Как доказать что прямая параллельна плоскости метод координат

В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.

Навигация по странице.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.

Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Для обозначения параллельности используется символ «». То есть, если прямая a и плоскость параллельны, то можно кратко записать a .

Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a » одинаково употребимы.

В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости — признак и условия параллельности.

Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости. Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых.

Если прямая a , не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b , которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .

Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10 — 11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.

Определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора плоскости позволяют записать необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости.

Для параллельности прямой a , не лежащей в плоскости , и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости .

Это условие удобно использовать для доказательства параллельности прямой и плоскости, которые заданы в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве некоторыми уравнениями.

Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , а плоскости соответствует общее уравнение плоскости . Тогда — направляющий вектор прямой a , а — нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности векторов и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости ( a не лежит в плоскости ) примет вид , где — направляющий вектор прямой a , — нормальный вектор плоскости .

Разберем решения нескольких примеров.

Являются ли прямая и плоскость параллельными?

Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости: . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, — направляющий вектор прямой , — нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.

да, прямая и плоскость параллельны.

Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz , если .

Точка не лежит в координатной плоскости Oyz , так как абсцисса этой точки отлична от нуля.

Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор . В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор . Координаты точек начала и конца вектора позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : . Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.

нет, не параллельны.

Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.

Пусть прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей ,
а плоскость — общим уравнением плоскости .

Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений.

Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.

И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.

В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Несовместность этой системы уравнений можно также показать, используя метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Докажите параллельность прямой и плоскости .

Перейдем от канонических уравнений прямой к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:

Для доказательства параллельности прямой и плоскости покажем, что система уравнений не имеет решения. Воспользуемся методом Гаусса:

Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .

Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Метод координат

Для решения задачи по стереометрии координатным методом нужно выбрать декартову систему координат. Ее можно выбрать как угодно, главное, чтобы она была удобной. Приведем примеры выбора системы координат в кубе, пирамиде и конусе:

Далее необходимо найти координаты основных точек в выбранной системе координат. Это могут быть вершины объемной фигуры, середины ребер или любые другие точки, указанные в условии задачи. Найдем координаты куба и правильной пирамиды (предположим, что все ребра равны (4)):

Куб: Очевидно, что координаты точки (A) в начале координат — ((0;0;0)). т. (B) — ((4;0;0)), т. (G) — ((4;4;4)) и т.д. (Рис. 1).

С кубом все просто, но в других фигурах могут возникнуть трудности с нахождением координат.

Давайте рассмотрим правильную пирамиду (ABCD):

У (т. A) координаты ((0;0;0)), потому что она лежит в начале координат.

Координату (x) точки (С) можно получить, опустив перпендикуляр (CE) из (т.С) на ось (OX). (см. Рис. 2). Получится (т.E), указывающая на искомую координату по (x) – 2.

Координату (y) точки (С) тоже получаем, опустив перпендикуляр (CF) на ось (OY). Координата (y) (т.С) будет равна длине отрезка (AF=CE). Найдем его по теореме Пифагора из треугольника (AFC): $$ ^2=^2+^2,$$ $$ 4^2=2^2+^2,$$ $$ CE=sqrt. $$ Координата (z) точки (C), очевидно, равна (0), потому что (т.С) лежит в плоскости (XOY). $$ C (2;sqrt; 0). $$

И найдем координаты вершины пирамиды ((т.D)). (Рис. 3) Координаты (X) и (Y) у точки (D) совпадают с координатами (X) и (Y) у точки (H). Напомню, что высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения медиан, биссектрис и высот. Отрезок (EH=frac*CE=frac*sqrt) (медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении как (frac)) и равен координате точки (D) по (Y). Длина отрезка (IH=2) будет равна координате точки (D) по (X). А координата по оси (Z) равна высоте пирамиде: $$ ^2=^2+^2, $$ $$ =sqrt<4^2-<frac*AF>^2>, $$ $$ =frac. $$ $$ D (2, frac*sqrt, frac). $$

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Координаты вектора

Вектор – отрезок, имеющий длину и указывающий направление.

На самом деле, понимать, что такое вектор для решения задач методом координат необязательно. Можно просто использовать это понятие, как необходимый инструмент для решения задач по стереометрии. Любое ребро или отрезок на нашей фигуре мы будем называть вектором.

Для того, чтобы определить координаты вектора, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки. Пусть у нас есть две точки (Рис. 4) : $$ т.А(x_A,y_A,z_A); $$ $$ т.B(x_B,y_B,z_B); $$ Тогда координаты вектора (vec) можно определить по формуле: $$ vec=. $$

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

Скрещивающиеся прямые

И так, мы научились находить координаты точек, и при помощи них определять координаты векторов. Теперь познакомимся с формулой нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми (векторами). Пусть даны два вектора: $$ a=;$$ $$ b=; $$ тогда угол (alpha) между ними находится по формуле: $$ cos=frac<sqrt<^2+^2+^2>*sqrt<^2+^2+^2>>. $$

Видео:Метод координат для ЕГЭ с нуля за 30 минут.Скачать

Уравнение плоскости

В задачах №14 (С2) ЕГЭ по профильной математике часто требуется найти угол между прямой и плоскостью и расстояние между скрещивающимися прямыми. Но для этого вы должны уметь выводить уравнение плоскости. В общем виде уравнение плоскости задается формулой: $$ A*x+B*y+C*z+D=0,$$ где (A,B,C,D) – какие-то числа.

Если найти (A,B,C,D), то мы мы найдем уравнений плоскости. Плоскость однозначно задается тремя точками в пространстве, значит нужно найти координаты трех точек, лежащий в данной плоскости, а потом подставить их в общее уравнение плоскости.

Например, пусть даны три точки:

Подставим координаты точек в общее уравнение плоскости:

$$begin A*x_K+B*y_K+C*z_K+D=0,\ A*x_L+B*y_L+C*z_L+D=0, \ A*x_P+B*y_P+C*z_P+D=0.end$$

Получилась система из трех уравнений, но неизвестных 4: (A,B,C,D). Если наша плоскость не проходит через начало координат, то мы можем (D) приравнять (1), если же проходит, то (D=0). Объяснение этому простое: вы можете поделить каждое ваше уравнения на (D), от этого уравнение не изменится, но вместо (D) будет стоять (1), а остальные коэффициенты будут в (D) раз меньше.

Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестные – можем решить систему:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки $$ K(1;2;3);,P(0;1;0);,L(1;1;1). $$ Подставим координаты точек в уравнение плоскости (D=1): $$begin A*1+B*2+C*3+1=0,\ A*0+B*1+C*0+1=0, \ A*1+B*1+C*1+1=0.end$$ $$begin A+2*B+3*C+1=0,\ B+1=0, \ A+B+C+1=0.end$$ $$begin A-2+3*C+1=0,\ B=-1, \ A=-C.end$$ $$begin A=-0.5,\ B=-1, \ C=0.5.end$$ Получаем искомое уравнение плоскости: $$ -0.5x-y+0.5z+1=0.$$

Видео:Векторный метод в стереометрии. Задача 14 профильный ЕГЭСкачать

Расстояние от точки до плоскости

Зная координаты некоторой точки (M(x_M;y_M;z_M)), легко найти расстояние до плоскости (Ax+By+Cz+D=0:) $$ rho=frac<sqrt>. $$

Найдите расстояние от т. (H (1;2;0)) до плоскости, заданной уравнением $$ 2*x+3*y-sqrt*z+4=0.$$

Из уравнения плоскости сразу находим коэффициенты: $$ A=2,,B=3,,C=-sqrt,,D=4.$$ Подставим их в формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости. $$ rho=frac<|2*1+3*2-sqrt*0+4|><sqrt<2^2+3^2+<-sqrt>^2>>. $$ $$ rho=frac<sqrt>=3.$$

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через вторую прямую.

Таким образом, если требуется найти расстояние между скрещивающимися прямыми, то нужно через одну из них провести плоскость параллельно второй прямой. Затем найти уравнение этой плоскости и по формуле расстояния от точки до плоскости найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Точку на прямой можно выбрать произвольно (у которой легче всего найти координаты).

Рассмотрим задачу из досрочного ЕГЭ по математике 2018 года.

Дана правильная треугольная призма (ABCFDE), ребра которой равны 2. Точка (G) — середина ребра (CE).

• Докажите, что прямые (AD) и (BG) перпендикулярны.
• Найдите расстояние между прямыми (AD) и (BG).

Решим задачу полностью методом координат.

Нарисуем рисунок и выберем декартову систему координат. (Рис 5).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Параллельность обозначается « ∥ ». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид a ∥ α . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Считается, что прямая a , параллельная плоскости α и плоскость α , параллельная прямой a , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

Если заданная прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна прямой b , которая принадлежит плоскости α , тогда прямая a параллельна плоскости α .

Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10 — 11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Для параллельности прямой a , не принадлежащей плоскости α , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.

Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

Допустим, прямая а в систему координат О х у задается каноническими уравнениями прямой в пространстве , которые имеют вид x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , плоскостью α с общими уравнениями плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Отсюда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором с координатами прямой а, n → = ( A , B , C ) — нормальным вектором заданной плоскости альфа.

Чтобы доказать перпендикулярность n → = ( A , B , C ) и a → = ( a x , a y , a z ) , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.

Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Отсюда a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n → = ( A , B , C ) — нормальным вектором плоскости α .

Определить, параллельны ли прямая x = 1 + 2 · λ y = — 2 + 3 · λ z = 2 — 4 · λ с плоскостью x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .

Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M ( 1 , — 2 , 2 ) не подходят. При подстановке получаем, что 1 + 6 · ( — 2 ) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .

Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x = 1 + 2 · λ y = — 2 + 3 · λ z = 2 — 4 · λ имеют значения a → = ( 2 , 3 , — 4 ) .

Нормальным вектором для плоскости x + 6 y + 5 z + 4 = 0 считается n → = ( 1 , 6 , 5 ) . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и n → . Получим, что a → , n → = 2 · 1 + 3 · 6 + ( — 4 ) · 5 = 0 .

Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

Определить параллельность прямой А В в координатной плоскости О у z , когда даны координаты A ( 2 , 3 , 0 ) , B ( 4 , — 1 , — 7 ) .

По условию видно, что точка A ( 2 , 3 , 0 ) не лежит на оси О х , так как значение x не равно 0 .

Для плоскости O x z вектор с координатами i → = ( 1 , 0 , 0 ) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой A B как A B → . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора A B . Получим, что A B → = ( 2 , — 4 , — 7 ) . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов A B → = ( 2 , — 4 , — 7 ) и i → = ( 1 , 0 , 0 ) , чтобы определить их перпендикулярность.

Запишем A B → , i → = 2 · 1 + ( — 4 ) · 0 + ( — 7 ) · 0 = 2 ≠ 0 .

Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.

Ответ: не параллельны.

Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.

При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , плоскостью α — общим уравнением плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .

Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а также уравнению плоскости A x + B y + C z + D = 0 .

Следовательно, система уравнений, имеющая вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , называется несовместной.

Верно обратное: при отсутствии решений системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не существует точек в О х у z , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.

Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

Доказать , что прямая x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 параллельна плоскости 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 .

Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 ⇔ — 1 · x = — 1 · ( y + 2 ) 3 · x = — 1 · z 3 · ( y + 2 ) = — 1 · z ⇔ x — y — 2 = 0 3 x + z = 0

Чтобы доказать параллельность заданной прямой x — y — 2 = 0 3 x + z = 0 с плоскостью 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x — y — 2 = 0 3 x + z = 0 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 .

Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

Расписав уравнения, получаем, что 1 — 1 0 2 3 0 1 0 6 — 5 1 3 2 3

1 — 1 0 2 0 3 1 — 6 0 1 1 3 — 11 1 3

1 — 1 0 2 0 3 1 — 6 0 0 0 — 9 1 3 .

Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

Делаем вывод, что прямая x — 1 = y + 2 — 1 = z 3 и плоскость 6 x — 5 y + 1 3 z — 2 3 = 0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.

Ответ: прямая и плоскость параллельны.

💥 Видео

6. Параллельность прямой и плоскостиСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

22. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространствеСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Стереометрия ЕГЭ. Метод координат. Часть 5 из 5. Расстояние между прямымиСкачать