Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Как определить диаметр описанной окружности треугольника
Содержание
  1. Треугольник. Описанная окружность
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
  3. 1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
  4. 2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
  5. 3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
  6. 4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
  7. Треугольник описанный около окружности
  8. Определение
  9. Формулы
  10. Радиус вписанной окружности в треугольник
  11. Радиус описанной окружности около треугольника
  12. Площадь треугольника
  13. Периметр треугольника
  14. Сторона треугольника
  15. Средняя линия треугольника
  16. Высота треугольника
  17. Свойства
  18. Признаки существования
  19. Признаки равенства
  20. Термины
  21. Теорема синусов
  22. Доказательство теоремы синусов
  23. Доказательство следствия из теоремы синусов
  24. Теорема о вписанном в окружность угле
  25. Примеры решения задач
  26. Запоминаем
  27. Треугольник вписанный в окружность
  28. Определение
  29. Формулы
  30. Радиус вписанной окружности в треугольник
  31. Радиус описанной окружности около треугольника
  32. Площадь треугольника
  33. Периметр треугольника
  34. Сторона треугольника
  35. Средняя линия треугольника
  36. Высота треугольника
  37. Свойства
  38. Доказательство

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Треугольник. Описанная окружность

Расчет параметров описанной вокруг треугольника окружности.

Дополню коллекцию калькуляторов треугольников калькулятором, рассчитывающим параметры описанной вокруг треугольника окружности.
Собственно, ключевой вопрос — найти ее радиус.

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Радиус ищется так:

Калькулятор рассчитывает радиус, площадь описанной окружности, площадь треугольника и отношение площадей.

Видео:Нахождение диаметра описанной окружностиСкачать

Нахождение диаметра описанной окружности

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника

Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:

( small R=frac )

где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:

( small R=frac =frac , )
( small R=frac . )(1)

Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).

Подставим значение ( small c=frac ) в (1):

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Ответ: Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Видео:Задача 6 №27919 ЕГЭ по математике. Урок 136Скачать

Задача 6 №27919 ЕГЭ по математике. Урок 136

2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:

( small c=sqrt. )(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

( small R=frac =frac , )
( small R=frac . )(3)

Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Ответ: Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу(4)

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника

Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:

( small angle A+angle B=90°. )
( small angle A=90°-angle B. )(5)

Подставляя (5) в (4), получим:

( small R=frac =frac ) ( small =frac )
( small R=frac . )(6)

Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Ответ: Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

Треугольник описанный около окружности

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

Определение

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

△ ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания
. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника, описанного около окружности.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника, описанного около окружности.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угла между ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника, описанного около окружности.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Свойства

Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.

Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.

Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.

Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.

Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.

Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.

Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.

Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.

Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.

Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.

Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.

Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.

Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.

Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.

Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.

Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.

Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.

Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.

Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Признаки существования

Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.

Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.

Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.

Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.

Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.

Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

Признаки равенства

Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 3. По трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.

Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:

  1. Разносторонний треугольник
  2. Равносторонний / правильный треугольник
  3. Прямоугольный треугольник
  4. Равнобедренный треугольник
  5. Равнобедренныйпрямоугольный треугольник
  • Прямоугольный треугольник, описанный около окружности

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.

Основные формулы:

  • Равнобедренный треугольник, описанный около окружности
    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.

Основные формулы:

  • Равносторонний треугольник, описанный около треугольника

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углуХарактерные признаки: три угла и три стороны равны, точки пересечения медиан, высот, биссектрис совпадают.

Основные формулы:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Термины

Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.

Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.

Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.

Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.

Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.

Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.

Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Теорема синусов

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Формула теоремы синусов:

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

  • Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу
    bc sinα = ca sinβ
    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

    Задание 24 ОГЭ по математике #7

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:ЕГЭ 6 номер. Нахождение диаметра описанной окружности около равнобедренного треугольникаСкачать

    ЕГЭ 6 номер. Нахождение диаметра описанной окружности около равнобедренного треугольника

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать

    Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.Скачать

    Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.

    Треугольник вписанный в окружность

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Определение

    Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
    находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

    На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
    треугольника
    и окружность, вписанная в треугольник.

    ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

    O — центр вписанной в треугольник окружности.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    Формулы

    Радиус вписанной окружности в треугольник

    r — радиус вписанной окружности.

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
      если известна площадь и все стороны:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:

    Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:

    Радиус описанной окружности около треугольника

    R — радиус описанной окружности.

    1. Радиус описанной окружности около треугольника,
      если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:

    Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и полупериметр:

    Площадь треугольника

    S — площадь треугольника.

    1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
      если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

    Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними:

    [ S = fracab cdot sin angle C ]

    Периметр треугольника

    P — периметр треугольника.

    1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
      если известны все стороны:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:

    Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними:

    Сторона треугольника

    a — сторона треугольника.

    1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
      если известны две стороны и косинус угла между ними:

    Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:

    Средняя линия треугольника

    l — средняя линия треугольника.

    1. Средняя линия треугольника вписанного
      в окружность, если известно основание:

    Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известныдве стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угламежду ними:

    Высота треугольника

    h — высота треугольника.

    1. Высота треугольника вписанного в окружность,
      если известна площадь и основание:

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

    [ h = b cdot sin alpha ]

    Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием:

    Свойства

    • Центр вписанной в треугольник окружности
      находится на пересечении биссектрис.
    • В треугольник, вписанный в окружность,
      можно вписать окружность, причем только одну.
    • Для треугольника, вписанного в окружность,
      справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
      и Теорема Пифагора.
    • Центр описанной около треугольника окружности
      находится на пересечении серединных перпендикуляров.
    • Все вершины треугольника, вписанного
      в окружность, лежат на окружности.
    • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
    • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
      треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
      формуле Герона.

    Доказательство

    Около любого треугольника, можно
    описать окружность притом только одну.

    Найти диаметр описанной окружности треугольника по стороне и углу

    окружность и треугольник,
    которые изображены на рисунке 2.

    окружность описана
    около треугольника.

    1. Проведем серединные
      перпендикуляры — HO, FO, EO.
    2. O — точка пересечения серединных
      перпендикуляров равноудалена от
      всех вершин треугольника.
    3. Центр окружности — точка пересечения
      серединных перпендикуляров — около
      треугольника описана окружность — O,
      от центра окружности к вершинам можно
      провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

    окружность описана около треугольника,
    что и требовалось доказать.

    Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
    вписанный в окружность
    — это треугольник,
    в котором все серединные перпендикуляры
    пересекаются в одной точке, и эта точка
    равноудалена от всех вершин треугольника.

    Поделиться или сохранить к себе: