Аксиомы геометрии аксиома параллельных прямых свойства из нее вытекающие (2 видео)

Геометрия. 7 класс

Содержание

Свойства параллельных прямых
Учебная презентация по теме «Аксиома параллельных прямых»
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Оставьте свой комментарий
Подарочные сертификаты
🔍 Видео

Конспект урока

Аксиома параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

Аксиомы и теоремы.
Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
Параллельные и перпендикулярные прямые.
Признаки параллельности прямых.
Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.

Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.

Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».

Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.

Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.

Аксиома параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.

Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║ c, b ║ c.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.

Проведём через точку М прямую c ┴ а.
Затем проведём прямую b ┴ c.
Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.

№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.

Сколько из них пересекает прямую р?

1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.

2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.

Видео:7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

Свойства параллельных прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

С помощью данного видеоурока вы сможете самостоятельно изучить тему «Свойства параллельных прямых». В ходе него вам предстоит параллельные прямые, рассмотреть их свойства, а также сформулировать одну из самых важных аксиом геометрии.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс: Аксиома параллельных прямых. Свойства параллельных прямых.Скачать

Учебная презентация по теме «Аксиома параллельных прямых»

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдёт сюда» Это объясняется тем, что геометрия учит рассуждать и доказывать. Речь человека убедительна, когда он доказывает свои выводы История

Аксиома параллельных прямых * Автор презентации: Лавлинский Максим Викторович

Цели урока: 1. Узнать, что такое аксиома 2. Рассмотреть аксиому параллельных прямых и ее следствия.

Дать определение параллельных прямых Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются a b a||b

Назвать все углы при пересечении двух прямых секущей a b c 1 2 4 3 5 6 8 7 3 и 5, 4 и 6 4 и 5, 3 и 6 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7, Накрест лежащие углы Односторонние углы Соответственные углы

Сформулировать признаки параллельности двух прямых 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны a b c 1 2

Сформулировать признаки параллельности двух прямых 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны a b c 1 2

Сформулировать признаки параллельности двух прямых 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны a b c 1 2 1+2=180

Решить задачу a b c 1 2 4 3 5 6 8 7 Дано: c ∩ a, c ∩ b, 1=30 ,  6 в 5 раз больше 1 Доказать: а||b Решите задачу тремя способами: 30 150 I — вариант II — вариант III — вариант Через накрест лежащие углы Через соответственные углы Через односторонние углы

Практические способы построения параллельных прямых a M b

Мы можем решить такую задачу: через точку, не лежащую на прямой, провести прямую, параллельную данной. А сколько таких прямых можно провести?

a M b Можно ли через т. М провести еще одну прямую , параллельную прямой а ? Нам представляется, что через т.М нельзя провести прямую (отличную от прямой в), параллельную прямой а. Можно ли это утверждение доказать? Может, существует еще одна прямая b´, проходящая через т. М и параллельная прямой а? b´

a M b b´ Называли эту проблему проблемой пятого постулата, потому что в геометрии Евклида это утверждение называлось пятым постулатом, а Евклид жил в III веке до нашей эры. Оказывается, доказать это невозможно, хотя ученые на протяжении многих веков пытались это сделать.

a M b b´ И только наш русский ученый Н.И. Лобачевский, обосновал, что это утверждение не может быть доказано. Значит утверждение, что через т. М нельзя провести прямую (отличную от прямой в), параллельную прямой а — это аксиома.

В геометрии слово «аксиома» вы слышите впервые, но в жизни оно часто употребляется. Какое у него значение?

Теорема Теорема Теорема Теорема А на чём основаны доказательства самых первых теорем геометрии? На аксиомах Утверждениях о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений ( без доказательства) ?

Сначала формулируются исходные положения — аксиомы На их основе, путём логических рассуждений доказываются другие утверждения Такой подход к построению геометрии зародился в глубокой древности и был изложен в сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида 365 – 300 гг. до н.э. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в геометрии Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».

На самом деле, с аксиомами вы уже встречались в I главе и во II главе

Например, аксиомой является утверждение о том, что через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. А В

Сравнение двух отрезков вы проводили с помощью наложения одного отрезка на другой. Возможность такого наложение вытекает из следующей аксиомы: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. AB=CD

Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один

Обо всех аксиомах планиметрии вы можете прочитать в конце учебника в приложении 1.

Аксиома параллельных прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

У этой аксиомы есть следствия 1о и 2о. Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. 2.Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. а в М с Доказательство: Предположим, что прямая с не пересекает прямую в, значит, с в. Тогда через т.М проходят две прямые а и с параллельные прямой в. 3. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, прямая с пересекает прямую в. а в с Доказательство: Предположим, что прямая а и прямая в пересекаются. 2. Тогда через т.М проходят две прямые а и в параллельные прямой с 3 . Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. 4. Значит прямые а и в параллельны. Способ рассуждения, который называется методом доказательства от противного

Цель последующих уроков – научиться использовать аксиому параллельных прямых при изучении свойств прямых и при решении задач.

Домашнее задание: 1. П. 27, 28, 2. № 196, 198

Решение задач Задача №1 Через точку, не лежащую на данной прямой p , проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую p ? Рассмотрите все возможные случаи. А р Задача №2 Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые АВ и ВС пересекают прямую р. А В С р

Спасибо за внимание!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 966 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 339 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Лавлинский Максим ВикторовичНаписать 3730 16.12.2018

Номер материала: ДБ-306915

16.12.2018 165

16.12.2018 171

16.12.2018 241

16.12.2018 579

30.10.2018 160

28.10.2018 809

22.08.2018 155

22.08.2018 527

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России разработают рекомендации по сопровождению студентов с ОВЗ

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

Правительство направит регионам почти 92 миллиарда рублей на ремонт и оснащение школ

Время чтения: 1 минута

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.