Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

Лекция 2. Ортогональные проекции прямой
Содержание
  1. 2.1. Задание прямой на эпюре
  2. 2.2. Прямые частного положения
  3. 2.3. Метод прямоугольного треугольника
  4. 2.4. Точка и прямая
  5. Упражнение
  6. Упражнение
  7. 2.5. Следы прямой
  8. 2.6. Взаимное расположение прямых
  9. 2.7. Проекции плоских углов
  10. Теорема о проецировании прямого угла в частном случае
  11. 2.8. Задачи для самостоятельного решения
  12. Проецирование прямой линии в начертательной геометрии с примерами
  13. Прямые общего и частного положения
  14. Прямые, параллельные плоскостям проекций
  15. Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций
  16. Определение натуральной величины прямой
  17. Следы прямой
  18. Взаимное положение прямых
  19. Образование проекций. Методы проецирования
  20. Ортогональный чертеж. Проецирование точки
  21. Октанты
  22. Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой
  23. Прямые частного положения
  24. Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника
  25. Следы прямой
  26. Взаимное положение двух прямых
  27. Проецирование плоских углов
  28. Начертательная геометрия, решение задач №31-38 СибАДИ
  29. ТЕМА6. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей или множества геометрических элементов
  30. 📺 Видео

Видео:Провести горизонтальную прямую через точку и пересекающую заданный отрезок. Начертательная геометрияСкачать

Провести горизонтальную прямую через точку и пересекающую заданный отрезок. Начертательная геометрия

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
а б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения .

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня .

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π1, то его фронтальная проекция А2В2 параллельна оси проекций π12, а горизонтальная проекция отрезка А1В1 определяет истинную величину АВ:

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π2, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π21, а фронтальная проекция отрезка C2D2 определяет истинную величину CD.

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими .

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

Видео:Следы прямойСкачать

Следы прямой

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π1 (Рисунок 2.5).

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА1 – расстояние от точки А до плоскости проекций π1;

ВВ1 – расстояние от точки В до плоскости проекций π1;

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

ВК=ВВ1АА11 – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π1 (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π2

Видео:Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

  1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
  2. Лежат на одной линии связи.

Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

Видео:Проецирование прямой общего положенияСкачать

Проецирование прямой общего положения

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)
Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

    1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е2.
    2. Отложим на этой прямой от точки Е2 равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
    3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F2.
    4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4F2) до пересечения с проекцией E2F2, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К2.
    5. Горизонтальную проекцию точки К1 получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

    Видео:Следы прямойСкачать

    Следы прямой

    Упражнение

    Определить принадлежность точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).
    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

    Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

    Видео:Задача 3.3. Через точку М провести горизонталь и фронталь.Скачать

    Задача 3.3. Через точку М провести горизонталь и фронталь.

    2.5. Следы прямой

    След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

    Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

    • горизонтальный след M1– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π1;
    • фронтальный след N2– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π2;
    • профильный след L3 – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π3.

    След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

    • горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M1,
    • фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N2,
    • профильный – с профильной проекцией L≡L3 (Рисунок 2.10).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

    Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

    Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

    1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М2 является фронтальной проекцией горизонтального следа;
    2. Из точки М2 провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М1 и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

    Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

    1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N1 является горизонтальной проекцией фронтального следа;
    2. Из точки N1 провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB или ее продолжением. Точка пересечения N2 и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

    Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

    Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

    Видео:Построение прямой, параллельной даннойСкачать

    Построение прямой, параллельной данной

    2.6. Взаимное расположение прямых

    Две прямые в пространстве могут быть:

    • параллельными;
    • пересекающимися;
    • скрещивающимися.

    Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

    Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
    Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

    Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

    Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок 2.14).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

    Видео:Параллельность прямой и плоскостиСкачать

    Параллельность прямой и плоскости

    2.7. Проекции плоских углов

    Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.15

    По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

    Видео:Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямойСкачать

    Взаимно перпендикулярные плоскости. Определение кратчайшей расстоянии от точки до прямой

    Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

    Теорема . Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

    Обратная теорема . Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

    Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВВС,

    Видео:Построить проекции линии и точек на ней по заданным координатам. Начертательная геометрияСкачать

    Построить проекции линии и точек на ней по заданным координатам. Начертательная геометрия

    2.8. Задачи для самостоятельного решения

    1. Построить отрезок прямой АВ // π1, равный 35 мм и наклонённый к π2 под углом 25° (Рисунок 2.17).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия
    Рисунок 2.17

    2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π2 и π1.

    3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π1 и 45° — к плоскости проекций π2.

    4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π21 (Рисунок 2.18).

    Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

    Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

    Проецирование прямой линии в начертательной геометрии с примерами

    Содержание:

    Проецирование прямой линии:

    Отрезок прямой линии определяется двумя точками. Следовательно, проекции двух точек определяют проекции отрезка прямой (рисунок 2.1). Проекции отрезка прямой в общем случае всегда будут меньше самого отрезка прямой. В общем случае по проекциям отрезка прямой нельзя определить углы наклона отрезка прямой к плоскостям проекций.

    Видео:[Начертательная геометрия] Прямая - Метрические и позиционные задачиСкачать

    [Начертательная геометрия] Прямая - Метрические и позиционные задачи

    Прямые общего и частного положения

    Прямые подразделяются на прямые общего и частного положения. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (рисунок 2.1а).

    Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения (рисунок 2.16, в). Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются по имени плоскости, которой они параллельны: горизонталь h, фронталь f и профильная прямая w.

    Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими: горизонтально-проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая, в зависимости от плоскости, к которой они перпендикулярны.

    Видео:Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.Скачать

    Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.

    Прямые, параллельные плоскостям проекций

    Особенностью эпюра прямых, параллельных плоскостям проекций, является то, что две проекции прямой параллельны осям, а третья проекция наклонена к осям и является натуральной величиной прямой. Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Кроме того, по этой проекции прямой можно определить угол наклона прямой к той или иной плоскости проекций.

    Среди упомянутых прямых особое место занимают горизонталь h и фронталь f (рисунок 2.2), которые обладают замечательными свойствами и поэтому часто применяются при решении различных задач.

    Важнейшими свойствами горизонтали являются: фронтальная

    проекция горизонтали Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Видео:Построение следов плоскостиСкачать

    Построение следов плоскости

    Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

    Особенностью эпюра прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, является то, что две проекции этих прямых параллельны осям, а третья проекция «вырождается» в точку на той плоскости проекций, которой эта прямая перпендикулярна. Первые две проекции проецирующих прямых являются их натуральной величиной. На рисунке 2.3 представлены эпюры горизонтально- (а), фронтально- (б) и профильно-проецирующих прямых (в). Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

    Определение натуральной величины прямой

    Так как прямая общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением, то задача определения натуральной величины (НВ) прямой по её проекциям является важной. С целью определения НВ прямой разработан метод прямоугольного треугольника, сущность которого понятна из пространственного чертежа (рисунок 2.4а).

    Для того, чтобы определить натуральную величину прямой по её проекциям, необходимо на одной из её проекций (на любой) построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим катетом — разность недостающих координат концов отрезка прямой. Тогда гипотенуза треугольника будет являться НВ прямой (рисунок 2.46). Недостающей координатой здесь названа та координата, которая не участвует в построении той или иной проекции прямой. Так, например, горизонтальная проекция прямой строится по координатам X и Y её концов. Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Координата Z в построениях не участвует и называется недостающей координатой. Таким образом, при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой на катете откладывают разность аппликат, а при построении на фронтальной проекции — разность ординат.

    При определении НВ прямой методом прямоугольного треугольника одновременно можно определить углы наклона прямой к плоскостям проекций (углы а° и Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияОни определятся как углы между гипотенузой и соответствующей проекцией прямой.

    Следы прямой

    Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы прямой и их соответствующие проекции. На рисунке 2.5 показаны пространственные чертежи прямых общего и частного положения и образование их следов. Прямые, параллельные плоскостям проекций, имеют только два следа, а прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, — один след, совпадающий с той проекцией прямой, на которой она проецируется в точку.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Из пространственных чертежей следует методика построения проекций следов прямой на эпюре (рисунок 2.6).

    Взаимное положение прямых

    Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися, скрещивающимися и перпендикулярными.

    Пространственные чертежи и эпюры параллельных и пересекающихся прямых представлены на рисунке 2.7а, б.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Признаком параллельных прямых на эпюре является параллельность их одноименных проекций.

    Пересекающимися прямыми называются прямые, которые имеют общую точку — точку пересечения. Признаком пересекающихся прямых на эпюре является то, что проекции точки пересечения находятся на одной линии связи.

    Частным случаем пересекающихся прямых являются перпендикулярные прямые. В соответствии с теоремой о проецировании прямого угла, прямой угол будет проецироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда одна из его сторон будет параллельна этой плоскости проекций (Рисунок 2.8). Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Cкрещивающимися прямыми называются непараллельные прямые, не имеющие общей точки. Скрещивающиеся прямые в пространстве не пересекаются, но на эпюре их одноименные проекции накладываются друг на друга, что создает впечатление пересечения. Признаком скрещивающихся прямых на проекциях является то, что проекции их мнимых точек пересечения не находятся на одной линии связи (рисунок 2.9а). В мнимых точках пересечения конкурируют две точки, принадлежащие разным прямым, или, другими словами, в мнимых точках конкурируют две прямые. Назовем эту область конкурирующим местом.

    При рассмотрении скрещивающихся прямых возникает вопрос о видимости проекций прямых в конкурирующих местах. Этот вопрос может быть решен методом конкурирующих точек (конкурирующих прямых). Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Сущность метода заключается в следующем:

    1. Отметить конкурирующее место на рассматриваемой проекции;
    2. Обозначить конкурирующие точки или записать, какие прямые конкурируют;
    3. Провести через конкурирующее место линию связи;
    4. Вдоль линии связи сравнить недостающие координаты конкурирующих точек или конкурирующих прямых;
    5. На рассматриваемой проекции будет видна та точка или прямая, которая имеет наибольшую недостающую координату.

    Так на рисунке 2.96 на горизонтальной проекции будет видна точка 1, принадлежащая прямой AВ, или, проще говоря, прямая АВ, так как аппликата прямой АВ вдоль линии связи наибольшая. На фронтальной проекции также будет видна прямая AВ. так как у неё в конкурирующем месте наибольшая ордината.

    Метод конкурирующих точек (прямых) используется и при определении видимости проекций прямой и плоскости, двух плоскостей, прямой и поверхности, ребер многогранников и т.д. При этом считается, что плоскости и поверхности геометрически непрозрачны, а видимость прямой в точке встречи с плоскостью или в точках встречи с поверхностью меняется.

    На рисунке 2.10 представлена пространственная схема определения видимости проекций прямой MN и плоскости ABCD, пересекающихся друг с другом в точке К. На горизонтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая ВС, так как её аппликата больше, чем у прямой MN. На фронтальной проекции в конкурирующем месте будет видна прямая MN, так как ордината у неё больше, чем у прямой АВ. Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Пример: Определить длину растяжек для крепления антенны к крыше здания (рисунок 2.11).

    Решение: Длина растяжек АВ и ВС определена методом прямоугольного треугольника на фронтальной проекции. Длину растяжки KD определять не следует, так как прямая KD является фронталью и её фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпредставляет НВ.

    Пример: Построить следы прямой АВ и определить октанты, через которые проходит прямая (рисунок 2.12).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Решение: Задача решена в пространстве и на эпюре. Так как проекции прямой пересекают оси ОХ и 0Y, то в точках пересечения и будут находится проекции горизонтального, фронтального и профильного следов прямой. Далее по знакам координат точек М, К, N, L определяем, что прямая проходит через октанты ll, I, IV и VIII.

    Пример: Определить взаимное положение прямых АВ и CD (рисунок 2.13).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Решение: Анализ проекций двух заданных прямых приводит к выводу, что они являются профильными прямыми, так как обе их проекции параллельны осям 0Y и 0Z. Анализ взаимной параллельности одноименных проекций позволяет сделать предварительный вывод о том, что прямые АВ и CD параллельны друг другу. Однако такой вывод неправомерен, так как для профильных прямых следует проверить параллельность на профильной проекции. Построив профильные проекции Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, видно, что прямые скрещиваются.

    Пример: Разделить отрезок прямой АВ в отношении 2:3 (рисунок 2.14а). Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Решение: Так как отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок прямой на эпюре — значит разделить в том же отношении любую его проекцию.

    Задача решается исключительно графическим методом. Представленное решение задачи основано на теореме Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и провести через засечки любые параллельные прямые, то другая сторона разделится на равные или пропорциональные отрезки. На рисунке 2.14а дано решение задачи в пространственной форме, а на рисунке 2.146 представлен эпюр решения задачи. На горизонтальной проекции вспомогательная прямая m проводится под произвольно углом, и на ней откладывается пять произвольных отрезков равной длины.

    На рисунке 2.14в представлены ещё два способа деления отрезка прямой в заданном отношении.

    Изготовление любой детали, строительство сооружений, разработка месторождений полезных ископаемых начинается с составления чертежей, планов и схем. Никакие словесные описания не могут заменить чертеж, который позволяет не только определить форму и размеры всех частей предмета, но и получить наглядное представление о нем.

    Начертательная геометрия — один из разделов геометрии, в котором свойства пространственных фигур изучают по их изображениям на той или иной поверхности. Чаще всего за такую поверхность принимают плоскость.

    Как и любая научная дисциплина, начертательная геометрия имеет терминологию, которую следует хорошо усвоить, чтобы понимать излагаемый материал.

    В геометрии вообще и в начертательной геометрии в частности каждое последующее изложение основывается на предыдущем материале. Такая особенность изучаемого предмета требует систематической, последовательной работы над ним.

    Потребность в отображении действительности появилась у человека давно. Об этом свидетельствуют многочисленные изображения первобытного человека на стенах пещер и камнях, на предметах и орудиях труда. С развитием человечества совершенствовалась и техника передачи различных символов (письменность, схемы, чертежи). В Древнем Китае, например, была разработана всеобъемлющая знаковая система, где каждому предмету или явлению соответствовал особый знак (иероглиф). В Древнем Египте при возведении сооружений архитекторы использовали чертежи в виде планов и фасадов.

    Основные правила и методы построения изображений (планов зданий, земельных угодий, крепостных укреплений) по законам геометрии были разработаны в эпоху античности. В Древней Греции, за 300 лет до нашей эры, сделаны первые шаги к научному обоснованию метода центрального проецирования. В «Оптике» Евклида содержатся 12 аксиом и 61 теорема об условиях «видения» предметов.

    Расцвет классической культуры сменился застоем, и только в эпоху Возрождения, благодаря усилиям школ живописи и архитектуры Италии, Нидерландов и Германии, в истории начертательной геометрии начинается новый период развития. К этому времени относится введение целого ряда основных понятий метода проецирования.

    С развитием архитектуры, машинного производства, горной промышленности к изображениям предметов стали предъявлять все более высокие требования, что и привело к необходимости обобщения и систематизации знаний по «теории изображений». Работа знаменитого французского геометра и инженера периода Великой французской революции Гаспара Монжа (1746-1818) «Geometrie Descriptive» (1798 г.) представляет собой первое систематическое изложение общего метода изображения пространственных фигур на плоскости, поднявшее начертательную геометрию на уровень самостоятельной научной дисциплины.

    Преподавание начертательной геометрии в России началось уже в первые годы XIX в. в Корпусе инженеров путей сообщения и чуть позже в Горном кадетском корпусе. Первый русский профессор начертательной геометрии Я.И. Севастьянов (1796-1849) в 1821 г. составил курс «Основания начертательной геометрии», ставший классическим учебным пособием по этому предмету.

    Среди ученых, внесших наиболее значительный вклад в развитие начертательной геометрии, следует отметить академика Е.С. Федорова (1853-1919), преподававшего в Горном институте. На примере решения задач минералогии и кристаллографии он показал применимость методов начертательной геометрии к исследованиям закономерностей материального мира.

    В настоящее время начертательная геометрия является базовой общетехнической дисциплиной, составляющей основу инженерного образования. Было бы, однако, большой ошибкой ограничивать значение начертательной геометрии лишь рамками теоретической основы черчения. Ее методы дают возможность решать самые сложные проблемы в различных областях: горно-геологических науках, химии, физике и др.

    Видео:Прямая параллельная плоскостиСкачать

    Прямая параллельная плоскости

    Образование проекций. Методы проецирования

    В начертательной геометрии чертеж — основной инструмент решения различных пространственных задач. К выполняемому чертежу предъявляется ряд особых требований, четыре из которых являются наиболее существенными. Чертеж должен быть: 1) наглядным; 2) обратимым; 3) достаточно простым; 4) точным.

    Остановимся более подробно на обратимости чертежа. Под этим свойством понимается возможность точного воспроизведения формы и размеров предмета по его изображению. Действительно, для всех видов технических и горно-геологических чертежей это требование является особенно важным, так как по чертежу в машиностроении изготавливается та или иная деталь, в горном деле осуществляется проходка горных выработок, в геологии — оценка запасов полезного ископаемого и т.д.

    Основным методом получения изображений в начертательной геометрии является проецирование. Чтобы понять сущность проецирования, обратимся к рис.1.

    Выбираем центр проецирования — произвольную точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпространства — и поверхность проецирования, не проходящую через точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, например плоскость проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Чтобы спроецировать некоторую точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпространства на плоскость Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, необходимо через центр проецирования Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпровести проецирующую прямую Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриядо ее пересечения в точке Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияс плоскостью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    При этом точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияназывается проекцией точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Проекцией фигуры называется совокупность проекций всех ее точек на выбранную поверхность проецирования (например, на рис.1 проекцией треугольника Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияявляется треугольник Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия). Описанный метод проецирования путем проведения проецирующих прямых через точки заданной фигуры и центр проецирования называется центральным.

    Если проецирование осуществляется из бесконечно удаленной точки пространства (рис.2), то все проецирующие прямые окажутся взаимно параллельными. Этот метод проецирования называется параллельным, а направление Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, по которому оно осуществляется, — направлением проецирования.

    Если направление параллельного проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным или ортогональным. Во всех остальных случаях параллельное проецирование называется косоугольным.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Изображения, полученные при помощи центрального проецирования, отличаются хорошей наглядностью, что объясняется устройством зрительного аппарата человеческого глаза. Однако этот метод имеет существенные недостатки. Во-первых, сложно построить изображение предмета. Во-вторых, построенные проекции имеют низкие метрические свойства, поэтому вследствие значительных искажений, возникающих при данном методе проецирования, определить истинные размеры предмета весьма сложно. По этим причинам способ центрального проецирования имеет ограниченное применение в практике и используется, когда от чертежа требуется прежде всего наглядность.

    Несмотря на то, что параллельное проецирование, по сравнению с центральным, имеет меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают лучшей измеримостью и простотой построения.

    Задачи, решаемые методами начертательной геометрии, принято делить на метрические и позиционные.

    Метрические задачи имеют целью определение размеров различных предметов по их изображению. К таким задачам относится определение натуральной величины геометрических фигур, расстояний и углов между ними; в горно-геологической практике — это задачи на определение глубины и угла наклона буровых скважин, угла падения пласта полезного ископаемого, углов между осями горных выработок и т.п.

    Позиционные задачи позволяют определить взаимное расположение различных объектов: точек, прямых линий, плоскостей, пространственных фигур. К этой категории задач относятся, например, установление точки встречи буровой скважины с плоскостью залежи, построение линии пересечения кровли и подошвы пласта полезного ископаемого с горной выработкой и многие другие.

    Для быстрого и удобного решения пространственных задач в начертательной геометрии используют несколько систем изображений, особенности которых приведены в табл.1.

    Таблица 1

    Основные системы изображения, используемые при проецировании

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Область применения той или иной системы изображений зависит, прежде всего, от целей, которые ставятся при построении чертежа. Из представленных в табл.1 систем наиболее широкое применение в техническом проектировании имеет эпюр (ортогональный чертеж). На его основе выполняются рабочие и сборочные чертежи, эскизы деталей, схемы и т.д. Поэтому в дальнейшем изложении курса основное внимание будет уделено именно этому методу построения.

    Однако и другие методы проецирования находят применение в горно-геологических работах, поэтому в заключительных разделах будут рассмотрены основные правила изображения предметов при помощи векторных проекций, перспективы, аксонометрической проекции и, более подробно, — проекций с числовыми отметками.

    Ортогональный чертеж. Проецирование точки

    Любой предмет пространства можно рассматривать как определенную совокупность отдельных точек этого пространства, поэтому для изображения различных предметов необходимо научиться строить изображения отдельной точки пространства.

    Представим в пространстве три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.3):

    • Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— горизонтальную плоскость проекций;
    • Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— фронтальную плоскость проекций;
    • Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— профильную плоскость проекций.

    Для наглядного изображения плоскостей проекций взята кабинетная проекцияЧерез точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, известная из курсов геометрии и черчения средней школы.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияКабинетная проекция относится к числу косоугольных, более подробно она будет рассмотрена в разделе «Аксонометрические проекции».

    Плоскости проекций пересекаются по прямым, которые называются осями проекций и обозначаются Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— точка пересечения всех трех осей проекций — называется началом координат.

    Представим себе также в пространстве некоторую точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Чтобы получить проекцию точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна горизонтальной плоскости проекций, необходимо провести через эту точку проецирующую прямую, перпендикулярную плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи найти точку пересечения Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияэтой прямой с плоскостью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияназывается горизонтальной проекцией точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Путем ортогонального проецирования точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна фронтальную и профильную плоскости проекций образуются ее фронтальная и профильная проекции (соответственно точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия).

    Длины отрезков, измеряемые некоторой установленной единицей длины и равные расстояниям от точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриядо горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций, называются прямоугольными (декартовыми) координатами:

    • по оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияабсцисса, равная длине отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • по оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияордината, равная длине отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • по оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияаппликата, равная длине отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Три координаты точки однозначно определяют ее положение в пространстве.

    Взаимно перпендикулярные плоскости, изображенные на рис.3, дают нам пространственный чертеж. Для получения трех проекций точки в плоскости чертежа плоскости проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияусловно совмещают с плоскостью чертежа. Это совмещение выполняется следующим образом.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Фронтальная плоскость проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпринимается за плоскость чертежа, горизонтальная плоскость проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриясовмещается с плоскостью чертежа вращением вокруг оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а профильная плоскость проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— вращением вокруг оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Направление вращения на рис.3 показано стрелками.

    При совмещении плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияс плоскостью чертежа положительное направление оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриясовмещается с отрицательным направлением оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а отрицательное направление — с положительным направлением оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. На чертеже изображение оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпринято обозначать Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. При совмещении плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияс плоскостью чертежа положительное направление оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриясовмещается с отрицательным направлением оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а отрицательное направление — с положительным направлением оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. На чертеже изображение оси у принято обозначать Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    В результате образуется ортогональный чертеж, или эпюр (от франц. epure — чертеж, проект). На эпюре изображают только проекции геометрических объектов, а не сами объекты.

    Любые две проекции точки, изображенные на эпюре, связаны между собой линией проекционной связи, перпендикулярной оси проекций (на чертеже ее обозначают штриховой линией):

    • Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриягоризонтальная и фронтальная проекции (точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия) расположены на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияфронтальная и профильная проекции (точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия) — на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриягоризонтальная и профильная проекции (точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия) — на линии проекционной связи, перпендикулярной оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Вследствие того, что отрезки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияявляются изображением одной и той же координаты Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриясвязывают дугой окружности с центром в начале координат.

    Каждая проекция точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияопределяется двумя координатами: горизонтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— координатами Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия; фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияЧерез точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, профильная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияЧерез точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Положение точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияможет быть задано как графически, так и аналитически. Пример графического изображения точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриярассмотрен нами на рис.3. Аналитическая форма задания точки представляет собой числовое выражение трех координат точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияв выбранных единицах длины. Например, запись Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияозначает, что Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    От аналитической формы задания точки легко перейти к графическому изображению этой точки на ортогональном чертеже.

    Пример 1. Построить проекции точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    1. Выбираем единичный отрезок (рис.4).

    2. С учетом знака откладываем на осях проекций координатные отрезки:

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    3. Отмечаем точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    4. Из построенных точек Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и на их пересечениях отмечаем проекции точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия:

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Две проекции точки, построенные на эпюре, однозначно определяют ее положение в пространстве. По двум проекциям заданной точки можно построить третью, и притом только одну.

    Пример 2. Построить третью проекцию точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпо двум заданным (рис.5).

    1. Даны фронтальная и профильная проекции точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия: фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияопределяется координатами Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия,

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    профильная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияопределяется координатами Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    2. Из имеющихся проекций проводим линии проекционной связи, перпендикулярные осям проекций, и определяем координатные отрезки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияравные соответствующим координатам точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия:

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    3. На пересечении линий проекционной связи с осями проекций отмечаем точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    4. Строим третью, горизонтальную проекцию точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(рис.6). Горизонтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияопределяется координатами

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    При определении точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпо Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияперенос осуществляется с оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна соответствующее по знаку направление оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    В зависимости от расположения точки относительно плоскостей проекций различают:

    1) точки общего положения, не принадлежащие плоскостям проекций (к ним относится, например, точка А на рис.3);

    2) точки частного положения, лежащие в плоскостях проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, на осях проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияили в начале координат.

    У точки общего положения все три координаты отличны от нуля.

    Если точка лежит в плоскости проекций, то ее координата по оси, перпендикулярной этой плоскости проекций, равна нулю. Если точка лежит на оси проекций, то две другие ее координаты равны нулю. Если все три координаты точки равны нулю, то точка лежит в начале координат.

    Рассмотрим некоторые частные случаи положения точки: когда точка лежит в какой-нибудь плоскости проекций или на какой-нибудь оси проекций.

    Точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриярис.7 принадлежит горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияэтой точки совпадает с самой точкой, фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а профильная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Координата точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпо оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияравна нулю, и, следовательно, точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит в начале координат.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриярис.8 лежит на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. С самой точкой совпадают ее горизонтальная Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи профильная Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпроекции, причем на ортогональном чертеже горизонтальная проекция лежит на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а профильная — на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит в начале координат.

    Октанты

    Плоскости проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияявляются неограниченными поверхностями и при взаимном пересечении делят пространство на восемь трехгранных углов, или октантов (от лат. octans — восьмая часть).

    Нумерация октантов в полупространствах приведена на рис.9. Знаки координат в каждом из октантов указаны в табл.2.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Таблица 2

    Знаки прямоугольных координат в различных октантах

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Проекции отрезка прямой линии. Точка на прямой

    Прямую линию можно рассматривать как совокупность точек. Из школьного курса геометрии известно, что через две точки можно провести прямую и притом только одну.

    Пусть нам даны на эпюре точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Две проекции каждой из этих точек однозначно определяют их положение в пространстве (рис.10). Если мы соединим одноименные проекции точек, то получим проекции прямой. Точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияограничивают отрезок прямой и определяют положение этой прямой как бесконечной линии.

    Таким образом, прямая линия на эпюре может быть задана двумя проекциями отрезка, принадлежащего этой прямой. По двум проекциям отрезка всегда можно построить его третью проекцию и притом только одну.

    Если прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то она пересекает все плоскости проекций и не проецируется ни на одну из них в натуральную величину. Такую прямую называют прямой общего положения. Ни одна из ее проекций не параллельна осям. Прямая Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна рис.10 — это прямая общего положения.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Точка принадлежит прямой линии, если ее проекции лежат на одноименных проекциях этой линии.

    Если на прямой Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриямы выберем какую-либо точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, то проекции этой точки будут лежать на одноименных проекциях прямой (рис.11).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Таким образом, если точка принадлежит заданной прямой, то для построения проекций этой точки на эпюре необходимо и достаточно знать положение хотя бы одной проекции точки, поскольку недостающие проекции легко найти в пересечении линий проекционной связи с соответствующими проекциями прямой.

    Прямые частного положения

    Прямая, параллельная одной или двум плоскостям проекций, называется прямой частного положения.

    Рассмотрим пример, когда прямая параллельна одной плоскости проекций. В этом случае прямая проецируется на эту плоскость в натуральную величину, а две другие проекции -параллельны осям проекций.

    Горизонтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(рис.12). Горизонтальная проекция отрезка горизонтальной прямой равна его натуральной величине. Фронтальная проекция горизонтальной прямой всегда параллельна оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Угол Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриямежду горизонтальной проекцией горизонтальной прямой и осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияявляется углом между этой прямой и фронтальной плоскостью проекций.

    Фронтальная прямая — прямая, параллельная плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Фронтальная проекция отрезка (рис.13) фронтальной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция фронтальной прямой всегда параллельна оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Угол Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриямежду фронтальной проекцией фронтальной прямой и осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияявляется углом между фронтальной прямой и горизонтальной плоскостью проекций.

    Профильная прямая — прямая, параллельная плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Профильная проекция отрезка (рис.14) профильной прямой равна его натуральной величине; горизонтальная проекция профильной прямой всегда параллельна оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а фронтальная — оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Угол Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриямежду профильной проекцией профильной прямой и осью является углом между прямой и горизонтальной плоскостью проекций; угол Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриямежду профильной проекцией прямой и осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— углом между прямой и фронтальной плоскостью проекций.

    Если прямая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна третьей плоскости проекций, то на эти две плоскости проекции прямая проецируется в натуральную величину, а третья проекция представляет собой точку. Такие прямые называют проецирующими.

    Горизонтально-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(прямая Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна рис.15). Фронтальная и профильная проекции отрезка горизонтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее горизонтальная проекция представляет собой точку.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Фронтально-проецирующая прямая -прямая, перпендикулярная плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(прямая Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияна рис.15). Горизонтальная и профильная проекции отрезка фронтально-проецирующей прямой равны его натуральной величине, а ее фронтальная проекция представляет собой точку.

    Профильно-проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(рис.16). Горизонтальная и фронтальная проекции отрезка профильно-проецирующей прямой равны его натуральной величине, профильная проекция профильно-проецирующей прямой представляет собой точку.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения методом прямоугольного треугольника

    Ортогональная проекция отрезка прямой общего положения на любую плоскость проекций всегда меньше длины самого отрезка. Рассмотрим правила определения натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника.

    Предположим, что точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежат в I октанте (рис.17). Соединим эти точки и получим отрезок некоторой прямой Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Построим горизонтальную и фронтальную проекции этой прямой. Из точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпроведем линию, параллельную Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, которая в пересечении с линией проекционной связи даст точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Рассмотрим стороны прямоугольного треугольника Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия:

    • • гипотенуза треугольника Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияопределяет натуральную величину отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • • один катет Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпредставляет собой горизонтальную проекцию отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • • второй катет Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияравен разности координат точек Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпо оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия: Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    На ортогональном чертеже оказывается достаточно данных для построения треугольника, равного рассмотренному (рис.17). Для этого к горизонтальной проекции Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия«пристроен» второй катет — разность координат Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Гипотенуза Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпостроенного треугольника — натуральная величина отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Истинную величину отрезка можно определить, построив прямоугольный треугольник, катетом которого является и фронтальная проекция отрезка (рис.18): при этом второй катет окажется равным разности координат Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Для треугольника, построенного на профильной проекции отрезка, вторым катетом будет разность координат Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    На рис.18 истинная величина отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияопределена три раза: гипотенузы построенных прямоугольных треугольников имеют равную длину и все они определяют истинную величину отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    В общем случае, натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка прямой, а вторым — разность «третьих» координат (табл.3).

    Под термином «третья координата» подразумевается координата, которая отсутствует в проекции, выбранной в качестве катета прямоугольного треугольника. Так, горизонтальная проекция отрезка строится по координатам Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, следовательно, «третьей» координатой в этом случае будет координата Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Аналогично у фронтальной проекции отрезка «третьей» координатой будем считать координату Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а у профильной — координату Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Таблица 3

    Геометрические элементы при определении истинной величины отрезка примой Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияметодом прямоугольного треугольника

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Координаты концов отрезка могут иметь разные знаки. Тогда разность координат определяется с учетом знака. Например, если координата Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияточки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияположительная, а точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияотрицательная, то разность координат

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Угол наклона прямой к плоскости проекций — это угол между прямой и ее проекцией. Следовательно, определяя истинную величину отрезка прямой методом прямоугольного треугольника, одновременно можно найти и угол ее наклона к плоскости проекций. Угол между гипотенузой и соответствующей проекцией отрезка равен углу наклона этой прямой к данной плоскости проекций.

    Пример 3. Определить истинную величину отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи угол наклона прямой к плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(рис.19).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    1. По табл.3 определяем, что для нахождения угла наклона к плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриянадо построить прямоугольный треугольник, в котором одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а вторым — разность координат по оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    2. Определяем координаты по оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияточек Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи их разность:

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    3. Строим прямоугольный треугольник, в котором за катет принимаем горизонтальную проекцию Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. В качестве второго катета откладываем расстояние, равное Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    4. Гипотенуза построенного треугольника есть истинная величина отрезка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а угол при вершине Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(угол Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия) — угол наклона прямой к плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Следы прямой

    Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций. Прямая общего положения пересекает все три плоскости проекций и, следовательно, имеет три следа. Прямая линия частного положения не имеет следа на плоскости проекций, если она параллельна этой плоскости.

    Выберем две точки, точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, лежащую в плоскости проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— в плоскости проекций Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(рис.20). Через эти точки проведем прямую.

    Точка пересечения Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпрямой линии с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой; точка пересечения Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпрямой линии с фронтальной плоскостью проекций — фронтальным следом прямой; точка пересечения Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпрямой линии с профильной плоскостью проекций — профильным следом прямой.

    Следы прямой совпадают с проекциями этих следов в той плоскости, где они расположены: Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Поскольку точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит в плоскости Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, ее фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриярасполагается на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а профильная Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Горизонтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияточки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриятакже располагается на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а профильная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия. Горизонтальная проекция профильного следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, а фронтальная проекция Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия— на оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Охарактеризуем особенности построения каждой проекции каждого из трех следов на ортогональном чертеже (рис.20).

    Горизонтальный след Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия:

    • фронтальная проекция горизонтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(с этой точки обычно начинают построения);
    • горизонтальная проекция горизонтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из проекции Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияперпендикулярно оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • профильная проекция горизонтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении профильной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Фронтальный след Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия:

    • горизонтальная проекция фронтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит в точке пересечения горизонтальной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • фронтальная проекция фронтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении фронтальной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияперпендикулярно оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • профильная проекция фронтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении профильного следа прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Профильный след Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия:

    • горизонтальная проекция профильного следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении горизонтальной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • фронтальная проекция профильного следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриялежит на пересечении фронтальной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия;
    • профильная проекция профильного следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриянаходится в точке пересечения профильной проекции прямой с линией проекционной связи, проведенной из Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияперпендикулярно оси Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Необходимо отметить, что построение профильных проекций следов Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияможет проводиться по двум уже построенным проекциям (горизонтальной и фронтальной), как было показано в разделе 1.2.

    Пример 4. Построить проекции следов прямой Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(рис.21).

    1. Находим фронтальную проекцию горизонтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, продолжив Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриядо пересечения с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    2. Из точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с продолжением Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияЗдесь расположена точка Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    3. По двум проекциям Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриястроим третью — Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, которая может быть также построена как точка пересечения профильной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    4. Находим горизонтальную проекцию фронтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияв пересечении Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияс осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    5. Из точки Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияпроводим линию проекционной связи до ее пересечения с фронтальной проекцией прямой Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи получаем точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    6. По двум проекциям фронтального следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриястроим третью его проекцию — Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия, которая лежит в пересечении профильной проекции прямой с осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    7. В пересечении Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияс осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриястроим точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия(горизонтальную проекцию профильного следа).

    8. В пересечении Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияс осью Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияполучаем фронтальную проекцию профильного следа — точку Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    9. По двум проекциям Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияи Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометриястроим профильную проекцию профильного следа Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияЧерез точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Взаимное положение двух прямых

    Две прямые могут пересекаться, быть параллельными друг другу и скрещиваться.

    Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку. Если прямые линии пересекаются, то одноименные проекции этих прямых тоже пересекаются (рис.22, а), причем проекции точки пересечения лежат на одной линии проекционной связи.

    Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Одноименные проекции двух параллельных прямых параллельны между собой (рис.22, б).

    Скрещивающиеся прямые, в отличие от пересекающихся и параллельных прямых, не лежат в одной плоскости. Хотя одноименные проекции двух скрещивающихся прямых и могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии проекционной связи (рис.22, в).

    Две точки, лежащие на скрещивающихся прямых и на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими. Проекции конкурирующих точек лежат в точке пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых (точки / и 2 на фронтальной плоскости проекций, точки 3 и 4 на горизонтальной плоскости проекций — см. рис.22, в)Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрияПри помощи конкурирующих точек определяется взаимная видимость прямых и плоскостей относительно друг друга.

    Проецирование плоских углов

    Плоский угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если плоскость угла параллельна плоскости проекций. Это справедливо в отношении любого угла — острого или тупого. Исключение составляет только прямой угол, который проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций (рис.23).

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Рекомендую подробно изучить предметы:
    1. Инженерная графика
    2. Начертательная геометрия
    3. Компас
    4. Автокад
    5. Черчение
    6. Проекционное черчение
    7. Аксонометрическое черчение
    8. Строительное черчение
    9. Техническое черчение
    10. Геометрическое черчение
    Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
    • Проецирование плоскости
    • Плоскость на эпюре Монжа
    • Позиционные задачи
    • Методы преобразования эпюра Монжа
    • Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости
    • Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей
    • Перпендикулярность геометрических объектов
    • Метод замены плоскостей проекций

    При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

    Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

    Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

    Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

    Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

    Видео:Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

    Следы прямой  Взаимное положение двух прямых

    Начертательная геометрия, решение задач №31-38 СибАДИ

    Видео:Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.Скачать

    Частное положение точек. Точки принадлежащие к плоскостям проекции.

    ТЕМА6. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей или множества геометрических элементов

    Задача № 31 Через точку А провести плоскость, параллельную данной.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 32 Через прямую а провести плоскость, перпендикулярную к плоскости бета, заданной прямыми LK и KM

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 33 На прямой MN найти точку, равноудаленную от точек A и B

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 34 Построить горизонтальную проекцию прямой АВ, пересекающейся с прямой CD при условии, что угол между ними прямой.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 35 Построить на плоскости треугольника CDE множество точек равноудаленных от концов отрезка AB

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 36 Через точку А провести прямую пересекающую отрезок CD и параллельную плоскости треугольника KLM.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 37 Через точку А построить прямую параллельную двум плоскостям, заданным следами.

    Через точку с провести прямую параллельную прямой ав начертательная геометрия

    Задача № 38 Провести плоскость параллельную плоскости треугольника АВС, и удаленную от нее на 30 мм.

    📺 Видео

    Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

    Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости
  • Поделиться или сохранить к себе: