15 градусов по окружности

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

15 градусов по окружностиСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • 15 градусов по окружности

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Синус, косинус и тангенс угла 15 градусов

    15 градусов по окружности

    Как найти значения тригонометрических функций для угла 15 градусов

    Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 15 градусов аналитическим способом.
    На первый взгляд, нахождение значений синуса, косинуса и тангенса для угла 15 градусов — задача сложная. Однако, это не совсем так.
    Нам на помощь придут формулы преобразования двойного угла тригонометрических функций.

    Дело в том, что мы можем представить угол в 30 градусов, как двойной угол 15 градусов ( 2 * 15 ).

    Тогда, отталкиваясь от тождества:
    cos 2α = 1 — 2sin 2 α

    Принимаем двойной угол как 2 * 15 градусов, тогда
    cos 30 = 1 — 2sin 2 15
    sin 2 15 = ( 1 — cos 30 ) / 2

    Значение косинуса для угла 30 градусов легко вычислить. Оно равно √3/2
    sin 2 15 = ( 1 — √3/2 ) / 2
    sin 15 = √ (( 1 — √3/2 ) / 2 )
    верхнюю часть дроби под корнем приведем к общему знаменателю (2)
    sin 15 = √ (( (2 — √3) /2 ) / 2 ) = √( (2 — √3) / 4 )
    теперь у нас одна дробь под знаком корня. Умножим числитель и знаменатель на два
    sin 15 = √( (2 — √3) / 4 ) = √( (4 — 2√3) / 8 )
    самый интересный момент, мы можем представить 4 — 2√3 как (√3-1) 2
    тогда
    sin 15 = √( (√3-1) 2 / 8 ) = (√3-1)/ √8 = (√3-1)/ (2√2)

    путем несложных агебраических преобразований получаем:

    15 градусов по окружности

    Как видно из примера, значения тригонометрических функций углов синуса, косинуса и тангенса 15 градусов могут быть получены путем несложных тригонометрических преобразований с использованием тригонометрических тождеств преобразований двойных углов и половин заданных углов.

    См. также полную таблицу значений тригонометрических функций (таблицу синусов, косинусов и тангенсов).

    Ниже приведены также значения тригонометрических функций для угла 15 градусов в виде десятичной дроби с четырьмя знаками после запятой.

    💥 Видео

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

    Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

    Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать

    Формулы приведения с нуля за 15 минут!

    8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

    8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1Скачать

    Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

    Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

    Построение углов заданной градусной мерыСкачать

    Построение углов заданной градусной меры

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

    Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

    Как найти, чему равен cos 15 градусов? Тригонометрия 10 класс. Подробное решениеСкачать

    Как найти, чему равен cos 15 градусов? Тригонометрия 10 класс. Подробное решение

    18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

    18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

    Классный способ для разметки любого угла без транспортира.Скачать

    Классный способ для разметки любого угла без транспортира.

    1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

    1 2 4  сопряжение окружностей

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

    ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    Измерение угла с помощью транспортираСкачать

    Измерение угла с помощью транспортира

    Скрытые возможности обычного угольника! А вы их знали?Скачать

    Скрытые возможности обычного угольника! А вы их знали?

    №155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30'.Скачать

    №155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30'.
    Поделиться или сохранить к себе: