Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Все, что нужно знать о свойствах четырехугольников

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольников.

Для начала я расположу все виды четырехугольников в виде такой сводной схемы:

Биссектриса в четырехугольнике доказательствоСхема замечательна тем, что четырехугольники, стоящие в каждой строке обладают ВСЕМИ СВОЙСТВАМИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НАД НИМИ. Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами.

Биссектриса в четырехугольнике доказательство1. В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180°: А+В=180°, C+D=180°

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании отрезок, равный боковой стороне: Биссектриса в четырехугольнике доказательство Биссектриса в четырехугольнике доказательство

3. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

4.Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны:

Биссектриса в четырехугольнике доказательствоВ равнобедренной трапеции

  • углы при основании равны,
  • проекции боковых сторон на основание равны: Биссектриса в четырехугольнике доказательство.

5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Параллелограм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: Биссектриса в четырехугольнике доказательствоВ параллелограмме:

  • противоположные стороны и противоположные углы равны
  • диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

или произведению сторон на синус угла между ними:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

  • противоположные углы равны
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам
  • диагонали взаимно перпендикулярны
  • диагонали ромба являются биссектрисами углов

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Биссектриса в четырехугольнике доказательствоБиссектриса в четырехугольнике доказательство

или произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны

Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Соответственно: квадрат обладает свойствами ромба и прямоугольника:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

  • все углы равны 90 градусов
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам
  • диагонали взаимно перпендикулярны
  • диагонали являются биссектрисами углов
  • диагонали равны

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь квадрата равна половине произведения диагоналей.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Видео:Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, тоСкачать

Признак параллелограмма (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то

Биссектриса параллелограмма — свойства, признаки и теоремы

Аксиома параллельности прямых, которая приведена Евклидом в книге «Начала», служит основой для доказательства многих свойств биссектрисы параллелограмма. О них знали пифагорейцы. Но понятие о самой фигуре ввел именно Евклид. Она представляет собой четырехугольник с параллельными противоположными сторонами.

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Равнобедренный треугольник в параллелограмме

Биссектриса параллелограмма может быть проведена из вершины острого или тупого угла фигуры. Доказательство теоремы о равнобедренности образуемых прямой треугольников в этих случаях имеет аналогичный порядок. Чтобы доказать утверждение, нужно знать признак равнобедренности треугольника:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки и отсекает от него равнобедренный треугольник.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Точка пересечения прямых

Согласно свойству, проведенные из смежных углов параллелограмма биссектрисы пересекаются в точке на противоположной стороне, если она в 2 раза больше меньшей. Доказать это утверждение можно следующим способом:

Биссектриса в четырехугольнике доказательство

  • В равнобедренном треугольнике АВО сторона АО является биссектрисой четырехугольника АВСD.
  • Признак равнобедренности предполагает равенство АВ и ВО.
  • Согласно свойству, равенство СО и СD свидетельствует о равнобедренности треугольника СDО.
  • Стороны АВ и СD равны как противолежащие, из чего следует равенство ВО и СО.
  • Поскольку АВ и ВО равны, то ВО = СО, поэтому АВ равна половине ВС, значит большая сторона фигуры в 2 раза превышает величину меньшей.

    Доказательство свойства позволяет предположить, что биссектрисы смежных углов пересекаются внутри либо вне параллелограмма. При этом одна сторона больше или меньше половины другой. Если ее величина больше половины соседней, значит прямые пересекутся внутри фигуры.

    Биссектрисы, проведенные через смежные углы, пересекаются с продолжением противоположных сторон параллелограмма в вершинах ромба. В зависимости от величины другой стороны, ромб совпадает с ним либо обладает большим или меньшим периметром. Если частить с построением этой фигуры, то длины сторон параллелограмма будут бесконечными.

    Видео:Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)Скачать

    Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)

    Свойства односторонних углов

    Параллелограмм АВСД имеет смежные углы при параллельных прямых АВ и СД, обозначенные а1 и а2. Для доказательства теоремы о перпендикулярности биссектрис нужно знать свойства смежных углов, сумма которых равна 180 градусам.

    Поскольку биссектрисы можно провести внутри острого или тупого угла параллелограмма, то величину смежного с ним внешнего угла можно сложить, получив 180 градусов. Если обозначить их через АО и ДЕ, то углы ОАВ и ЕДС будут равны половинам а1 и а2 соответственно. Так как а1 + а2 = 180, то (а1 + а2) / 2 = 90, значит АО и ДЕ образуют прямой угол АКД.

    Биссектриса в четырехугольнике доказательство

    Применять свойство биссектрис можно при нахождении периметра фигуры. Должны быть известны данные о соотношениях или длинах отрезков, образованных при пересечении противолежащей стороны биссектрисой. Например, она делит на отрезки ВК и КС сторону параллелограмма ABCD, величины которых известны.

    Формула определения периметра будет иметь вид: P=2 (n+n+m). Где ВС=BК+КC=n+m, а АВ=ВК=n по свойству биссектрисы. С учетом признака равнобедренности треугольника можно построить эту прямую, дополнив рисунок фигуры без транспортира с помощью циркуля.

    Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

    Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

    Противолежащие углы и биссектрисы

    Согласно свойству параллельных прямых, биссектрисы a и b проходят параллельно друг другу. Они образуют внутри фигуры со сторонами mnkp другой параллелограмм, следовательно, он обладает параллельными противоположными сторонами. Прямые, на которых они лежат, соответствуют сторонам исходной фигуры, поэтому ее биссектрисы a и b являются равными.

    Углы, которые образованы отрезками a и m, а также b и k, согласно свойствам биссектрис и параллелограммов, равны. Противолежащие равные по величине углы, образованные отрезками mp и nk, можно разделить пополам. Прямая b, пересекающая отрезки n и p, образует с ними накрест лежащие углы, признак которых состоит в их равенстве. Они равны разделенным пополам противоположным и являются соответственными при параллельных прямых n и p.

    Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

    Вершины образуемого прямоугольника

    Биссектрисы параллелограмма пересекаются в точках, представляющих собой вершины прямоугольника, что можно доказать следующим образом:

    Биссектриса в четырехугольнике доказательство

  • Согласно исходным данным, параллелограмм ABCД имеет внешние углы, через вершины которых В и С проведены прямые, разделяющие их пополам.
  • Если К, М, Р и О представляют собой точки пересечения биссектрис, исходящей из вершин фигуры, то они образуют четырехугольник.
  • По свойству смежных внутренних углов, образуемых параллельными прямыми и секущей, все стороны четырехугольника КМРО перпендикулярны между собой.
  • Если через середину ВС фигуры провести медиану треугольника ВКС в параллелограмме, то эта точка Х разделит ВС на равные отрезки ВХ и СХ.
  • Отсюда следует равенство углов ХКС, КСХ и КСТ, где Т — это точка, принадлежащая прямой СД.
  • Вывод из доказательства: прямые СД и КХ параллельны.

    Аналогичным способом можно доказать параллельность других сторон прямой СД. Следовательно, диагональ КР образованного биссектрисами параллелограмма прямоугольника КМРО содержит точки Х и Т. Доказательство предполагает следующее равенство: КР = КХ + ХТ + ТР = ХС + СД + ТД = ВС + СД, поэтому величина диагонали равна сумме двух смежных сторон параллелограмма.

    Видео:Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм Определение параллелограммаСкачать

    Задание 25 Доказать, что четырёхугольник параллелограмм  Определение параллелограмма

    Ромб и его диагонали

    Параллелограмм, имеющий биссектрису, которая совпадает с его диагональю, представляет собой ромб. Чтобы доказать это, нужно провести диагональ AC, соединяющую противоположные вершины ABCD. Способ доказательства теоремы основан на равенстве противолежащих углов параллелограмма.

    Биссектриса в четырехугольнике доказательство

    Согласно свойству биссектрисы, отрезок АС делит пополам углы BCD и BAD. Они имеют одинаковую величину, поскольку противоположные углы равны. Диагональ АС — основание треугольников ACB и ACD. Согласно признаку равнобедренности АВ и АС, а также AD и CD, равны между собой. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма AB = CD и AD = BC.

    Фигура ABCD, представляющая собой по условию параллелограмм, имеет равные по величине AB, AD, BC и CD в соответствии с доказательством. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD по определению ромб. В нем биссектриса АС — это его диагональ.

    Видео:63 Четырёхугольник и биссектрисаСкачать

    63 Четырёхугольник и биссектриса

    Примеры решения задач

    Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересеклись в точке на его противолежащей стороне. Зная его меньшую сторону, можно найти большую, а также наоборот. Допустим, что длина меньшей стороны фигуры составляет 5 сантиметров.

    Обозначив вершины фигуры A, B, C, D, а точку на AD буквой Р, достаточно иметь в виду, что AD=AР+РD=AB+CD. Это доказывает признак равенства накрест лежащих углов СВР и АРВ, а также ВСР и СРD при параллельных прямых. Формула для нахождения большей стороны будет иметь вид: AD=2AB=10, поскольку AB = CD. При необходимости найти меньшую можно по формуле: AD=AB/2.

    Биссектриса в четырехугольнике доказательство

    По условию задачи биссектриса, исходящая из острого угла параллелограмма, разделяет его противоположную сторону на отрезки 73 мм и 54 мм, если считать от вершины тупого угла. Требуется вычислить периметр параллелограмма ABCD. Точка Е делит сторону ВС на отрезки заданной длины, поскольку АЕ — биссектриса угла ВАD. Эта прямая представляет собой секущую для параллельных AD и BC.

    Отсекая равнобедренный треугольник АВЕ, биссектриса ВЕ является его основанием, поэтому сторона параллелограмма АВ равна отрезку ВЕ, длина которого по условию 73 мм. В сумме ВЕ и ЕС равны ВС, что составляет 127 мм. Отсюда периметр ABCD соответствует удвоенной сумме его сторон: Р = 2 (73+127) = 400 мм. Чтобы найти большую сторону параллелограмма ABCD при известном периметре 128 мм, можно использовать аналогичное доказательство равнобедренности треугольника.

    По условию соотношение отрезков, образуемых точкой пересечения биссектрисы DЕ с противоположной стороной ВС, равно 4:3, если считать от острого угла при вершине А. Из равенства противоположных сторон ABCD и признака равнобедренного треугольника следует AD=BC=АЕ=4х, а ЕВ=3х, поэтому CD=АЕ+ЕВ=4х+3х=7х. Зная периметр ABCD, можно составить уравнение Р=2 (7х+4х)=128. Отсюда 22х=128, а х=32, поэтому большая сторона параллелограмма CD=32*7=224 мм.

    Видео:Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этотСкачать

    Геометрия Признак ромба Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот

    Please wait.

    Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

    Формула для биссектрисы треугольника

    We are checking your browser. mathvox.ru

    Видео:Биссектриса параллелограммаСкачать

    Биссектриса параллелограмма

    Why do I have to complete a CAPTCHA?

    Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

    Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

    3 свойства биссектрисы #shorts

    What can I do to prevent this in the future?

    If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

    If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

    Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

    Cloudflare Ray ID: 6c5728733e030004 • Your IP : 85.95.179.130 • Performance & security by Cloudflare

    📸 Видео

    8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

    8 класс, 4 урок, Параллелограмм

    Четырёхугольники №17 из ОГЭ. Биссектриса и прямоугольные треугольники в четырёхугольниках.Скачать

    Четырёхугольники №17 из ОГЭ. Биссектриса и прямоугольные треугольники в четырёхугольниках.

    Биссектриса углаСкачать

    Биссектриса угла

    Такого подхода к описанному четырехугольнику, вы еще не виделиСкачать

    Такого подхода к  описанному  четырехугольнику, вы еще не видели

    8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

    8 класс, 3 урок, Четырехугольник

    №400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.Скачать

    №400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

    Свойство биссектрисы внешнего угла треугольникаСкачать

    Свойство биссектрисы внешнего угла треугольника

    Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.Скачать

    Биссектриса угла. Геометрия 7 класс.
  • Поделиться или сохранить к себе: