Две центрально симметричные прямые параллельны

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Видео:94 Центрально симметричный четырёхугольник — параллелограмм (180)Скачать

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A₁ и B₁.
5. Соединяем точки A₁ и B₁.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки А₁О и B₁О, равные отрезкам АО и АB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

Центральная симметрия — понятие, свойства и примеры фигур

Центральная симметрия – самая интересная и познавательная тема в геометрии, которую изучают в начальных классах школы и более тщательно — в 8 — 11 классах. Знания по этой теме обязательно пригодятся ученику в жизни.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

Что такое центральная симметрия

Начнём с определения: центральная симметрия — одно из свойств определённой геометрической фигуры, при котором точке В соответствует некая точка В1, находящая в таком же пространственном положении относительно точки С. Точка С лежит на середине отрезка ВВ1. Точка С называется центром симметрии. Это определение соответствует курсу планиметрии.

Центральную симметрию можно построить и в пространстве. В пространстве центральной симметрией называется словно зеркальное отображение какой-либо геометрической фигуры. Она представляет собой две одинаковые фигуры, соответственные точки которых попарно симметричны относительно точки пространства О.

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А1В1С1
симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О. Значит, картинка остаётся той же.

Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;

2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;

3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А1В1 относительно точки О.

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА1 и ВВ1. Далее легко заметить, что отрезки АО и А1О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В1О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А1 и В,В1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА1 и ВВ1. Задача решена, АВ и А1В1 параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Фигур, как имеющих углы, так и без углов, но при этом обладающих центральной симметрией не так уж мало:

различные правильные многоугольники.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Интересные факты о центральной симметрии

Вся окружающая нас природа – сплошная центральная симметрия. Многие растения и насекомые обладают центральной симметрией.

Практически у каждого фрукта есть своя симметрия. Например, кокос в разрезе представляет собой окружность с центром в некоторой точке.

Ещё один очевидный пример – бабочка.

Великолепные узоры на её крылышках – четкая и яркая симметрия.

Каждый знает, что видовое разнообразие морских ракушек бесконечно. Наверняка, вы сможете найти несколько как с осевой, так и центральной симметрией.

Великолепные примеры с элементами центральной симметрии можно наблюдать и в архитектуре. Потолки различных храмов и церквей украшаются орнаментами, основой которых является центральная симметрия.

Собор Парижской Богоматери имеет прекрасный, утончённый узор, основанный на центральной симметрии.

Рукодельницы в своих произведениях искусства применяют симметрию, которая заметна в удивительных и затейливых узорах.

Таким образом, центральная симметрия – основа, которая составляет природу, архитектуру и даже иногда музыку. Именно это проявление так радует человеческий глаз при появлении первых снежинок или при знакомстве с сооружениями архитектуры.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Параллельные прямые

Параллельные прямые — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Содержание:

Понятие параллельности прямых

Определение. Прямые называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

На рисунке 2.314 изображены две параллельные прямые .

Прямые параллельны, а значит, по определению, они лежат в одной плоскости или задают эту плоскость. На рисунке 2.315 показано, что прямые задают плоскость .

Параллельность прямых обозначается знаком «||». Запись читается: «прямая параллельна прямой » или «прямые параллельны».

Можно доказать теорему о центрально-симметричных прямых, которая будет первым признаком параллельности прямых.

Теорема 5. Если две прямые симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны (рис. 2.316).

Следствие. Через любую точку, не принадлежащую данной прямой, проходит одна прямая, параллельная данной прямой.

Сформулированная теорема позволяет строить прямую, параллельную данной (отметим, что есть и другие способы построения параллельных прямых).

Выполним это построение.

1. Пусть даны прямая р и точка А, (рис. 2.317).

Мы должны воспользоваться теоремой 5, а значит, построить прямую, центрально-симметричную прямой р и проходящую через точку А. Таким образом, первая проблема, которую надо решить, — это найти (построить) центр симметрии.

2. Определение центральной симметрии подсказывает ответ: возьмем произвольную точку С на прямой р, соединим ее с точкой А и найдем середину отрезка С А — точку О (рис. 2.318).

Как построить прямую, параллельную прямой р, зная, что точки А и С центрально-симметричны относительно точки О?

3. Построим еще одну пару центрально-симметричных точек относительно центра симметрии — точки О, одна из которых принадлежит прямой р. Пусть это будут точки В и (рис. 2.319).

4. Точки А и определяют прямую (1, 3, аксиома 1).

5. параллельна прямой р (4, теорема 5).

Перпендикулярность и параллельность прямых тесно связаны между собой.

Теорема 6. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то эти прямые параллельны (рис. 2.320).

В условии теоремы имеются два перпендикуляра, проведенных к прямой, причем все эти фигуры лежат в одной плоскости. Представьте себе, что эти перпендикуляры и данная прямая не лежат в одной плоскости. На рисунке 2.321 дана прямая с и к ней из точек А и Б в плоскостях проведены перпендикуляры.

В этом случае перпендикуляры не будут параллельны, так как они не лежат в одной плоскости. Таким образом, мы сформулировали признак параллельности прямых для плоскости, т. е. для случая, когда прямая и перпендикуляры к ней лежат в одной плоскости.

На рисунке 2.322 показано, как с помощью угольника и линейки можно провести через данную точку В прямую , параллельную данной прямой .

Аксиома параллельных

В великой книге Евклида «Начала» (III в. до н. э.) геометрия излагалась в строго систематическом виде. В основу этого изложения была положена четко оговоренная система первоначальных утверждений — аксиом, которые не доказывались. Все остальные утверждения — теоремы — выводились из них строго логически. Среди аксиом выделялась аксиома о параллельных — пятый постулат Евклида.

Аксиома 4 (аксиома параллельных). Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной.

Применяя эту аксиому, можно доказать много различных теорем.

Теорема 7. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Верна ли эта теорема для любого расположения указанных прямых в пространстве? Нет, не верна. На рисунке 2.323 прямая с не пересекает прямую .

Таким образом, теорема 7 верна для плоского случая, когда все указанные в формулировке теоремы прямые лежат в одной плоскости.

В пункте 67 мы рассматривали случаи, когда из некоторой точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, и сформулировали теорему 4 о том, что в

этом случае перпендикуляр всегда короче наклонной. Теперь можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 8. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются.

Теорема 9. Если прямые параллельны прямой с, то прямые параллельны.

Важность этого свойства можно продемонстрировать на примере устройства нотного стана (рис. 2.324). Все линии нотного стана параллельны между собой именно в силу свойства транзитивности параллельных прямых.

Верна эта теорема для произвольно расположенных прямых в пространстве?

Да, верна. На рисунке 2.325 изображено расположение прямых в пространстве, когда параллельные прямые лежат в плоскости , а параллельные прямые — в плоскости Р, т. е.

Свойство транзитивности утверждает, что . И действительно, видим, что и эти прямые лежат в плоскости у.

Пример:

Докажем для примера использования аксиомы параллельных теорему 9 (транзитивность параллельности прямых).

Решение:

Из условия теоремы имеем:

1. (дано, рис. 2.326).

2. (требуется доказать).

При доказательстве этой теоремы воспользуемся методом доказательства от противного.

3. Допустим противное: прямые непараллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке Р (предположение) (рис. 2.327).

4. Через точку Р будут проходить две прямые параллельные прямой с (1, 3).

5. П. 4 противоречит аксиоме параллельных, и, следовательно, наше предположение 3 неверно. Поэтому .

Пересечение двух прямых секущей

Пусть АВ и CD — две прямые, МК — третья прямая, пересекающая АВ и CD (рис. 2.328). Прямую МК по отношению к прямым АВ и CD называют секущей.

Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и CD секущей МК, имеют специальные названия.

Определение. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называют внутренними односторонними (рис. 2.329).

Определение. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 2.330).

Таким образом, при пересечении прямых секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 2.331 обозначены цифрами. В соответствии с введенными выше названиями мы имеем: внутренние накрест лежащие углы — 3 и 5, 4 и 6, внутренние односторонние углы — 4 и 5, 3 и 6.

Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например 3 и 5, являются смежными для внутренних накрест лежащих углов другой пары: 4 и 6 (рис. 2.331). Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.

Пары внутренних накрест лежащих углов и внутренних односторонних, например 3 и 5, 4 и 5, имеют один общий угол 5, а два других угла — смежные 3 и 4. Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Можно доказать такие свойства секущих.

Теорема 10. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Теорема 11. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Можно также доказать следующие признаки параллельности двух прямых.

Теорема 12. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 13. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Пример:

Прямые параллельны, а прямая с пересекает их (рис. 2.332). Докажем, что

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. — секущая (дано, рис. 2.332).

2. (требуется доказать).

3. (1, теорема о равенстве вертикальных углов).

4. (1, теорема 10).

5. (1, определение смежных углов).

6. (1, 3, 4, 5).

Неевклидова геометрия

Проблема параллельных прямых уходит своими корнями в историю Древнего Египта и античную Грецию. Постепенно отрывочные, опытные, на глаз установленные факты здесь начинают превращаться в цепь связанных между собой предложений; каждое из них занимает в этой цепи определенное место и логически вытекает из предыдущих.

Применительно к геометрии этот замысел был выполнен Евклидом, создавшим первый в истории свод геометрических знаний в 13 книгах — «Начала».

Евклид (365—около 300 до н. э.) работал в Александрии при Птоломее I и возглавлял основанный в то время крупнейший научный центр древности — Александрийский музей.

Геометры в течение двух тысяч лет, относясь к «Началам» Евклида с большим уважением, подвергали их критике, указывали на те или иные недостатки и рекомендовали способы «очищения Евклида от пятен». Прежде всего критика относилась к пятому постулату (аксиоме параллельных), значительно более сложному, чем все остальные.

Многим математикам, работавшим после Евклида, аксиома параллельных в том или ином виде казалось с наглядной точки зрения недостаточно убедительной. Сейм Евклид доказывал целый ряд теорем, не опираясь на пятый постулат. Особая роль пятого постулата, его сложность и недостаточная наглядность привели к тому, что математики более поздних времен стали пытаться доказать его как теорему.

Многие попытки доказательства проводились методом доказательства от противного, т. е. предполагалось, что пятый постулат неверен, и из этого делался ряд выводов. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то пятый постулат был бы доказан.

Но противоречия никак не удавалось обнаружить. Вместо этого получалась длинная цепь предположений, часто отличная от тех, которые имеются в евклидовой геометрии, но которые тем не менее складывались в стройную теорию.

Примерно в одно время три математика в разных странах мира пришли так или иначе к одной идее — созданию новой неевклидовой геометрии. Это были Карл Фридрих Гаусс, Янош Больяи и Николай Иванович Лобачевский.

Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), русский математик, отличался силой воли, смелостью и упорством. Ему было всего 30 лет, когда он сформулировал свои результаты, и 31 год, когда он их опубликовал. Результаты, полученные Н. И. Лобачевским, не были признаны в то время. Его относили к разряду ученых, проводивших «сумасшедшие» исследования по «сумасшедшей» геометрии. Позднее он получил признание, пришедшее от Гаусса.

Великий наш соотечественник Н. И. Лобачевский построил геометрию, в которой все аксиомы Евклида выполняются, кроме одной — аксиомы параллельных.

Что же такое геометрия Лобачевского? Это геометрия, полученная из геометрии Евклида изменением только одной аксиомы параллельных. Именно у Лобачевского принимается за аксиому, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, параллельные данной (т. е. лежащие с ней в одной плоскости и ее не пересекающие).

Теоремы, которые выводятся из новой системы аксиом, и образуют геометрию Лобачевского. Трудность, однако, в том, что аксиома Лобачевского не соответствует нашему наглядному представлению. Поэтому и многие выводы геометрии Лобачевского оказываются довольно странными.

Сам Н. И. Лобачевский называл свою геометрию воображаемой.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

📺 Видео

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

Центральная и осевая симметрии. Геометрия 7 класс.Скачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

Параллельные прямые циркулемСкачать

Математика 6 класс. Параллельность прямыхСкачать

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать