Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,279
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,962
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Описанные четырехугольники
Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
| Фигура | Рисунок | Утверждение |
| Ромб |  | В любой ромб можно вписать окружность |
| Квадрат |  | В любой квадрат можно вписать окружность |
| Прямоугольник |  | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом |
| Параллелограмм |  | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом |
| Дельтоид |  | В любой дельтоид можно вписать окружность |
| Трапеция |  | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
| Ромб |
|
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что
Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b.
Возможны два случая a > b и a
Поскольку 
получаем: 
Второй случай. Аналогично случаю 1 имеем:
Ответ: 
или 