Через центр о окружности вписанной в треугольник авс проведена прямая mn параллельная ab

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N?

Геометрия | 10 — 11 классы

Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N.

А) Докажите, что периметр треугольника АMN равен АB + АC.

Б) Найдите периметр этого треугольника, если известно, что площадь треугольника АВС равна √15, ВС = 2, а отрезок АО в 4 раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности.

А) Периметр треугольника AMN равен АМ + AN + MN.

Центр вписанной окружности О лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника АВС.

Следовательно, треугольник ОМВ равнобедренный, так как &lt ; MOB = &lt ; OBC (как накрест лежащие при параллельных прямых

MN и ВС и секущей ОВ), а &lt ; MBO = &lt ; OBC (так как ОВ — биссектриса угла В треугольника АВС).

Точно так же в треугольнике NOC имеем ON = NC.

MN = MO + ON или MN = MB + NC.

AB = AM + MB, AC = AN + NC.

Тогда периметр треугольника AMN равен

АМ + AN + NO + OM = АМ + AN + NC + MB = АВ + АС, что и требовалось доказать.

Б) Из прямоугольного треугольника АОР (радиус в точку касания перпендикулярен касательной) имеем : АР = √(AO² — OP²) = √(16r² — r²) = r√15.

Тогда по свойству : «Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d = (a + b — c) / 2 = p — c», где с — сторона, лежащая против угла С, имеем : АВ + АС — ВС = 2r√15 (1).

С другой стороны по формуле площади треугольника имеем : Sabc = p * r, где р — полупериметр треугольника АВС.

Отсюда r = S / p = 2√15 / (AB + AC + BC).

Подставляем (2) в (1) : АВ + АС — ВС = 2 * (2√15 / (AB + AC + BC)) * √15.

АВ + АС — 2 = 2 * (2√15 / (AB + AC + 2)) * √15.

Или (АВ + АС — 2 ) * (AB + AC + 2) = 4 * 15.

Или (АВ + АС)² — 4 = 4 * 15, отсюда

(АВ + АС) = √(4(1 + 15)) = 8.

Но выше мы доказали, что АВ + АС — это периметр треугольника AMN.

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР?

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР.

Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 60, тангенс угла ВАС равен 4 / 3 (четыре третьих).

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР?

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР.

Радиус окружности вписанной в треугольник ВСР, равен 8, тангенс угла ВАС равен 3 / 4.

Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Помогите пожалуйста?

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР.

Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 60, тангенс угла ВАС равен 4 / 3.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

В треугольнике АВС стороны равны 3?

В треугольнике АВС стороны равны 3.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК параллельно АС, ВМ : АМ = 1 : 4?

Прямая пересекает стороны треугольника АВС в точках М и К соответственно так, что МК параллельно АС, ВМ : АМ = 1 : 4.

Найдите периметр треугольника ВМК, если известно что периметр треугольника АВС равен 25 см.

В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 90, МN средняя линия MN / / АВ?

В прямоугольном треугольнике АВС угол В равен 90, МN средняя линия MN / / АВ.

Докажите, что радиус окружности вписанный в треугольник АВС, в 2 раза больше радиуса окружности, вписанный в треугольник МNC.

Из вершины прямого угла с треугольника АВС проведена высота СР?

Из вершины прямого угла с треугольника АВС проведена высота СР.

Радиус окружности, вписанной в треугольник вср, равен 8, тангенс угла ВАС равен 4 3.

Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность радиуса 10см?

Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность радиуса 10см.

Н сторону треугольника.

Помогите плииз 1)из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР?

Помогите плииз 1)из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР.

Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСР, равен 8, тангенс угла ВАС равен 3 / 4.

Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС

2)из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР.

Радиус окружности, вписанной в треугольник АСР равен 12 см, тангенс угла АВС равен 2, 4.

Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.

Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник АВС, касается средней линии треугольника, параллельной стороне ВС?

Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник АВС, касается средней линии треугольника, параллельной стороне ВС.

Периметр треугольника АВС равен 24.

Найти стороны треугольника.

Вы перешли к вопросу Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N?. Он относится к категории Геометрия, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Через центр о окружности вписанной в треугольник авс проведена прямая mn параллельная ab

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 16. Планиметрия с доказательством.

1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что ∠ABM =∠DBС = 30°.
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 3?
Ответ: б) 1:3

3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC = AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O— центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = 6, а BC = 6√2.
Ответ: б) 18√3

4. В треугольнике ABC точки A ₁ , B ₁ , C ₁ — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, H— лежат на одной окружности.
б) Найдите A₁ H, если BC = 2√3.

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L— точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Ответ: б) √10

6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.
а) Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.
б) Известно, что sin ∠AOC=√15/4. Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.
Ответ: б) 1:4

7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен √23.
Ответ: б) 115/6

8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 3 и MK = 12.

10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.

11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC = 8.
Ответ: б) 2,88

12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC = ∠OBC+∠OCB.
а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OHI, если ∠ABC = 55°.

13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый.
а) Докажите, что треугольник PQW— прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C ₁ , B ₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику AB ₁ C ₁ .
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠ А = 45°, B ₁ C ₁ =6 и площадь треугольника AB ₁ C ₁ в восемь раз меньше площади четырёхугольника BCB ₁ C _{1 .}

15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC— биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 15 и BD = 8,5.

16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны
б) Пусть Р – точка пересечения прямых АС и NH, а Q – точка пересечения прямых ВС и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если АН = 12 и ВН = 3.

17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin ∠BMC если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Ответ: б) 0,65

18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН:АС, если угол АВС равен 30.
Ответ: б) 3:4

19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно.
а) Докажите, что KC = (KL+KM-LM)/2 .

б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60.
Ответ: б) 5:2

20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC =1.
Ответ: б) 3

21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K.
а) Докажите, что CK*CE = AB*CD.
б) Найдите отношение CK к KE, если ∠ ECD = 15.
Ответ: б) 2:1

22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos ∠BAC = 7/25.
Ответ: б) 25:36

23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
Ответ: б) 5:4

24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P.
а) Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если AM = 1, BM = 3, а Q – середина дуги MB.

25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 24 и BN = 23.

26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центр окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что AP/PD = sin ∠D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 3 и 1.

27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin ∠AOD = sin ∠ BOS.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠ BAD = 90, а основания равны 5 и 7.

28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.