Частота и волновой вектор

2.6. Электромагнитные волны

Любой колебательный контур излучает энергию. Изменяющееся электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве переменное магнитное поле, и наоборот. Математические уравнения, описывающие связь магнитного и электрического полей, были выведены Максвеллом и носят его имя. Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для случая, когда отсутствуют электрические заряды (Частота и волновой вектор) и токи (j = 0):

Частота и волновой вектор

Частота и волновой вектор

Величины Частота и волновой вектори Частота и волновой вектор— электрическая и магнитная постоянные, соответственно, которые связаны со скоростью света в вакууме соотношением

Частота и волновой вектор

Постоянные Частота и волновой вектори Частота и волновой векторхарактеризуют электрические и магнитные свойства среды, которую мы будем считать однородной и изотропной.

В отсутствие зарядов и токов невозможно существование статических электрического и магнитного полей. Однако переменное электрическое поле возбуждает магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле создает электрическое поле. Поэтому имеются решения уравнений Максвелла в вакууме, в отсутствие зарядов и токов, где электрические и магнитные поля оказываются неразрывно связанными друг с другом. В теории Максвелла впервые были объединены два фундаментальных взаимодействия, ранее считавшихся независимыми. Поэтому мы говорим теперь об электромагнитном поле.

Колебательный процесс в контуре сопровождается изменением окружающего его поля. Изменения, происходящие в окружающем пространстве, распространяются от точки к точке с определенной скоростью, то есть колебательный контур излучает в окружающее его пространство энергию электромагнитного поля.

Электромагнитная волна — это распространяющееся в пространстве электромагнитное поле, в котором напряженность электрического и индукция магнитного полей изменяются по периодическому закону.

При строго гармоническом изменении во времени векторов Частота и волновой вектори Частота и волновой векторэлектромагнитная волна называется монохроматической.

Получим из уравнений Максвелла волновые уравнения для векторов Частота и волновой вектори Частота и волновой вектор.

Волновое уравнение для электромагнитных волн

Как уже отмечалось в предыдущей части курса, ротор (rot) и дивергенция (div) — это некоторые операции дифференцирования, производимые по определенным правилам над векторами. Ниже мы познакомимся с ними поближе.

Возьмем ротор от обеих частей уравнения

Частота и волновой вектор

При этом воспользуемся доказываемой в курсе математики формулой:

Частота и волновой вектор

где Частота и волновой вектор— введенный выше лапласиан. Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу другого уравнения Максвелла:

Частота и волновой вектор

Получаем в итоге:

Частота и волновой вектор

Выразим rotB через электрическое поле с помощью уравнения Максвелла:

Частота и волновой вектор

и используем это выражение в правой части (2.93). В результате приходим к уравнению:

Частота и волновой вектор

Частота и волновой вектор

и вводя показатель преломления среды

Частота и волновой вектор

запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля в виде:

Частота и волновой вектор

Сравнивая с (2.69), убеждаемся, что мы получили волновое уравнение, где vфазовая скорость света в среде:

Частота и волновой вектор

Взяв ротор от обеих частей уравнения Максвелла

Частота и волновой вектор

и действуя аналогичным образом, придем к волновому уравнению для магнитного поля:

Частота и волновой вектор

Полученные волновые уравнения для Частота и волновой вектори Частота и волновой векторозначают, что электромагнитное поле может существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна

Частота и волновой вектор

В отсутствие среды (при Частота и волновой вектор) скорость электромагнитных волн совпадает со скоростью света в вакууме.

Основные свойства электромагнитных волн

Рассмотрим плоскую монохроматическую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси х:

Частота и волновой вектор

Возможность существования таких решений следует из полученных волновых уравнений. Однако напряженности электрического и магнитного полей не являются независимыми друг от друга. Связь между ними можно установить, подставляя решения (2.99) в уравнения Максвелла. Дифференциальную операцию rot, применяемую к некоторому векторному полю А можно символически записать как детерминант:

Частота и волновой вектор

Подставляя сюда выражения (2.99), зависящие только от координаты x, находим:

Частота и волновой вектор

Дифференцирование плоских волн по времени дает:

Частота и волновой вектор

Тогда из уравнений Максвелла следует:

Частота и волновой вектор

Отсюда следует, во-первых, что электрическое и магнитное поля колеблются в фазе:

Частота и волновой вектор

Далее, ни у Частота и волновой вектор, ни у Частота и волновой векторнет компонент параллельных оси х:

Частота и волновой вектор

Иными словами и в изотропной среде,

электромагнитные волны поперечны: колебания векторов электрического и магнитного полей происходят в плоскости, ортогональной направлению распространения волны.

Тогда можно выбрать координатные оси так, чтобы вектор Частота и волновой векторбыл направлен вдоль оси у (рис. 2.27):

Частота и волновой вектор

Частота и волновой вектор

Рис. 2.27. Колебания электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне

В этом случае уравнения (2.103) приобретают вид:

Частота и волновой вектор

Отсюда следует, что вектор Частота и волновой векторнаправлен вдоль оси z:

Частота и волновой вектор

Иначе говоря, векторы электрического и магнитного поля ортогональны друг другу и оба — направлению распространения волны. С учетом этого факта уравнения (2.104) еще более упрощаются:

Частота и волновой вектор

Отсюда вытекает обычная связь волнового вектора, частоты и скорости:

Частота и волновой вектор

а также связь амплитуд колебаний полей:

Частота и волновой вектор

Отметим, что связь (2.107) имеет место не только для максимальных значений (амплитуд) модулей векторов напряженности электрического и магнитного поля волны, но и для текущих — в любой момент времени.

Итак, из уравнений Максвелла следует, что электромагнитные волны распространяются в вакууме со скоростью света. В свое время этот вывод произвел огромное впечатление. Стало ясно, что не только электричество и магнетизм являются разными проявлениями одного и того же взаимодействия. Все световые явления, оптика, также стали предметом теории электромагнетизма. Различия в восприятии человеком электромагнитных волн связаны с их частотой или длиной волны.

Шкала электромагнитных волн представляет собой непрерывную последовательность частот (и длин волн) электромагнитного излучения. Теория электромагнитных волн Максвелла позволяет установить, что в природе существуют электромагнитные волны различных длин, образованные различными вибраторами (источниками). В зависимости от способов получения электромагнитных волн их разделяют на несколько диапазонов частот (или длин волн).

На рис. 2.28 представлена шкала электромагнитных волн.

Частота и волновой вектор

Рис. 2.28. Шкала электромагнитных волн

Видно, что диапазоны волн различных типов перекрывают друг друга. Следовательно, волны таких длин можно получить различными способами. Принципиальных различий между ними нет, поскольку все они являются электромагнитными волнами, порожденными колеблющимися заряженными частицами.

Уравнения Максвелла приводят также к выводу о поперечности электромагнитных волн в вакууме (и в изотропной среде): векторы напряженности электрического и магнитного полей ортогональны друг другу и направлению распространения волны.

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Волновое уравнение. Материал из Физической Энциклопедии.

http://elementy.ru/trefil/24 – Уравнения Максвелла. Материал из «Элементов».

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Уравнения Максвелла и их физический смысл.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Кратко об уравнениях максвелла для электромагнитного поля.

Эффект Доплера для электромагнитных волн

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

Частота и волновой вектор

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К’, движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t’, r’. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

Частота и волновой вектор

Подставим эти выражения в выражение для фазы Частота и волновой вектор, чтобы получить фазу Частота и волновой векторволны в движущейся системе отсчета:

Частота и волновой вектор

Это выражение можно записать как

Частота и волновой вектор

где Частота и волновой вектори Частота и волновой вектор— циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

Частота и волновой вектор

Для электромагнитной волны в вакууме

Частота и волновой вектор

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол Частота и волновой векторс осью х:

Частота и волновой вектор

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

Частота и волновой вектор

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.

Если Частота и волновой вектор, то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

Частота и волновой вектор

Если Частота и волновой вектор, то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

Частота и волновой вектор

При скоростях V 2 (солнечная постоянная). Найдем среднюю амплитуду колебаний E0 вектора электрической напряженности в солнечном излучении. Вычислим амплитуды колебаний напряженности магнитного поля H0 и вектора магнитной индукции B0 в волне.

Ответ находим сразу из уравнений (3.127), где полагаем Частота и волновой вектор:

Частота и волновой вектор

Электромагнитные волны поглощаются и отражаются телами, следовательно, они должны оказывать на тела давление. Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на плоскую проводящую поверхность. В этом случае электрическое поле волны возбуждает в теле ток, пропорциональный Е. Магнитное поле волны по закону Ампера будет действовать на ток с силой, направление которой совпадает с направлением распространения волны. В 1899 г. в исключительно тонких экспериментах П.И. Лебедев доказал существование светового давления. Можно показать, что волна, несущая энергию W, обладает и импульсом:

Частота и волновой вектор

Пусть электромагнитная волна падает в вакууме по нормали на площадь А и полностью поглощается ею. Предположим, что за время Частота и волновой векторплощадка получила от волны энергию Частота и волновой вектор. Тогда переданный площадке импульс равен

Частота и волновой вектор

На площадку действует со стороны волны сила

Частота и волновой вектор

Давление Р, оказываемое волной, равно

Частота и волновой вектор

Если средняя плотность энергии в волне равна , то на площадь А за время Частота и волновой векторпопадет энергия из объема Частота и волновой вектори

Частота и волновой вектор

Отсюда находим давление электромагнитной волны (света):

Частота и волновой вектор

Если площадка идеально отражает всю падающую на нее энергию, то давление будет в два раза большим, что объясняется очень просто: одинаковый вклад в давление в этом случае дают как падающая, так и отраженная волны, в случае полностью поглощающей поверхности отраженной волны просто нет.

Пример 3. Найдем давление Р солнечного света на Землю. Используем значение солнечной постоянной из предыдущего примера. Искомое давление равно:

Частота и волновой вектор

Пример 4. Найдем давление Р лазерного пучка на поглощающую мишень. Выходная мощность лазера N = 4.6 Вт, диаметр пучка d = 2.6 мм.

Видео:Волновое движение. Механические волны. 9 класс.Скачать

Волновое движение. Механические волны.  9 класс.

Волновое число: физический смысл, размерность, формулы, примеры расчета

Вы хотите знать, в чем разница между волновым числом и угловым волновым числом и как их рассчитать? Тогда эта статья как раз для вас. Мы подробно объясним эту тему и покажем на примере, как можно рассчитать эти величины.

Если вы рассматриваете электромагнитную волну с определенной длиной волны, то волновое число является обратным этой длине волны — оно ведет себя противоположным образом. Например, если длина волны увеличивается, волновое число уменьшается. Если, с другой стороны, длина волны уменьшается, то волновое число увеличивается.

Видео:Урок №45. Электромагнитные волны. Радиоволны.Скачать

Урок №45. Электромагнитные волны. Радиоволны.

Волновое число в спектроскопии

Волновое число k определяется в спектроскопии как обратная величина длины волны λ, то есть ξ = 1 / λ (называется еще пространственной частотой). Однако его также можно выразить через частоту f и скорость света в вакууме c, тогда ξ = f / c или также через число n длин волн, укладывающихся в определенную длину l, то есть ξ = n / l .

В целом, для волнового числа применимо следующее соотношение: ξ = 1 / λ = f / c = n / l .

Важно: Волновое число ξ не следует путать с частотой f. Частота имеет единицу измерения Гц = 1 / с = с -1 и определяется через обратную величину периода T: f = 1 / T . Она показывает, как часто электромагнитная волна колеблется в секунду.

Частота и волновой вектор

Видео:Амплитуда, период, частота и длина волны периодических волнСкачать

Амплитуда, период, частота и длина волны периодических волн

Единица измерения волнового числа

Обычно волновое число выражается в в следующих единицах измерения (в СИ): 1 / м = м -1 , что соответствует числу колебаний на метр. Однако единица может быть также преобразована, например, в единицы 1 / см = см -1 или 1 / мм = мм -1 .

Между этими единицами измерения существует следующая взаимосвязь: 1 м -1 = 0,01 см -1 = 0,001 мм -1 , соответственно 1 мм -1 = 100 см -1 = 1000 м -1 .

Видео:Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | Физика

Разница между волновым числом и угловым волновым числом

Угловое волновое число часто ошибочно называют просто волновым числом. Однако, угловое волновое число k является величиной волнового вектора k и связано с волновым числом ξ следующим образом: k = | k | = 2*π*ξ = ω / c = 2*π / λ . В этой формуле где ω представляет собой так называемую угловую частоту. Волновой вектор — это вектор, перпендикулярный волновому фронту волны. Эта формула показывает, что волновое число ξ также может быть вычислено из углового волнового числа k: ξ = k / 2*π .

Важно: Угловую частоту и частоту также нельзя путать друг с другом. Угловая частота ω связана с частотой f следующим образом: ω = 2*π*f .

Физический смысл волнового числа.

Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров. Это пространственный аналог круговой частоты ω (рад·с -1 ). Характеристика периодического процесса в пространстве.

Видео:Механические модели волн. 1.Скачать

Механические модели волн. 1.

Пример расчета волнового числа

Если мы наблюдаем электромагнитную волну с длиной волны λ = 500 нм и хотим вычислить по ней волновое число ξ, то поступаем следующим образом. Чтобы получить размерность м -1 сначала переведите длину волны в метры. То есть 500 нм = 500 * 10 -9 м = 5*10 -7 м.

Используя представленную выше формулу, вы можете определить соответствующее волновое число: ξ = 1 / λ = 1 / 5*10 -7 = 2*10 6 м -1 .

На одном метре волна колеблется 2 миллиона раз. Если преобразовать единицу измерения, то можно сказать, что волна колеблется 2000 раз на одном миллиметре: 2 * 10 6 м -1 = 0,001 * 2 * 10 6 мм -1 = 2000 мм -1 .

Видео:Что Такое Свет-Волна Или ЧастицаСкачать

Что Такое Свет-Волна Или Частица

Пример расчета углового волнового числа

Если использовать ту же длину волны λ = 500 нм =5 *10 -7 м, как в предыдущем примере, и подставьте это значение в формулу для расчета углового волнового числа, то это приведет к следующим результатам: k = 2 * π / λ = 2 * π / 5 *10 -7 м = 1,2566 * 10 7 м -1 .

Легко видеть, что угловое волновое число k отличается от волнового числа ξ из предыдущего примера:

ξ = 2*10 6 м -1 ↔ k = 1,2566 * 10 7 м -1

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Преобразование длины волны в волновой число

В следующей таблице показаны два направления преобразования из длины волны в волновое число и наоборот. Кроме того, в последней колонке перечислены некоторые области применения спектроскопии:

Видео:Урок 95 (осн). Механические волны. ЗвукСкачать

Урок 95 (осн). Механические волны. Звук

волновой вектор

ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР — вектор k, определяющий направление распространения и пространственный период плоской монохроматич. волны

Частота и волновой вектор

где Частота и волновой вектор— постоянные амплитуда и фаза волны, Частота и волновой вектор— круговая частота, r — радиус-вектор. Модуль В. в. наз. волновым числом k=Частота и волновой вектор, где Частота и волновой вектор— пространственный период или длина волны. В направлении В. в. происходит наибыстрейшее изменение фазы волны Частота и волновой вектор, поэтому оно и принимается за направление распространения. Скорость перемещения фазы в этом направлении, или фазовая скорость Частота и волновой вектор, определяется через волновое число Частота и волновой вектор. При классич. описании волновых процессов с В. в. связана плотность импульса Частота и волновой вектор, где Частота и волновой вектор— плотность энергии. В квантовом пределе соответственно импульс Частота и волновой вектор. Направление переноса энергии волной, вообще говоря, может и не совпадать с направлением В. в., как это имеет место, напр., в анизотропных средах или даже в изотропных средах с аномальной дисперсией, где возможен перенос энергии в направлении, противоположном В. в.

Понятие о В. в. может быть обобщено на случай квазигармонич. волн вида Частота и волновой вектор, если ввести локальный В. в. Частота и волновой вектори мгновенную частоту Частота и волновой вектор. Однако, однозначная интерпретация этих величин допустима только при выполнении неравенств:

Частота и волновой вектор

где k; — декартовы составляющие В. в. (i, j=1, 2, 3). Эти условия устанавливают применимость лучевого описания волновых процессов (приближения геометрической оптики и геометрической акустики, квазиклассич. приближения).

Для эл—магн. гармонической волны (в вакууме) В. в. k и величина Частота и волновой вектор(с — скорость света) объединяются в единый волновой четырёхвектор, компоненты к-рого подчиняются при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (движущейся с относит. скоростью u) Лоренца преобразованием:

Частота и волновой вектор

Первое из этих соотношений определяет Доплера аффект, второе — эффект аберрации углов прихода волн (или формируемых ими лучей).

M. А. Миллер, Г. В. Пермитин.

💡 Видео

Спектр электромагнитных волн.Скачать

Спектр электромагнитных волн.

Электромагнитные волны НАГЛЯДНО. ТВ урок.Скачать

Электромагнитные волны НАГЛЯДНО. ТВ урок.

ФИЗИКИ не знают, что такое ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. 7 крамольных фактов об ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕСкачать

ФИЗИКИ не знают, что такое ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. 7 крамольных фактов об ЭЛЕКТРИЧЕСТВЕ

Билет №34 "Электромагнитные волны"Скачать

Билет №34 "Электромагнитные волны"

Можно ли ОСТАНОВИТЬ СВЕТ?Скачать

Можно ли ОСТАНОВИТЬ СВЕТ?

Что такое ИМПЕДАНС | РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕСкачать

Что такое ИМПЕДАНС | РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Билет №36 "Волновод"Скачать

Билет №36 "Волновод"

Пожалуй, главное заблуждение об электричестве [Veritasium]Скачать

Пожалуй, главное заблуждение об электричестве [Veritasium]

Электромагнитные волны и электромагнитный спектр (видео 1) | Интерференция волн | ФизикаСкачать

Электромагнитные волны и электромагнитный спектр (видео 1) | Интерференция волн | Физика

Электромагнитные волныСкачать

Электромагнитные волны

Электромагнитная природа света. Скорость света. Интерференция света. 11 класс.Скачать

Электромагнитная природа света. Скорость света. Интерференция света. 11 класс.

Урок 454. Понятие о волновой функцииСкачать

Урок 454. Понятие о волновой функции
Поделиться или сохранить к себе: