В этом разделе вы найдете готовые задания разного типа по векторному анализу (теории поля):
Примеры: базовые понятия теории поля
Задача 1. Проверить, что поле $f=(3x+y^2)i+2xy j$ потенциально и восстановить потенциал.
Задача 2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля $overline=(3x-y) overline+(6z+5x) overline$
Задача 4. Вычислить потенциальную функцию векторного поля
Поток поля через поверхность
Циркуляция векторного поля
с помощью формулы Стокса и непосредственно (положительным направлением обхода контура считать то, при котором точка перемещается по часовой стрелке, если смотреть из начала координат).
Задача 12. Найти циркуляцию вектора $F$ вдоль ориентированного контура $L$. $$ overline = (3x-1) overline+ (y-x+z)overline+4z overline, $$ $L$ — контур треугольника $ABCA$, где $A,B,C$ точки пересечения плоскости $2x-y-2z+2=0$ соответственно с осями координат $Ox, Oy, Oz$.
Работа векторного поля
Задача 13. Найдите работу векторного поля $A=(2xy-y; x^2+x)$ по перемещению материальной точки вдоль окружности $x^2+y^2=4$ из $M (2; 0)$ в $К(-2; 0)$.
Задача 14. Вычислить работу векторного поля силы $overline = xz overline -overline+y overline$ при движении материальной точки по пути $L: x^2+y^2+z^2=4$, $z=1 (y ge 0)$ от точки $M(sqrt(3);0;1)$ до точки $N(-sqrt(3);0;1)$.
Типовой расчет по теории поля
Задание 15. А) Найти поток векторного поля $F$ через внешнюю поверхность пирамиды, отсекаемой плоскостью $(p)$ двумя способами: непосредственно и по формуле Гаусса-Остроградского. Б) Найти циркуляцию вектора $F$ по контуру треугольника двумя способами: по определению и по формуле Стокса.
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по этой и другим темам математического анализа, обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 150 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области $mathbf < textit > $, не содержащей точку $mathbf < textit > (0,0,0)$. Условие безвихревости поля $bar $:
В нашем поле $P(x,y,z)=frac , Q(x,y,z)=frac ,R(x,y,z)=-frac $. Находим производные:
Если бы мы взяли в качестве точки $mathbf < textit > _ $ другую точку $mathbf < textit > _ $, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную < более точно, на $C=intlimits_ < mathop limits^cup > < bar dbar > )$, поэтому $varphi (x,y,z)= frac +C$.
Далее:
Вычисление двойного интеграла
Критерий полноты . Лемма о нелинейной функции
Определение криволинейного интеграла второго рода
Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$
Критерий полноты . Лемма о несамодвойственной функции
Формулы. Равенство функций и эквивалентность формул. Основные эквивалентности
Теорема об алгоритме распознавания полноты
Логические следствия
Соленоидальное векторное поле
Введение
Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности
