее число возможных исходов, т.е. сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради из 12 тетрадей

А сколькими способами мы можем выбрать 3 тетради в клетку из имеющихся 5 тетрадей?

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

По формуле нахождения вероятности получим

Задача 6 .На плоскости даны 10 прямых, причём среди них нет параллельных и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: ответ находится на пересечении —

На плоскости даны 14 прямых, причём четыре из них параллельны и через каждую точку их пересечения проходят ровно две прямые. Сколько у них точек пересечения?

Решение: В предыдущей задаче было 10 непараллельных прямых и они имели 45 точек пересечения. Одна из 10 непараллельных пересекает четыре параллельные в 4 точках, т.е. добавим ещё 40 точек пересечения. В ответе получим 85 точек пересечения.

Сколько нечетных трехзначных чисел (без повторения цифр в числе) можно составить из цифр 1, 2, 3,4, 5?

Всего можно составить 60 чисел. Из них у 12 чисел запись заканчивается цифрой 1, у следующих 12 чисел на 2, ещё у 12 на 3, ещё у 12 на 4, у последних 12 на 5. Исключим 24 чётных числа, запись которых оканчивается на 2 и 4. Наш ответ 36 чисел.

В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вынуть 2 мяча из 10 имеющихся можно 45 способами. Вероятность нашего события 2 из 45.

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки?

Сочетаний по три точки из одиннадцати будет 165. Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность только одну. Вокруг наших треугольников будет 165 окружностей.

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Вариации на тему «Треугольник Паскаля»

Вариации на тему «Треугольник Паскаля»

Треугольник Паскаля является, пожалуй, одной из наиболее известных и изящных числовых схем во всей математике.

Блез Паскаль, французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметическом треугольнике».

Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года — даты выхода в свет трактата.

Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного астрономом Петром Апианом.

Изображен треугольник и на иллюстрации книги «Яшмовое зеркало четырех элементов» китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году.

Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Построение треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля — это просто бесконечная числовая таблица «треугольной формы», в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Свойства треугольника Паскаля

Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2 n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1) Все строки Паскаля симметричны (потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична) Каждый член строки Паскаля с номером n тогда и только тогда делится на т, когда т — простое число, а n — степень этого простого числа

Треугольные числа
Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные, тетраэдрические и другие числа. Треугольные числа указывают количество шаров или других предметов, уложенных в виде треугольника (эти числа образуют следующую последовательность: 1,3,6,10,15,21. в которой 1- первое треугольное число, 3- второе треугольное число, 6-третье и т. д. до m-ro, которое показывает, сколько членов треугольника Паскаля содержится в первых m его строках — от нулевой до (m-1)-й).

Тетраэдрические числа
Члены последовательности 1,4, 10, 20, 36, 56. называются пирамидальными, или, более точно, тетраэдрическими числами: 1- первое тетраэдрическое число, 4- второе, 10- третье и т. д. до m-ro. Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

Числа Фибоначчи
В 1228 году выдающийся итальянский математик Леонардо из Пизы, более известный сейчас под именем Фибоначчи, написал свою знаменитую «Книгу об абаке». Одна из задач этой книги — задача о размножении кроликов — приводила к последовательности чисел 1,1,2,3,5,8,13,21. в которой каждый член, начиная с третьего, представляет собой сумму двух предыдущих членов. Эта последовательность носит название ряда Фибоначчи, члены ряда Фибоначчи называют числами Фибоначчи. Обозначая n-е число Фибоначчи через

Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь. Образуем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи. Для доказательства интересующего нас предложения достаточно показать, что сумма всех чисел, составляющих n-ю и (n+1) диоганали треугольника Паскаля равна сумме чисел, составляющих его т+2-ю диагональ.

Биномиальные коэффициенты
Числа, стоящие по горизонтальным строкам, являются биномиальными коэффициентами. Строка с номером n состоит из коэффициентов разложения бинома (1+n)n. Покажем это при помощи операции Паскаля. Но сначала представим, как биномиальные коэффициенты определяются.

Возьмем бином 1+х и начнем возводить его в степени 0, 1, 2, 3 и т. д., располагая получающиеся при этом многочлены по возрастающим степеням буквы х. Мы получим

Вообще, для любого целого неотрицательного числа n
(1+x)n=a0+a1x+a2x2+. +apxp,
где a0,a1. ap

Последнее соотношение можно переписать в виде а из соотношений 1-4 получаем

Образовался треугольник Паскаля, каждый элемент которого

Именно это фундаментальное свойство треугольника Паскаля связывает его не только с комбинаторикой и теорией вероятностей, но и с другими областями математики и ее приложений.

Решение задач с применением треугольника Паскаля

Старинные задачи о случайном
Еще в глубокой древности появились различные азартные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы, когда игроки бросали кости животных. Также пользовались популярностью игральные кости — кубики с нанесенными на гранях точками. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе.

Эти игры подарили математикам массу интересных задач, которые потом легли в основу теории вероятностей. Очень популярны были задачи о дележе ставки. Ведь, как правило, игра велась на деньги: игроки делали ставки, а победитель забирал всю сумму. Однако игра иногда прерывалась раньше финала, и возникал вопрос: как разделить деньги.

Многие математики занимались решением этой проблемы, но до середины XVII века так и не нашли его. В 1654 году между французскими математиками Блезом Паскалем, уже хорошо известным нам, и Пьером Ферма возникла переписка по поводу ряда комбинаторных задач, в том числе и задач о дележе ставки. Оба ученых, хотя и несколько разными путями, пришли к верному решению, деля ставку пропорционально вероятности выигрыша всей суммы при продолжении игры.

Следует отметить, что до них никто из математиков вероятность событий не вычислял, в их переписке теория вероятностей и комбинаторика впервые были научно обоснованы, и поэтому Паскаль и Ферма считаются основателями теории вероятностей.

Рассмотрим одну из задач Ферма, решенную Паскалем с помощью своей числовой таблицы.

Пусть до выигрыша всей встречи игроку А недостает двух партий, а игроку В — трех партий. Как справедливо разделить ставку, если игра прервана?

Паскаль складывает количество партий, недостающих игрокам, и берет строку таблицы, в которой количество членов равно найденной сумме, т. е. 5. Тогда доля игрока А будет равна сумме трех (по количеству партий, недостающих игроку В) первых членов пятой строки, а доля игрока В — сумме оставшихся двух чисел. Выпишем эту строку: 1,4,6,4, 1. Доля игрока А равна 1+4+6=11, а доля В -1+4=5.

Другие арифметические треугольники

Рассмотрим треугольники, построение которых связано с известными однопараметрическими комбинаторными числами. Создание таких треугольников основано на принципе построения рассматриваемого выше треугольника Паскаля.

Рассмотрим построенный арифметический треугольник. Данный треугольник носит название треугольника Люка, так как суммы чисел, стоящих на восходящих диагоналях, дают последовательность чисел Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, / которые могут быть определены как

Ln=Ln-1+Ln-2, L0=2, L1=1

Каждый элемент треугольника определяется по правилу Паскаля Ln+1,k=Ln, k-1+Ln, k при начальных условиях L1,0=1, L1,1=2 и L0,k=0

т. е. n-я строка треугольника люка может быть получена сложением n-й и (n-1)-й строк треугольника Паскаля.

Из чисел (fm, n), удовлетворяющих уравнениям
fm, n=fm-1,n+fm-2,n,
fm, n=fm-1,n-1+fm-2,n-2, где с начальными условиями f0,0=f1,0=f1,1=f2,1=1 строится следующий треугольник.

fm, n =fn fn-m, m Є n Є 0, где fn — n — е число Фибоначчи. Построенный треугольник назван треугольником Фибоначчи.

Рассмотрим еще один треугольник, создание которого основано на методе построения треугольника Паскаля. Это треугольник Трибоначчи. Он назван так потому, что суммы элементов, стоящих на восходящих диагоналях, образуют последовательность чисел Трибоначчи: 1,1,2,4,7,13,24,44. которая может быть определена следующим рекуррентным соотношением: tn+3 = tn+2 + tn+1 + tn с начальными условиями t0 = 1, t1 = 1, t2 = 2

Построение «знакового треугольника»

Перед нами треугольник, составленный из одних знаков, плюсов и минусов, по принципу образования треугольника Паскаля. В отличие от последнего, он расположен основанием вверх.

Сначала задается первая строка, состоящая из произвольного количества знаков и их расположения. Каждый знак следующей строки получается путем перемножения двух вышестоящих знаков.

Одной из наших задач является установить, при каком количестве знаков первой строки число минусов и плюсов будет одинаковым. Общее количество знаков в таблице можно определить формулой

где n — число знаков в первой строке.

Образуется последовательность чисел, при которых количество минусов и плюсов может быть равным: 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15, 16. каждое из которых показывает количество знаков в первой строке. Однако не установлено, при каком расположении знаков число минусов и плюсов будет однозначно одинаковым.

Второй нашей задачей, касающейся треугольника произведения знаков, является установление наименьшего количества плюсов, которое может иметь «знаковый треугольник».

Существует интересная последовательность знаков первой строки: +, -, -, +, -, -, . (или -, -, + ,- ,- ,+ , . ), при которой число плюсов, как до сих пор считается, будет наименьшим и равным 1/3 от общего числа знаков, т. е. равным

Важно заметить, что если постепенно обходить треугольник, то последовательность знаков +, -, -, . сохранится.

Обратим внимание на тот факт, что наименьшее количество плюсов, равное 1/3 от общего числа знаков, можно увидеть и в треугольнике при n = 2.

Видео:4.3 Треугольник Паскаля 1. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать

Задачи треугольник паскаля с решениями

Главная
• Список секций
• Математика
• Треугольник Паскаля

Видео:БИНОМ Ньютона | треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Замечательная геометрическая фигура и самая популярная в школьной программе геометрии — это треугольник. Но треугольники «поселились» не только на страницах учебника геометрии. В данной работе мы рассмотрим не обычный треугольник, а треугольник, состоящий из чисел – треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

Познакомиться с таким математическим объектом, как треугольник Паскаля

Пополнить запас научных знаний.

Продолжить знакомство с основными историческими этапами возникновения и развития математической науки, судьбами открытий, именами людей, творивших науку. В первую очередь с биографией ученого Блеза Паскаля.

Самостоятельно попытаться составить данный треугольник.

Рассмотреть свойства треугольника Паскаля.

Определить значимость открытия треугольника Паскаля.

Сформулировать вывод и итоги исследования.

Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей.

Актуальность данной работы не вызывает сомнения, поскольку обусловлена, с одной стороны большим интересом к теме «Треугольник Паскаля» в современной науке, с другой стороны, её недостаточной разработанностью.

Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач.

Сбор первоначальных сведений о треугольнике в энциклопедической и учебно-научной литературе.

Построение треугольник Паскаля.

Выявление «волшебных» свойств чисел треугольника.

Изучение возможностей применения треугольника Паскаля.

Формулирование итогов и выводов.

аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

поиск информации в интернет — ресурсах.

1.Биография Блеза Паскаля

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями.

Одним из них является Блез Паскаль — французский математик, физик, философ и мастер прозы.

Родился Блез Паскаль в 1623 г. 19 июня в Клермон — Ферране, в семье председателя суда города Этьена Паскаля.

Род Паскалей отличали незаурядные способности, а Блеза одаренность посетила с раннего детства. Этьен Паскаль уделил много внимания развитию умственных способностей сына и уже в 16 лет Блез сочинил труд под названием «Опыт о конических сечениях» в котором содержалась теорема известная, как теорема Паскаля.

Вклад Паскаля в науках очень велик. Вот лишь некоторые из них: заложил основы современной теории вероятностей и математического анализа, сформулировал основной закон гидростатики, написал множество трудов по философии, изобрел шприц, создал гидравлический пресс и вычислительное устройство «Паскалин» (прототип калькулятора), изобрел тачку, придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Умер Блез Паскаль 19 августа 1662 года.

Вследствие его больших вкладов в изучение давления в физике, в честь Паскаля назвали единицу измерения давления (Па). Так же в честь Паскаля назвали язык программирования Pascal .

2.Определение и основные свойства треугольника Паскаля.

2.1 История треугольника.

Треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года — даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля

Похожий треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Яна Хуэя, изданной в 1303 году.

О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

2.2 Построение треугольника Паскаля.

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике» (Мартин Гарднер).

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой (рис.1):

на вершине и по боковым сторонам стоят единицы,

-каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. Продолжать треугольник можно бесконечно.

2.3 Основные свойства треугольника Паскаля.

Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

Первое и последнее числа – 1; второе и предпоследнее – n.

Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси треугольника.

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна (рис.2)

Первая диагональ — это натуральные числа, идущие по порядку (рис.3).

Вторая диагональ — это «треугольные» числа (Рис.3). Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде.

Третья диагональ — это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее) (рис.4).

Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.

Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.

Бином Ньютона – возведение выражения (a + b) в степень. При возведении в степень получаются коэффициенты, равные числам в треугольнике Паскаля.

Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи (число равно сумме двух предыдущих чисел) (рис.5).

Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные — белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Удивительное свойство треугольника Паскаля.

3. Применение треугольника Паскаля.

Где же применяется треугольник Паскаля?

При решении комбинаторных задач.

Треугольник Паскаля используется для решения различных задач в области физики:

принцип минимума потенциальной энергии;

материальные точки и центр тяжести;

центр тяжести системы двух материальных точек;

центр тяжести стержня с многими грузами;

невозможность вечного двигателя.

С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

Вот далеко не полный перечень свойств чисел треугольника Паскаля и его многочисленных применений.

4. Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач.

Свойства треугольника Паскаля, наверное, были бы не столь значимы, если бы на их основе нельзя было решать математические задачи. Такие задачи можно встреть в ОГЭ, ЕГЭ и в олимпиадных задачах старшего школьного уровня. Треугольник Паскаля используется при решении комбинаторных задач, для решения различных задач в области физики. С построением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении программирования.

Найдите сумму первых 8 треугольных чисел.

Найдем сумму первых восьми чисел 3 диагонали треугольника Паскаля. (рис.6) Получится 120.

Вася построил из шариков пирамиду. Известно, что на её строительство ушло 286 шариков, сколько «этажей» в Васиной пирамиде?

В данной задаче нам известно, что на строительство пирамиды ушло 286 шариков. Найдем решение с помощью треугольника Паскаля, в котором количество прямоугольников, пересеченных зеленой линией, будет наш ответ. (рис. 7)

Ответ: 11 «этажей».

В магазине «Теплица» продается 6 различных сортов помидор. Сколькими способами можно выбрать из них 3 сорта помидор?

В данной задаче нам даны различные сорта, поэтому повторений не будет и порядок выбора сортов нам неважен, нам важно количество, а именно 3. Найдем решение с помощью нашего треугольника Паскаля, в котором пересечении 3-й диагонали и 6 строки будет наш ответ (рис.8).

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки

Ответ находится на пересечении 11 ряда и 3 диагонали: Это число – 165 (рис.9).

Ответ: 165 окружностей.

Танк может двигаться по квадратам, видимым на карте, размером 4 на 4 только вправо или вниз. Он стоит в точке А. Из штаба пришло задание прибыть в точку В. Сколько маршрутов передвижения может использовать экипаж?

В квадраты a2, a3, a4, а1, b1, c1, d1 танк попадёт 1 способом, в квадрат b2 может добраться 2 способами (рис.10(а)). В квадрат с2 и b3 — 3 способами, d2 и b4 — 4 способами, в c3 – 6 способами, d3, c4 – 10 способами и в квадрат d4 (точка В) – 20 способами. (рис.10(б))

Ответ: 20 способов.

Решив задачу, мы замечаем, что полученные на «карте» числа образуют треугольник Паскаля. Таким образом, можно сделать вывод, что число в треугольнике Паскаля показывает количество способов передвижения от вершины треугольника до данного числа.

Из пункта А по сети дорог идет группа из человек. На каждом перекрестке, начиная с А, пришедшие туда люди делятся пополам – половина идет по направлению l, половина – по направлению m (рис.11). Сколько человек придет в пункты В, С, D, …, I соответственно?

Количество людей, пришедших в искомые точки соответствует числам n-ой строки. В данном случае, n = 7, следовательно¸ искомое количество людей на каждом перекрестке соответствует 7 строке треугольника Паскаля (рис.12).

Ответ: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Возведите в степень: (u — v) 5

У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:

Тогда у нас есть:

( u — v ) 5 = ( u + (- v )) 5 = 1( u ) 5 + 5( u ) 4 (- v ) 1 + 10( u ) 3 (- v ) 2 + 10( u ) 2 (- v ) 3 + 5( u ) (- v ) 4 +1(- v ) 5 = u 5 — 5 u 4 v + 10 u 3 v 2 — 10 u 2 v 3 + 5 uv 4 — v 5 .

В ходе исследования мы убедились, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач. Треугольник Паскаля имеет применение не только в математике, но и в физике, информатике.

Изучение темы «Треугольник Паскаля» оказалось очень интересной и необычной. Работа над проектом показала, что математика – это не только точная, но и красивая наука.

Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках/ С.Г.Гиндикин. – М.: Терра, 2013. – 480с.

Энциклопедия для детей Аванта+: В 57 т. Т. 11. Математика/ под ред. М. Аксёновой, В. Володина, М. Самсоновф – М.: Аванта+, 2003. — 688 с.

Корбалан, Ф. Мир математики: В 40 т. Т.1. Золотое сечение, математический язык красоты/ Пер. с исп. — М.: DeAgostini, 2014. — 164 с.: ил.

Гарднер, М. Математические новеллы. (Mathematics Games) / Пер. с англ. Ю.А.Данилова; под ред. Я.А. Смородинского — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Успенский, В.А. Треугольник Паскаля. Популярные лекции по математике. Выпуск 43/ ред. В.В. Донченко — 2-е изд. доп. — М.: Наука, 1979. — 48 с.: ил.

💡 Видео

Треугольник ПаскаляСкачать

#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов | Python для начинающихСкачать

Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

РАЗБИРАЕМСЯ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПАСКАЛЯ ЧАСТЬ II 😊 #shorts #математика #егэ #задачи #егэ2022 #огэ2022Скачать

Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)Скачать

Треугольник ПаскаляСкачать

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ, В УРАВНЕНИЯХСкачать

Урок 10. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. Алгебра 11 класс.Скачать

Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома НьютонаСкачать

Треугольники. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

4.3 Треугольник Паскаля 2. "Поколение Python": курс для продвинутых. Курс StepikСкачать

Как из треугольника Паскаля сделать ковёр Серпинского?Скачать

Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник ПаскаляСкачать

Как треугольник Паскаля поможет умножать без калькулятораСкачать