Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Параллелограмм: свойства и признаки

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

О чем эта статья:

Видео:Геометрия, Биссектриса угла трапеции или параллелограмма образует равнобедренный треугольникСкачать

Геометрия, Биссектриса угла трапеции или параллелограмма образует равнобедренный треугольник

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)Скачать

Биссектриса угла параллелограмма ▶ (Мини-ликбез №5)

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:№133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Биссектриса параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник

Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

Доказать: ∆ ABF — равнобедренный.

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD м секущей AF).

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF.

Что и требовалось доказать.

Хотя равенство сторон AB и BF доказывать не просили, доказательство того, что биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, нужно как раз для обоснования равенства одной стороны и отсеченного отрезка на другой стороне параллелограмма.

Видео:3 свойства биссектрисы #shortsСкачать

3 свойства биссектрисы #shorts

2 Comments

Пункт 3 доказательства на чем основывается.

Свойство транзитивности: из a=b, b=c следует a=c.
Соответственно, из ∠BAF=∠DAF и ∠BFA=∠DAF следует ∠BAF=∠BFA.

Видео:Биссектриса параллелограммаСкачать

Биссектриса параллелограмма

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Решите задачу по данным рисунка.

Поскольку биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, то:

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Также Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Периметр параллелограмма ABCD равен удвоенной сумме сторон AB и BC, поэтому:

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Решите задачу по данным рисунка.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, поэтому:

Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Периметр параллелограмма ABCD равен удвоенной сумме сторон AB и BC, поэтому, зная AB, находим, что BC = 6.

Теперь найдём x:

Ответ: Биссектриса угла четырехугольника отсекает равнобедренный треугольник

Решите задачу по данным рисунка.

Решите задачу по данным рисунка.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, поэтому LCD — равнобедренный, а значит, углы при его основании LD равны 60°, поэтому угол при вершине C тоже равен 60°. Оказалось, что треугольник LCD — равносторонний со стороной 2. Его периметр равен утроенной величине стороны CD, то есть 6.

🔥 Видео

Биссектрисы углов параллелограмма или трапецииСкачать

Биссектрисы углов параллелограмма или трапеции

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Биссектриса в четырехугольникахСкачать

Биссектриса в четырехугольниках

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№13 - Равнобедренный треугольник.)

Биссектриса тупого угла делит противоположную сторону параллелограмма в отношении 4:3Скачать

Биссектриса тупого угла делит противоположную сторону параллелограмма в отношении 4:3

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Биссектриса тупого угла.Математика.Геометрия.Скачать

Биссектриса тупого угла.Математика.Геометрия.

Планиметрия 39-40 | mathus.ru | четырехугольник отсекается от равнобедренного треугольника прямойСкачать

Планиметрия 39-40 | mathus.ru | четырехугольник отсекается от равнобедренного треугольника прямой

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Биссектриса параллелограммаСкачать

Биссектриса параллелограмма

Параллелограмм и биссектрисаСкачать

Параллелограмм и биссектриса

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Равнобедренный треугольникСкачать

Равнобедренный треугольник

БИССЕКТРИСА В ТРАПЕЦИИ. Мат в 3 хода!Скачать

БИССЕКТРИСА В ТРАПЕЦИИ. Мат в 3 хода!
Поделиться или сохранить к себе: