Чему равна дивергенция радиус вектора (6 видео)

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Содержание

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
Пример №71.4.
Векторное поле. Дивергенция. Вихрь
Элементы теории поля и векторного анализа (стр. 2 )
1.3 Оператор C
1.4 Действия с оператором ∇. Дивергенция вектора. Ротор вектора.
1.5 Некоторые формулы векторного анализа
📸 Видео

Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса

Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля

в точке называется скаляр вида и обозначается символом , т. е.

Отметим некоторые свойства дивергенции.

Если — постоянный вектор, то .
, где .
, т. e. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.
Если — скалярная функция, — вектор, то

Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.

Так как , то

Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского Гаусса

в так называемой векторной форме.

Рассматривая область , ограниченную замкнутой поверхностью , в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора через поверхность ; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора . Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде

(в котором она чаще всего и встречается).

Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему , ограниченному данной поверхностью.

Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля в точке (не связанное с выбором координатных осей).

По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:

где — некоторая (средняя) точка области . Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде . Отсюда

Пусть поверхность стягивается в точку. Тогда , и мы получаем выражение для в точке :

Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность , окружающую точку , к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку .

Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).

Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.

Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают; что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при точка представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при точка есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина характеризует мощность (интенсивность, платность) источника или стока в точке . В этом состоит физический смысл дивергенции.

Понятно, что если в объеме , ограниченном замкнутой поверхностью , нет ни источников, ни стоков, то .

Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е. , называется соленоидальным (или трубчатым).

Пример №71.4.

Найти дивергенцию поля линейных скоростей жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью .

Решение:

Примем ось вращения жидкости за ось . Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2), . Имеем:

Поле — соленоидальное.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:ДивергенцияСкачать

Векторное поле. Дивергенция. Вихрь

Допустим в каждой точке некоторой области пространства задан вектор А , тогда считается, что в этой области пространства задано векторное поле. Например, в трубе определено поле скоростей частиц текущей жидкости. Векторное поле наглядно изображается векторными линиями. Векторной линией называется такая линия, в каждой точке которой вектор, соответствующий этой точке, направлен по касательной к векторной линии.

Рассмотрим некоторые основные понятия, связанные с векторным полем. При изучении этих понятий будем приписывать векторам поля некоторый физический смысл: будем считать, что векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости.

Выделим в векторном поле поверхность S (замкнутую или незамкнутую). Вычислим объем жидкости, протекающей через эту поверхность за единицу времени. Для этого разобьем поверхность на п малых элементов Л5’,,Л5₂ ^. Л5_я . Объем жидкости, протекающей через элемент AS_i за единицу времени, будет, равен A₁cos

Если число элементов п увеличить до бесконечности, уменьшая при этом размеры каждой элементарной площадки до нуля, то объем жидкости будет:

Пределы подобного вида называют интегралами по поверхности S и обозначаются следующим образом:

Этот интеграл называется потоком вектора А через поверхность векторного поля S. Поток вектора может быть записан следующим образом:

где п — единичный вектор нормали к поверхности; А_х, Л_у, А_г, А„ — проекции вектора А, соответственно на оси координат и нормаль к поверхности; пх, пу, т — углы этой нормали с осями координат.

Возьмем какую-нибудь точку поля М> в некотором малом объеме К, поверхность которого обозначим S; вычислим поток вектора через эту поверхность S. Рассмотрим предел, к которому стремится отношение этого потока к объему V при условии, что объем V стягивается в точку М.

Предел этот называется дивергенцией, или расходимостью вектора:

Если вычислить этот предел, то окажется, что

Дивергенцию от вектора А можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: А и символического вектора V (набла):

С учетом одного из свойств скалярного произведения основных единичных векторов:

получим скалярное произведение двух векторов:

По этой формуле вычисляем скалярное произведение:

Операции второго порядка даются формулами:

Пусть заданы скалярная Ф=Ф(г, t) и векторная F = F(r,t) функции кривой, описываемой радиус вектором г = /•(/) или х = x(t) , у = y(t) ,

2 = z(t) и параметром /. Их полные производные вдоль кривой г = г(/) по отношению к параметру t равны соответственно:

Пусть поле вектора А есть поле скоростей несжимаемой жидкости, причем в начале координат имеется источник жидкости е в этом случае

дивергенция вектора А, вычисленная для начала координат, будет равна +е. Если в начале координат имеется не источник жидкости, а сток, то дивергенция в этом случае будет равна

е . Вообще дивергенция поля скоростей текущей жидкости в данной точке есть относительное изменение плотности элемента жидкости, отнесенное к единице времени.

Основная теорема, связанная с понятием дивергенции, — теорема Остроградского — заключается в следующем:

Пусть для некоторого объема V пространства, ограниченного поверхностью S задано поле некоторого вектора А . Обозначим через S поверхность, ограничивающую этот объем. Формула Остроградского устанавливает зависимость между тройным интегралом, взятым по объему V, и двойным интегралом, взятым по поверхности S:

Интеграл от дивергенции вектора через объем V равен интегралу потока вектора через поверхность S, ограничивающую этот объем.

Рассмотрим в векторном поле какую-либо кривую L. Линейным интегралом вектора А вдоль кривой L называется интеграл, взятый по кривой

Если кривая L замкнута, то линейный интеграл называется циркуляцией вектора (rot А) по кривой L. Понятие линейного интеграла аналогично понятию работы. Если точка перемещается по кривой L под действием силы вектора А, проекции которой на оси координат равны A_XiA_y> A_z, то линейный интеграл (2.3) представляет собой работу, совершенную этой силой.

Этот интеграл зависит не только от конечной и начальной точек интегрирования, но также и от кривой, по которой производится интегрирование. Интегралы (2.3), взятые по разным кривым, соединяющим данные фиксированные точки, — различны.

Однако, если подынтегральное выражение в линейном интеграле есть полный дифференциал d(p некоторой функции или вихрь вектора А) и является величиной векторной.

С учетом векторного произведения основных единичных векторов: рассмотрим векторное произведение Ах В :

Применяя это произведение, легко проверить, что вектор-вихрь можно рассматривать как векторное произведение вектора-набла на вектор

Очевидно, что вихрь потенциального вектора равен нулю:

Если вектор А есть вектор скорости текущей жидкости, то вектор

rot А для некоторой точки является удвоенной угловой скоростью вращения бесконечно малого объема, окружающего эту точку, в предположении, что этот объем в данный момент времени затвердел.

Основная теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема Стокса. Пусть S — некоторая поверхность, ограниченная контуром L и целиком расположена в векторном поле. Теорема Стокса устанавливает связь между циркуляцией вектора по кривой L и интегралом, взятым по поверхности S.

Циркуляция вектора А по замкнутому контуру равна потоку вектора гоЫ через поверхность, ограниченную этим контуром:

Дивергенция от градиента скалярной величины есть величина скалярная:

где V 2 — оператор Лапласа; /=1,2,3 — соответственно координаты х,у и г.

Оператор скалярного произведения двух векторов (а • v): Полезны следующие соотношения:

где индексы 1,2,3 соответствуют координатам x,y,z соответственно.

Можно показать, что

где (grad/i) т и (ул) г в AV -транспонированная диада.

Видео:Демидович №4429: дивергенция произведения функций от радиус-вектораСкачать

Элементы теории поля и векторного анализа (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8

, где — потенциал заряда.

Пример 1.2. Найти , где –φ(r) – произвольная дифференцируемая функция от r, где, как и в предыдущем примере, r длина радиус-вектора r.

Аналогично, , . В итоге получаем:

Последнее соотношение можно использовать для получения напряженности поля для сферически-симметричных потенциалов, то есть для потенциалов, поверхности уровня которых представляют собой сферы.

1.3 Оператор C

Определение Оператором называется правило, по которому одной функции ставится в соответствие другая функция.

Предположим, мы имеем две функции f и φ.Соотношение f = Tφ, где T — оператор, устанавливает соответствие между ними, Например, если , то T — оператор дифференцирования, если , то T — интегральный оператор и т. д..

Заметим, соотношение (1.3) не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Эту формулу можно записать компактно, если ввести дифференциальный векторный оператор C (читается «набла»).

(1.9)

В многих случаях с оператором ∇ можно обращаться как с обычным вектором. ∇ = . Следует только помнить, что операторная алгебра несколько отличается от векторной. Оператор действует на функцию, написанную справа от оператора. Например, ∇ f и f∇ — зто разные выражения:: ∇ f = grad f — вектор, — векторный оператор, образно говоря, «жаждущий» подействовать на функцию, которая появится справа от него.

Примечание Вообще говоря, не любые три оператора образуют векторный оператор. (Также как не любые три числа образуют вектор.) Компоненты векторных операторов, как и компоненты обычных векторов, при преобразовании системы координат должны преобразовываться определенным образом. Можно провести и более простые рассуждения, показывающие, что ∇ — векторный оператор. В предыдущем разделе мы показали, что grad f = ∇ f — вектор, направленный по нормали к поверхности уровня. Поскольку, формально соотношение (1.6) выглядит как действие оператора на скалярную функцию и в результате получается вектор, то поэтому ∇ — векторный оператор.

Пример 1.3. Вычислить вектор в точке (1,2,0).

Последовательно проводим действия:

1. Находим частные производные от функции

; ; .

2. Каждую из полученных производных умножаем на соответствующий единичный вектор, полученные векторы складываем и результат умножаем на функцию :

3. Вычисляем полученный вектор в точке (1,2,0):

1.4 Действия с оператором ∇. Дивергенция вектора. Ротор вектора.

Рассмотрим векторное поле A(x, y,z) = Из двух векторов ∇ и A по обычным правилам векторной алгебры можно образовать скалярное произведение:

(1.10)

Эта скалярная величина называется дивергенцией вектора A и обозначается как divA:

(1.11)

Из векторов ∇ и A можно образовать и векторное произведение. Используя обычные правила векторной алгебры, получим:

(1.12)

Эта векторная величина называется ротором вектора A и обозначается как rotA:

(1.13)

Примечание Определения (1.1) и (1.13) даны в прямоугольной системе координат. К независящим от выбора системы координат определениям дивергенции и ротора функции, а также к их смыслу мы вернемся позже.

В различных применениях векторного анализа часто возникает необходимость в вычислении div(Af) и rot(Af), где A — векторное поле, f-скалярное. Получим соответствующие формулы, используя (1.8), (1.10) и (1.12):

(1.14)

(1.15)

Пример 1.4. Вычислить divr, где r = – радиус вектор:

Пример 1.5. Вычислить rotr, где, по-прежнему, r = – радиус вектор:

Пример 1.6. Вычислить div(rφ(r)),где r = – радиус вектор, r — его длина, φ(r) – произвольная дифференцируемая функция от r.

Используя формулу (1.14) и решения примеров 1.2 и 1.4, получаем

Пример 1.7. Вычислить rot(rφ(r)),где r, r и φ(r) определены в примере 1.6.

Используя формулу (1.15) и решения примеров 1.2 и 1.5, получаем:

1.5 Некоторые формулы векторного анализа

До сих пор мы рассматривали действие оператора ∇ на скалярные и векторные поля и их произведения. Сейчас мы получим некоторые часто встречающиеся в приложениях соотношения, в которых оператор ∇ встречается дважды.

1.5.1 Вычисление rot gradf

Пустьf(x, y,z) – некоторое скалярное поле. Тогда, используя формулы (1.3) и (1.10) получим:

(1.16)

Этот же результат можно получить проще, используя, оператор ∇.

rot gradf = [∇,(∇f] = [∇,∇]f = 0, так как векторное произведение вектора самого на себя равно нулю.

1.5.2 Вычисление div rot A

Используя соотношения (1.8) –(1.11) и правила для вычисления смешанного произведения векторов, получаем:

, (1.17)

так как в определителе две одинаковых строки.

1.5.2 Вычисление div gradf. Оператор Лапласа.

Используя соотношения (1.6) –(1.9) и правила для вычисления скалярного произведения векторов, получаем:

(1.18)

Оператор широко используется в приложениях и называется оператором Лапласа или лапласианом и обозначается символом Δ:

(1.19)

Оператор Лапласа может действовать и на векторное поле A(x, y,z). По определению:

ΔA = i ΔAx+ j ΔAy+ k ΔAz (1.20)

1.5.3 Вычисление rot rotA.

Для вычисления используем известную формулу для двойного векторного произведения:

где A, B, C– три произвольных вектора.

rot rotA = [∇,[∇A]] = ∇(∇,A)-( ∇,∇)A = grad divA — ΔA (1.21)

Разумеется, эту же формулу мы получим, используя (1.12) и расписывая выражение rot rotA по компонентам.

Последняя строка в этом выражении, сумма слагаемых в которой равна нулю, добавлена для удобства вычислений. Группируя слагаемые со знаком “+”и со знаком “-“ и принимая во внимание равенство смешанных производных, получим:

что и требовалось показать.

Примечание Последние вычисления показывают преимущества использования оператора ∇ при рассмотрении различных векторных соотношений, содержащих дифференцирование.