Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать

1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примеры

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости и векторы.

Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на перпендикулярной к данной плоскости прямой.

Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n → , расположенном в плоскости γ , вектор t · n → , имея ненулевое значение параметра t , также нормальный вектор плоскости γ . Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

Задана прямоугольная система координат О х у z в трехмерном пространстве. Координатные векторы i → , j → , k → считаются нормальными векторами плоскостей O y z , O x z и O x y . Это суждение верно, так как i → , j → , k → ненулевые и расположены на координатных прямых O x , O y и O z . Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям O y z , O x z и O x y .

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат О х у z . Для определения нормального вектора n → = ( A , B , C ) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 . То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2 x — 3 y + 7 z — 11 = 0 .

По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n → = ( 2 , — 3 , 7 ) — это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t · n → = 2 · t , — 3 · t , 7 · t , t является любым действительным числом не равным нулю.

Ответ: n → = ( 2 , — 3 , 7 ) .

Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x + 2 z — 7 = 0 .

По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости. Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x + 2 z — 7 = 0 к виду 1 · x + 0 · y + 2 z — 7 = 0 . Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны ( 1 , 0 , 2 ) . Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ответ: ( t , 0 , 2 · t ) , t ∈ R , t ≠ 0 .

При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид x a + y b + z c = 1 , и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1 a , 1 b , 1 c .

Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебра

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости.

Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.

В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.

Навигация по странице.

Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации.

Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы – основные определения.

Дадим определение нормального вектора плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек— нормальный вектор плоскости Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек, то вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекпри некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек(смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.

Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.

Приведем пример нормального вектора плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Координатные векторы Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекявляются нормальными векторами плоскостей Oyz , Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекненулевые и лежат на координатных прямых Ox , Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz , Oxz и Oxy соответственно.

Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.

Озвучим цель, которая преследовалась при создании этого пункта статьи: научиться находить координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz .

Общее уравнение плоскости вида Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекопределяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек. Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.

Рассмотрим несколько примеров.

Найдите координаты какого-либо нормального вектора плоскости Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x , y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек— один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек, где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Плоскость задана уравнением Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек. Определите координаты ее направляющих векторов.

Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекв виде Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек. Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек, а множество всех нормальных векторов запишется как Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Уравнение плоскости в отрезках вида Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек, как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Видео:Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/Скачать

Геометрия. 9 класс. Уравнение прямой. Направляющий вектор и вектор нормали прямой /22.10.2020/

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.Скачать

Математика Без Ху!ни. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек
Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Длина вектора Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точеки Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Произведение вектора на число:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Скалярное произведение векторов:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Косинус угла между векторами:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точеки Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек. Для этого нужны их координаты.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Запишем координаты векторов:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

и найдем косинус угла между векторами Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точеки Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Координаты точек A, B и C найти легко:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Координаты вершины пирамиды: Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Найдем координаты векторов Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точеки Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

и угол между ними:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Запишем координаты точек:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Найдем координаты векторов Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точеки Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек, а затем угол между ними:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:11 класс, 3 урок, Связь между координатами векторов и координатами точекСкачать

11 класс, 3 урок, Связь между координатами векторов и координатами точек

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

То есть A + C + D = 0.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекКак найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Аналогично для точки K:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Получили систему из трех уравнений:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Решив систему, получим:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекимеет вид:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Напишем уравнение плоскости AEF.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Берем уравнение плоскости Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точеки по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекКак найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Нормаль к плоскости AEF: Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Найдем угол между плоскостями:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекили, еще проще, вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Координаты вектора Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек— тоже:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Получим:
Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Ответ: Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек— нормаль к плоскости α.

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Находим координаты вектора Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Ответ: Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек, AD = Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек. Высота параллелепипеда AA1 = Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точекКак найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Решим эту систему. Выберем Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Тогда Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Как найти нормальный вектор к плоскости с координатами точек

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

🔍 Видео

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать

Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскости

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебра

Координаты вектора. 9 класс.Скачать

Координаты вектора. 9 класс.

5. Нормальное уравнение плоскости выводСкачать

5. Нормальное уравнение плоскости вывод

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Найти точку пересечения прямой и плоскостиСкачать

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)Скачать

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)

Репетитор по математике ищет нормаль к плоскостиСкачать

Репетитор по математике ищет нормаль к плоскости

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | Математика

Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать

Уравнение плоскости через 3 точки
Поделиться или сохранить к себе: