9 10 площадь четырехугольника

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Содержание
  1. Через диагонали и угол между ними
  2. Через стороны и противолежащие углы
  3. Площадь вписанного четырехугольника в окружность
  4. Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
  5. Площади четырехугольников
  6. Формулы для площадей четырехугольников
  7. Вывод формул для площадей четырехугольников
  8. Площадь четырехугольника
  9. Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними
  10. Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами
  11. Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты
  12. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность
  13. Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними
  14. Таблица с формулами площади четырехугольника
  15. Площадь частных случаев четырехугольников
  16. Определения
  17. 💡 Видео

Через диагонали и угол между ними

9 10 площадь четырехугольника

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

9 10 площадь четырехугольника

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

9 10 площадь четырехугольника

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

9 10 площадь четырехугольника

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Видео:№1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а уголСкачать

№1023. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол

Площади четырехугольников

9 10 площадь четырехугольникаФормулы для площадей четырехугольников
9 10 площадь четырехугольникаВывод формул для площадей четырехугольников
9 10 площадь четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

9 10 площадь четырехугольника

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

9 10 площадь четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

9 10 площадь четырехугольника

a и b – основания,
h – высота

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

9 10 площадь четырехугольника

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

9 10 площадь четырехугольника,
9 10 площадь четырехугольника

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
Прямоугольник9 10 площадь четырехугольникаS = ab
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Параллелограмм9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Квадрат9 10 площадь четырехугольникаS = a 2
9 10 площадь четырехугольникаS = 4r 2
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Ромб9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Трапеция9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольникаS = m h
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Дельтоид9 10 площадь четырехугольникаS = ab sin φ
9 10 площадь четырехугольника9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник9 10 площадь четырехугольника
Вписанный четырёхугольник9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

9 10 площадь четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

9 10 площадь четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

9 10 площадь четырехугольника,
9 10 площадь четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Параллелограмм
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Квадрат
9 10 площадь четырехугольникаS = a 2

где
a – сторона квадрата

9 10 площадь четырехугольникаS = 4r 2

9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Ромб
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Трапеция
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Дельтоид
9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

9 10 площадь четырехугольника
9 10 площадь четырехугольника
Произвольный выпуклый четырёхугольник
9 10 площадь четырехугольника
Вписанный четырёхугольник
9 10 площадь четырехугольника
Прямоугольник
9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – смежные стороны

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

9 10 площадь четырехугольника

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм9 10 площадь четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат9 10 площадь четырехугольника

где
a – сторона квадрата

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб9 10 площадь четырехугольника

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

9 10 площадь четырехугольника

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – основания,
h – высота

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,
9 10 площадь четырехугольника

Дельтоид9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b .

9 10 площадь четырехугольника

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

Произвольный выпуклый четырёхугольник9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Видео:№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 смСкачать

№517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA =15 см

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

9 10 площадь четырехугольника

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

9 10 площадь четырехугольника

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

9 10 площадь четырехугольника,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

9 10 площадь четырехугольника,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

9 10 площадь четырехугольника

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,
9 10 площадь четырехугольника
(рис.6).

9 10 площадь четырехугольника

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника

9 10 площадь четырехугольника,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

9 10 площадь четырехугольника

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

9 10 площадь четырехугольника

Видео:Периметр прямоугольника равен 28, диагональ равна 10. Найти площадь прямоугольникаСкачать

Периметр прямоугольника равен 28, диагональ равна 10. Найти площадь прямоугольника

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

9 10 площадь четырехугольника

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Площадь четырехугольникаСкачать

Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

9 10 площадь четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Площадь четырёхугольника через диагонали

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

9 10 площадь четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Видео:Задача, которую исключили из экзамена в АмерикеСкачать

Задача, которую исключили из экзамена в Америке

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

9 10 площадь четырехугольника

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Видео:Рабинович Е. М. Геометрия 7-9 классы. Таблица 9.10 "Площадь четырёхугольника".Скачать

Рабинович Е. М. Геометрия 7-9 классы. Таблица 9.10 "Площадь четырёхугольника".

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные
(активная ссылка для перехода к калькулятору)
эскизформула
1диагональ и угол между ними9 10 площадь четырехугольника
2стороны и углы между этими сторонами9 10 площадь четырехугольника
3стороны
(по Формуле Брахмагупты)
9 10 площадь четырехугольника
4стороны и радиус вписанной окружности9 10 площадь четырехугольника
5стороны и углы между ними9 10 площадь четырехугольника

Видео:№495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:Скачать

№495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

💡 Видео

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭ

№ 1023 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 1023 - Геометрия 7-9 класс Атанасян

Найти площадь четырехугольника ABCD. Геометрия 9 класс. Примеры заданий итоговой аттестации (ДПА).Скачать

Найти площадь четырехугольника ABCD. Геометрия 9 класс. Примеры заданий итоговой аттестации (ДПА).

Площадь четырёхугольника #shortsСкачать

Площадь четырёхугольника #shorts

Олимпиадная математика ➜ Найдите площадь четырёхугольника на рисункеСкачать

Олимпиадная математика ➜ Найдите площадь четырёхугольника на рисунке

Как найти площадь четырёхугольника #математика #огэ #shortsСкачать

Как найти площадь четырёхугольника #математика #огэ #shorts
Поделиться или сохранить к себе: