Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Видео:Геометрия Через вершину C трапеции ABCD проведена прямая, которая параллельна боковой стороне ABСкачать

Геометрия Через вершину C трапеции ABCD проведена прямая, которая параллельна боковой стороне AB

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.

а) Докажите, что MK = NL.

б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

В решении задачи будем использовать подобие треугольников и теорему Фалеса.

а) Треугольники AMK и ABC подобны по 2 углам (∠ A — общий, ∠AMK = ∠ABC, как соответственные при параллельных прямых). Тогда Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали асПо теореме Фалеса получаем Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали асоткуда

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

(последнее равенство следует из подобия треугольников BDC и LDN по двум углам). Следовательно, Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали асоткуда MK = NL. Что и требовалось доказать.

б) Обозначим MK = NL x, KL = 3x. Из треугольников ABC и AMK:

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Из подобных треугольников ACD и KCN (опять же по 2-м углам):

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Обозначим Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали аси выпишем полученную систему двух уравнений:

Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Окончательно Через вершину в трапеции авсд с основаниями ад и вс проведена прямая параллельная диагонали ас

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Видео:№152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. НайдитеСкачать

№152. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС через вершину С проведена прямая, параллельная АВ и пересекающая AD в точке М. Докажите, что в треугольнике DCM две стороны

Видео:Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны... (задание 23 ОГЭ)Скачать

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны... (задание 23 ОГЭ)

Ваш ответ

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,701
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

📹 Видео

4.40.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

4.40.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.Скачать

№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.

№438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CDСкачать

№438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:Скачать

№552. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите:

ОГЭ 2022 Математика Задача №23 Вариант 4 Сборник под редакцией Ященко 36 вариантов.Скачать

ОГЭ 2022 Математика Задача №23 Вариант 4 Сборник под редакцией Ященко 36 вариантов.

№387. Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A=36°, ∠C= 117°.Скачать

№387. Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A=36°, ∠C= 117°.

№29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскостиСкачать

№29. В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

№30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежитСкачать

№30. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина С лежит

№38. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD,Скачать

№38. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD,

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые #математика #огэ #впрСкачать

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые #математика #огэ #впр

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать

Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020

№522. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD=17 см, ВС=5 см и боковой стороной АВ=10 см черСкачать

№522. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD=17 см, ВС=5 см и боковой стороной АВ=10 см чер

№150. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскостиСкачать

№150. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости
Поделиться или сохранить к себе: