Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Докажите, что AB + CD = BC + AD.

Видео:16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.Скачать

16) Четырехугольник АВСD описан около окружности, AD=7, DC=12, BC=13. Найдите AB. Математика огэ.

Ваш ответ

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

решение вопроса

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,279
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,962
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CDСкачать

№47. В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что
КвадратЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите что

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите что

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите что

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите что

ТрапецияЧетырехугольник abcd описан около окружности докажите что

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Найдите периметр треугольника ABM, если известно, что AB = a и CD = b.

Возможны два случая a > b и a

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Поскольку Четырехугольник abcd описан около окружности докажите чтополучаем: Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Второй случай. Аналогично случаю 1 имеем:

Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

Ответ: Четырехугольник abcd описан около окружности докажите чтоили Четырехугольник abcd описан около окружности докажите что

💡 Видео

ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

ОГЭ по математике. Задание 15

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около негоСкачать

Геометрия Сторона AD четырехугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около него

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжениеСкачать

Геометрия Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продолжение

Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаСкачать

Задача об окружности, описанной около четырёхугольника

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

👨🏻‍💻 C/C++ - фильтрация консольного вводаСкачать

👨🏻‍💻 C/C++ - фильтрация консольного ввода

#29. Регион ВсОШ 2023, 9.5Скачать

#29. Регион ВсОШ 2023, 9.5

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,Скачать

№371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом,

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Описанный четырехугольникСкачать

Описанный четырехугольник

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

8 класс.  Четырехугольник  и окружность
Поделиться или сохранить к себе: