Две центрально симметричные прямые параллельны

Осевая и центральная симметрия

Две центрально симметричные прямые параллельны

О чем эта статья:

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

  • Ось симметрии угла — биссектриса.
  • Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
  • Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
  • У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
  • У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
  • Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

Две центрально симметричные прямые параллельны

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Две центрально симметричные прямые параллельны

  1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
  2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
  3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
  4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.
  5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

Две центрально симметричные прямые параллельны

  1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые, перпендикулярные прямой d, из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
  2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
  3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
  4. Соединяем точки и строим треугольник A1B1C1.

Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

Две центрально симметричные прямые параллельны

  1. Проводим через точку А прямую, перпендикулярную прямой l.
  2. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой l.
  3. Измеряем расстояния от точек А и В до прямой l.
  4. Откладываем такое же расстояние на перпендикулярных прямых от прямой l по другую сторону и ставим точки A1 и B1.
  5. Соединяем точки A1 и B1.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Видео:94 Центрально симметричный четырёхугольник — параллелограмм (180)Скачать

94 Центрально симметричный четырёхугольник — параллелограмм (180)

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A1B1C1 ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Две центрально симметричные прямые параллельны

  1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
  2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
  3. Получившиеся точки соединяем отрезками A1B1 A1C1 B1C1.
  4. Получаем треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

Две центрально симметричные прямые параллельны

  1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
  2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
  3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
  4. Чертим на противоположной стороне отрезки А1О и B1О, равные отрезкам АО и АB.
  5. Соединяем точки A1 и B1 и получаем отрезок A1B1, симметричный данному.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Две центрально симметричные прямые параллельны

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Центральная симметрия — понятие, свойства и примеры фигур

Центральная симметрия – самая интересная и познавательная тема в геометрии, которую изучают в начальных классах школы и более тщательно — в 8 — 11 классах. Знания по этой теме обязательно пригодятся ученику в жизни.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Что такое центральная симметрия

Начнём с определения: центральная симметрия — одно из свойств определённой геометрической фигуры, при котором точке В соответствует некая точка В1, находящая в таком же пространственном положении относительно точки С. Точка С лежит на середине отрезка ВВ1. Точка С называется центром симметрии. Это определение соответствует курсу планиметрии.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Центральную симметрию можно построить и в пространстве. В пространстве центральной симметрией называется словно зеркальное отображение какой-либо геометрической фигуры. Она представляет собой две одинаковые фигуры, соответственные точки которых попарно симметричны относительно точки пространства О.

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Центральная симметрия. 6 класс.

Свойства центральной симметрии

Основные свойства следующие:

1. Центральную симметрию называют движением, при котором соответствующие точки также остаются симметричными, то есть расстояние между ними остаётся прежним.

Посмотрим на рисунок. Треугольники АВС и А1В1С1
симметричны в пространстве относительно точки О. При каком либо преобразовании пространства сохраняются условия: АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О. Значит, картинка остаётся той же.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Однако если представить геометрическую фигуру в виде векторов, то при преобразовании пространства эти векторы поменяют свои направления;

2. Центральная симметрия имеет только одну центральную точку, которая является неподвижной при преобразовании пространства;

3. Если прямая проходит через центр симметрии, то она соответствует самой себе, то есть симметрична;

4. Центральная симметрия переводит прямую, не проходящую через центр симметрии, в параллельную ей прямую.

Доказывается это свойство достаточно просто. Для этого нужно построить две параллельные прямые АВ и А1В1 относительно точки О.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Далее соединяем симметричные точки и получаем отрезки АА1 и ВВ1. Далее легко заметить, что отрезки АО и А1О будут равны. Соответственно равны и отрезки ВО и В1О. Углы, которые образуются при пересечении двумя прямыми точки О также равны.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны углы А,А1 и В,В1. Значит они являются накрест лежащими при секущих АА1 и ВВ1. Задача решена, АВ и А1В1 параллельны;

5. При центральной симметрии отрезки симметричны отрезкам, лучи симметричны лучам, прямые симметричны прямым.

Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Примеры фигур, обладающих центральной симметрией

Две центрально симметричные прямые параллельны

Фигур, как имеющих углы, так и без углов, но при этом обладающих центральной симметрией не так уж мало:

различные правильные многоугольники.

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрия

Интересные факты о центральной симметрии

Вся окружающая нас природа – сплошная центральная симметрия. Многие растения и насекомые обладают центральной симметрией.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Практически у каждого фрукта есть своя симметрия. Например, кокос в разрезе представляет собой окружность с центром в некоторой точке.

Ещё один очевидный пример – бабочка.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Великолепные узоры на её крылышках – четкая и яркая симметрия.

Каждый знает, что видовое разнообразие морских ракушек бесконечно. Наверняка, вы сможете найти несколько как с осевой, так и центральной симметрией.

Великолепные примеры с элементами центральной симметрии можно наблюдать и в архитектуре. Потолки различных храмов и церквей украшаются орнаментами, основой которых является центральная симметрия.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Собор Парижской Богоматери имеет прекрасный, утончённый узор, основанный на центральной симметрии.

Рукодельницы в своих произведениях искусства применяют симметрию, которая заметна в удивительных и затейливых узорах.

Таким образом, центральная симметрия – основа, которая составляет природу, архитектуру и даже иногда музыку. Именно это проявление так радует человеческий глаз при появлении первых снежинок или при знакомстве с сооружениями архитектуры.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Параллельные прямые

Параллельные прямые — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны. В стереометрии две прямые называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Содержание:

Понятие параллельности прямых

Определение. Прямые Две центрально симметричные прямые параллельныназывают параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

На рисунке 2.314 изображены две параллельные прямые Две центрально симметричные прямые параллельны.

Прямые Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельны, а значит, по определению, они лежат в одной плоскости или задают эту плоскость. На рисунке 2.315 показано, что прямые Две центрально симметричные прямые параллельнызадают плоскость Две центрально симметричные прямые параллельны.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Параллельность прямых обозначается знаком «||». Запись Две центрально симметричные прямые параллельнычитается: «прямая Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельна прямой Две центрально симметричные прямые параллельны» или «прямые Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельны».

Можно доказать теорему о центрально-симметричных прямых, которая будет первым признаком параллельности прямых.

Теорема 5. Если две прямые симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны (рис. 2.316).

Следствие. Через любую точку, не принадлежащую данной прямой, проходит одна прямая, параллельная данной прямой.

Сформулированная теорема позволяет строить прямую, параллельную данной (отметим, что есть и другие способы построения параллельных прямых).

Две центрально симметричные прямые параллельны

Выполним это построение.

1. Пусть даны прямая р и точка А, Две центрально симметричные прямые параллельны(рис. 2.317).

Мы должны воспользоваться теоремой 5, а значит, построить прямую, центрально-симметричную прямой р и проходящую через точку А. Таким образом, первая проблема, которую надо решить, — это найти (построить) центр симметрии.

2. Определение центральной симметрии подсказывает ответ: возьмем произвольную точку С на прямой р, соединим ее с точкой А и найдем середину отрезка С А — точку О (рис. 2.318).

Как построить прямую, параллельную прямой р, зная, что точки А и С центрально-симметричны относительно точки О?

3. Построим еще одну пару центрально-симметричных точек относительно центра симметрии — точки О, одна из которых принадлежит прямой р. Пусть это будут точки В и Две центрально симметричные прямые параллельны(рис. 2.319).

4. Точки А и Две центрально симметричные прямые параллельныопределяют прямую Две центрально симметричные прямые параллельны(1, 3, аксиома 1).

5. Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельна прямой р (4, теорема 5).

Перпендикулярность и параллельность прямых тесно связаны между собой.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Теорема 6. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то эти прямые параллельны (рис. 2.320).

В условии теоремы имеются два перпендикуляра, проведенных к прямой, причем все эти фигуры лежат в одной плоскости. Представьте себе, что эти перпендикуляры и данная прямая не лежат в одной плоскости. На рисунке 2.321 дана прямая с и к ней из точек А и Б в плоскостях Две центрально симметричные прямые параллельныпроведены перпендикуляры.

Две центрально симметричные прямые параллельны

В этом случае перпендикуляры не будут параллельны, так как они не лежат в одной плоскости. Таким образом, мы сформулировали признак параллельности прямых для плоскости, т. е. для случая, когда прямая Две центрально симметричные прямые параллельныи перпендикуляры к ней лежат в одной плоскости.

На рисунке 2.322 показано, как с помощью угольника и линейки можно провести через данную точку В прямую Две центрально симметричные прямые параллельны, параллельную данной прямой Две центрально симметричные прямые параллельны.

Аксиома параллельных

В великой книге Евклида «Начала» (III в. до н. э.) геометрия излагалась в строго систематическом виде. В основу этого изложения была положена четко оговоренная система первоначальных утверждений — аксиом, которые не доказывались. Все остальные утверждения — теоремы — выводились из них строго логически. Среди аксиом выделялась аксиома о параллельных — пятый постулат Евклида.

Аксиома 4 (аксиома параллельных). Через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной.

Применяя эту аксиому, можно доказать много различных теорем.

Теорема 7. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Верна ли эта теорема для любого расположения указанных прямых в пространстве? Нет, не верна. На рисунке 2.323 прямая с не пересекает прямую Две центрально симметричные прямые параллельны.

Две центрально симметричные прямые параллельны

Таким образом, теорема 7 верна для плоского случая, когда все указанные в формулировке теоремы прямые лежат в одной плоскости.

В пункте 67 мы рассматривали случаи, когда из некоторой точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, и сформулировали теорему 4 о том, что в

этом случае перпендикуляр всегда короче наклонной. Теперь можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 8. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой пересекаются.

Теорема 9. Если прямые Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельны прямой с, то прямые Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельны.

Важность этого свойства можно продемонстрировать на примере устройства нотного стана (рис. 2.324). Все линии нотного стана параллельны между собой именно в силу свойства транзитивности параллельных прямых.

Верна эта теорема для произвольно расположенных прямых в пространстве?

Две центрально симметричные прямые параллельны

Да, верна. На рисунке 2.325 изображено расположение прямых Две центрально симметричные прямые параллельныв пространстве, когда параллельные прямые Две центрально симметричные прямые параллельнылежат в плоскости Две центрально симметричные прямые параллельны, а параллельные прямые Две центрально симметричные прямые параллельны— в плоскости Р, т. е. Две центрально симметричные прямые параллельны

Свойство транзитивности утверждает, что Две центрально симметричные прямые параллельны. И действительно, видим, что Две центрально симметричные прямые параллельныи эти прямые лежат в плоскости у.

Пример:

Докажем для примера использования аксиомы параллельных теорему 9 (транзитивность параллельности прямых).

Решение:

Из условия теоремы имеем:

1. Две центрально симметричные прямые параллельны(дано, рис. 2.326).

2. Две центрально симметричные прямые параллельны(требуется доказать).

При доказательстве этой теоремы воспользуемся методом доказательства от противного.

3. Допустим противное: прямые Две центрально симметричные прямые параллельнынепараллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке Р (предположение) (рис. 2.327).

Две центрально симметричные прямые параллельны

4. Через точку Р будут проходить две прямые Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельные прямой с (1, 3).

5. П. 4 противоречит аксиоме параллельных, и, следовательно, наше предположение 3 неверно. Поэтому Две центрально симметричные прямые параллельны.

Пересечение двух прямых секущей

Пусть АВ и CD — две прямые, МК — третья прямая, пересекающая АВ и CD (рис. 2.328). Прямую МК по отношению к прямым АВ и CD называют секущей.

Пары углов, которые образуются при пересечении прямых АВ и CD секущей МК, имеют специальные названия.

Определение. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называют внутренними односторонними (рис. 2.329).

Определение. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 2.330).

Две центрально симметричные прямые параллельны

Таким образом, при пересечении прямых Две центрально симметричные прямые параллельнысекущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 2.331 обозначены цифрами. В соответствии с введенными выше названиями мы имеем: внутренние накрест лежащие углы — 3 и 5, 4 и 6, внутренние односторонние углы — 4 и 5, 3 и 6.

Внутренние накрест лежащие углы одной пары, например 3 и 5, являются смежными для внутренних накрест лежащих углов другой пары: 4 и 6 (рис. 2.331). Поэтому если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны.

Пары внутренних накрест лежащих углов и внутренних односторонних, например 3 и 5, 4 и 5, имеют один общий угол 5, а два других угла — смежные 3 и 4. Поэтому если внутренние накрест лежащие углы равны, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°. И обратно: если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Можно доказать такие свойства секущих.

Теорема 10. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Теорема 11. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Можно также доказать следующие признаки параллельности двух прямых.

Теорема 12. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 13. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Пример:

Прямые Две центрально симметричные прямые параллельныпараллельны, а прямая с пересекает их (рис. 2.332). Докажем, что Две центрально симметричные прямые параллельны

Две центрально симметричные прямые параллельны

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Две центрально симметричные прямые параллельны— секущая (дано, рис. 2.332).

2. Две центрально симметричные прямые параллельны(требуется доказать).

3. Две центрально симметричные прямые параллельны(1, теорема о равенстве вертикальных углов).

4. Две центрально симметричные прямые параллельны(1, теорема 10).

5. Две центрально симметричные прямые параллельны(1, определение смежных углов).

6. Две центрально симметричные прямые параллельны(1, 3, 4, 5).

Неевклидова геометрия

Проблема параллельных прямых уходит своими корнями в историю Древнего Египта и античную Грецию. Постепенно отрывочные, опытные, на глаз установленные факты здесь начинают превращаться в цепь связанных между собой предложений; каждое из них занимает в этой цепи определенное место и логически вытекает из предыдущих.

Применительно к геометрии этот замысел был выполнен Евклидом, создавшим первый в истории свод геометрических знаний в 13 книгах — «Начала».

Евклид (365—около 300 до н. э.) работал в Александрии при Птоломее I и возглавлял основанный в то время крупнейший научный центр древности — Александрийский музей.

Геометры в течение двух тысяч лет, относясь к «Началам» Евклида с большим уважением, подвергали их критике, указывали на те или иные недостатки и рекомендовали способы «очищения Евклида от пятен». Прежде всего критика относилась к пятому постулату (аксиоме параллельных), значительно более сложному, чем все остальные.

Многим математикам, работавшим после Евклида, аксиома параллельных в том или ином виде казалось с наглядной точки зрения недостаточно убедительной. Сейм Евклид доказывал целый ряд теорем, не опираясь на пятый постулат. Особая роль пятого постулата, его сложность и недостаточная наглядность привели к тому, что математики более поздних времен стали пытаться доказать его как теорему.

Многие попытки доказательства проводились методом доказательства от противного, т. е. предполагалось, что пятый постулат неверен, и из этого делался ряд выводов. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то пятый постулат был бы доказан.

Но противоречия никак не удавалось обнаружить. Вместо этого получалась длинная цепь предположений, часто отличная от тех, которые имеются в евклидовой геометрии, но которые тем не менее складывались в стройную теорию.

Примерно в одно время три математика в разных странах мира пришли так или иначе к одной идее — созданию новой неевклидовой геометрии. Это были Карл Фридрих Гаусс, Янош Больяи и Николай Иванович Лобачевский.

Николай Иванович Лобачевский (1792—1856), русский математик, отличался силой воли, смелостью и упорством. Ему было всего 30 лет, когда он сформулировал свои результаты, и 31 год, когда он их опубликовал. Результаты, полученные Н. И. Лобачевским, не были признаны в то время. Его относили к разряду ученых, проводивших «сумасшедшие» исследования по «сумасшедшей» геометрии. Позднее он получил признание, пришедшее от Гаусса.

Великий наш соотечественник Н. И. Лобачевский построил геометрию, в которой все аксиомы Евклида выполняются, кроме одной — аксиомы параллельных.

Что же такое геометрия Лобачевского? Это геометрия, полученная из геометрии Евклида изменением только одной аксиомы параллельных. Именно у Лобачевского принимается за аксиому, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, параллельные данной (т. е. лежащие с ней в одной плоскости и ее не пересекающие).

Теоремы, которые выводятся из новой системы аксиом, и образуют геометрию Лобачевского. Трудность, однако, в том, что аксиома Лобачевского не соответствует нашему наглядному представлению. Поэтому и многие выводы геометрии Лобачевского оказываются довольно странными.

Сам Н. И. Лобачевский называл свою геометрию воображаемой.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

💥 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Центральная и осевая симметрии. Геометрия 7 класс.Скачать

Центральная и осевая симметрии.  Геометрия 7 класс.

Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Осевая симметрия. 6 класс.

Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

Математика 6 класс. Параллельность прямыхСкачать

Математика 6 класс. Параллельность прямых

Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

Осевая и центральная симметрия, 6 класс

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: