Чертежи с помощью векторов

ВЫСОКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ


Векторизация чертежей

Электронный чертеж, сканированный или созданный каким-либо другим способом и сохраненный в виде картинки в формате .jpeg, .png и т.д., представляет собой как раз растровое изображение.

В CAD-системе можно легко дополнять и изменять чертеж, создавать на основе его другие чертежи и технологические эскизы, а также проводить изменения и многие другие преобразования.

— Еще одной причиной перевода является возможность использования векторного чертежа на лазерном, гравировальном и другом оборудовании.

— Для архивов использование векторных чертежей имеет большое преимущество, т.к. сканированные и растровые изображения занимают больше памяти, требуют больше компьютерных ресурсов, нежели векторные.

— Также для архивов бумажное хранение не так удобно в работе, поиск бумажного документа требует времени, кроме того требуется и огромное количество бумаги.

Векторные чертежи можно масштабировать без потери качества, растровые нет, иногда мелкие растровые надписи при большом приближении невозможно и прочитать.

Как видно векторизация чертежей имеет огромное значение.

Чертежи с помощью векторов

Как осуществляется векторизация

— Векторизация чертежей может проводиться вручную в необходимой CAD-системе, т.е. при наличии всех размеров или главных размеров на картинке его можно просто перечертить вручную или построить 3d-модель и на основе нее построить чертеж. Также возможно использовать рисунок в качестве подложки и по нему вручную повторить все линии.

В ручном режиме векторизации можно найти ошибки чертежа, какие-то неточности, несоответствие ЕСКД и решить их, так новый чертеж получится не просто векторный чертеж, а еще и правильный чертеж.

— Также возможен автоматизированный перевод, для этого используются специальные программы, позволяющие перевести растровое изображение в векторное. Для этого необходимо открыть рисунок и дать команду векторизации.

Но необходимо помнить, что данный способ несет некоторую погрешность, т.е. малые дуги могут стать фасками и наоборот, в случае грубых рисунков программа добавит много лишних линий, сплайнов и т.д., работать в последующем с таким чертежом будет сложнее.

Несмотря на это автоматизированный перевод имеет свои преимущества, например, для векторизации узора, имеющего множество элементов, отрисовывать которые вручную заняло бы недели, программа сделает это в считанные секунды. Да, может быть погрешность, но узоры не требуют высокой точности.

Автоматизированный способ векторизации конечно прогрессивный, но все же два этих способа имеют место быть.

Векторизацию можно рассматривать, как оцифровку чертежей, только оцифровку в векторный формат. Возможно векторизовать чертежи в различные форматы, то есть для различных CAD-систем. Наиболее популярна векторизация чертежей в формат AutoCAD, а также векторизация чертежей в Компас.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Чертежи с помощью векторов

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Чертежи с помощью векторов

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Чертежи с помощью векторов
Чертежи с помощью векторов

Длина вектора Чертежи с помощью векторовв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Чертежи с помощью векторов

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Чертежи с помощью векторов

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Чертежи с помощью векторов

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Чертежи с помощью векторови Чертежи с помощью векторов.

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Произведение вектора на число:

Чертежи с помощью векторов

Скалярное произведение векторов:

Чертежи с помощью векторов

Косинус угла между векторами:

Чертежи с помощью векторов

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Чертежи с помощью векторов

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Чертежи с помощью векторови Чертежи с помощью векторов. Для этого нужны их координаты.

Чертежи с помощью векторов

Запишем координаты векторов:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

и найдем косинус угла между векторами Чертежи с помощью векторови Чертежи с помощью векторов:

Чертежи с помощью векторов

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Чертежи с помощью векторов

Координаты точек A, B и C найти легко:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Чертежи с помощью векторов

Координаты вершины пирамиды: Чертежи с помощью векторов

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Найдем координаты векторов Чертежи с помощью векторови Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

и угол между ними:

Чертежи с помощью векторов

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Чертежи с помощью векторов

Запишем координаты точек:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Чертежи с помощью векторов

Найдем координаты векторов Чертежи с помощью векторови Чертежи с помощью векторов, а затем угол между ними:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. ГеометрияСкачать

Выразить векторы. Разложить векторы. Задачи по рисункам. Геометрия

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Чертежи с помощью векторов

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Чертежи с помощью векторов

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Чертежи с помощью векторов

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Чертежи с помощью векторов

То есть A + C + D = 0.

Чертежи с помощью векторовЧертежи с помощью векторов

Аналогично для точки K:

Чертежи с помощью векторов

Получили систему из трех уравнений:

Чертежи с помощью векторов

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Чертежи с помощью векторов

Решив систему, получим:

Чертежи с помощью векторов

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Чертежи с помощью векторов

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Чертежи с помощью векторов

Вектор Чертежи с помощью векторов— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Чертежи с помощью векторовимеет вид:

Чертежи с помощью векторов

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Чертежи с помощью векторов

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Чертежи с помощью векторов

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Чертежи с помощью векторов

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Чертежи с помощью векторовперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Чертежи с помощью векторов

Напишем уравнение плоскости AEF.

Чертежи с помощью векторов

Берем уравнение плоскости Чертежи с помощью векторови по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Чертежи с помощью векторовЧертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Чертежи с помощью векторов

Нормаль к плоскости AEF: Чертежи с помощью векторов

Найдем угол между плоскостями:

Чертежи с помощью векторов

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Чертежи с помощью векторов

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Чертежи с помощью векторовили, еще проще, вектор Чертежи с помощью векторов.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Координаты вектора Чертежи с помощью векторов— тоже:

Чертежи с помощью векторов

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Чертежи с помощью векторов

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Чертежи с помощью векторов

Получим:
Чертежи с помощью векторов

Ответ: Чертежи с помощью векторов

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Чертежи с помощью векторов— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Чертежи с помощью векторов— нормаль к плоскости α.

Чертежи с помощью векторов

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Чертежи с помощью векторов

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Находим координаты вектора Чертежи с помощью векторов.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Чертежи с помощью векторов.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Чертежи с помощью векторов

Ответ: Чертежи с помощью векторов

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Чертежи с помощью векторов

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Чертежи с помощью векторов, AD = Чертежи с помощью векторов. Высота параллелепипеда AA1 = Чертежи с помощью векторов. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Чертежи с помощью векторов

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Чертежи с помощью векторовЧертежи с помощью векторов

Решим эту систему. Выберем Чертежи с помощью векторов

Тогда Чертежи с помощью векторов

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Чертежи с помощью векторов

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Чертежи с помощью векторов

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Сложение и вычитание векторов

Чертежи с помощью векторов

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Чертежи с помощью векторов

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Чертежи с помощью векторов

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Чертежи с помощью векторов

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + > right) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Чертежи с помощью векторов

Разность векторов. Вычитание векторов

Чертежи с помощью векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec — vec = vec )

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec right| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec — vec = left( <- , — , — > right) )

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrowright|=left|kright||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

📺 Видео

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

#3. Уроки ArtCAM для начинающих. Как создать вектор из картинкиСкачать

#3. Уроки ArtCAM для начинающих. Как создать вектор из картинки

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси.  9 класс.

Скалярное произведение векторов. 9 класс.Скачать

Скалярное произведение векторов. 9 класс.

Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Векторное произведение векторов | Высшая математика

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторы

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

А ТЫ УЖЕ РАЗОБРАЛСЯ С УМНОЖЕНИЕМ ВЕКТОРОВ? ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэСкачать

А ТЫ УЖЕ РАЗОБРАЛСЯ С УМНОЖЕНИЕМ ВЕКТОРОВ? ЧАСТЬ II #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ
Поделиться или сохранить к себе: