Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Пусть диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC = a, AD = 3a пересекаются в точке O, а прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку O, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно (см. рис.).
Треугольник BOC подобен треугольнику DAO с коэффициентом 
поэтому треугольник AMO подобен треугольнику ABC с коэффициентом 
. Значит, 
Аналогично, 
Следовательно, 
Пусть h1 и h2 — высоты подобных треугольников BOC и DAO, проведённые из общей вершины O. Тогда 
Следовательно,
Видео:Теорема об отрезке, параллельном основаниям трапеции, проходящим через точку пересечения диагоналейСкачать
Через точку пересечения диагоналей проведена прямая которая параллельна основаниям трапеции
Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.
$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.
$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).
$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме
(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).
$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.
Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.
$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).
$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .
Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):
`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,
`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).
Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:
| `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`. |
В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем
| `d^2=c^2+ab`. |
Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.
`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).
По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`
(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).
Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то
Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.
Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.
Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна
Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).
Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$
Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда
$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.
$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.
$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.
Видео:Геометрия Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямаяСкачать
Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая,параллельная основаниям и
Через точку скрещения диагоналей трапеции проведена ровная,параллельная основаниям и пересекающая боковые стороны в точках E и F,при этом EF=8.Найдите основания трапеции,если их отношение одинаково 4
- Васек Самолис
- Геометрия 2019-01-03 20:11:09 1 1
Обозначим трапецию АВСD. Пусть ВС=а, тогда АD=4а.
1) Треугольники, интеллигентные пересекающимися диагоналями и основаниями трапеции, сходственны по одинаковым углам: вертикальные при точке скрещения О и накрестлежащие при основаниях, и k=AD:ВС=4:1
2) Так как ЕF параллельна основаниям трапеции, АВС и АЕО сходственны с коэффициентом подобия АО:АС,=4:(4+)=4/5
Подобно из подобия ОDF и BDC отношение ОD:ВD=4/5
Тогда ЕО:ВС=ОF:ВС=4/5, откуда ЕО=ОF=8:2=4
Из отношения ЕО:ВС=4/5 обретаем ВС=5 (ед. длины)
АD=4ВС=45=20 (ед. длины)
Полезно уяснить это свойство трапеции:
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку скрещения диагоналей и объединяющий две точки на боковых гранях,делится точкой скрещения диагоналей пополам.
📹 Видео
Как найти отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям?Скачать
№120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОКСкачать
Прямая проходящая через точку пересечения диагоналей трапецииСкачать
№128. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямаяСкачать
Диагонали трапеции и точка их пересеченияСкачать
Задача о точке пересечения диагоналей трапецииСкачать
Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать
Замечательное свойство трапеции | ЕГЭ по математике 2020Скачать
ОГЭ задание 26, вариант 5Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
ОГЭ. № 25. Задача повышенной сложности. Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку...Скачать
ОГЭ 2024 Ященко 18 вариант ФИПИ школе полный разбор!Скачать
ОГЭ 2024 задание 25 вариант 15Скачать
ОГЭ Задание 24 Подобные треугольники в трапецииСкачать
Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку... ОГЭ, геометрия повышенной сложности, часть 8.Скачать
Слив №16 с основной волны ЕГЭ 2023 по математике | Планиметрия | Что будет на экзамене?Скачать
Расстояние от точки пересечения диагоналей до основания трапеции (Задача №324600)Скачать
Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать
