Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука «геометрия» от греческих слов «геос» — земля и «метрио» — измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие — теорема Пифагора.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность — вписанная, а треугольник — описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Видео:Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено — она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) — это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника — периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Прямоугольный треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Произвольный треугольник
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Прямоугольный треугольник
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник
Произвольный треугольник
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Видео:Построение равностронего треугольника.Скачать

Построение равностронего треугольника.

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник– полупериметр (рис. 6).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Как поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.Скачать

Как  поделить окружность на 3 равные части. Очень просто. Уроки черчения.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Геометрия К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 смСкачать

Геометрия К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Если в задача дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, в ее решении могут быть использованы свойства касательных и свойство биссектрисы треугольника.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Поскольку в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с медианой и высотой, то центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности лежит на высоте и медиане, проведенных к основанию .

Рассмотрим две задачи на вписанную в равнобедренный треугольник окружность.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M, — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

OF=r. Пусть CO=x см, тогда

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольникДано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

CF — высота, CO:OF=5:4, AC

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник1) Рассмотрим ∆ ACF — прямоугольный (так как CF — высота треугольника по условию).

Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис.

По свойству биссектрисы треугольника,

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Как построить вписанную окружность в равнобедренный треугольник

Пусть k — коэффициент пропорциональности, тогда AC=5k см, AF=4k см, AB=2AF=8k см.

Следовательно, AC=BC=5∙5=25 см, AB=8∙5=40 см.

🎥 Видео

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит однуСкачать

№691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну

ЕГЭ Математика Задание 6#27935Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27935

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать

Построить окружность, описанную около треугольника

№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольникаСкачать

№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника

Геометрия - Построение правильного треугольникаСкачать

Геометрия - Построение правильного треугольника

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведеннуюСкачать

Геометрия Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведенную

Геометрия Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковыхСкачать

Геометрия Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых
Поделиться или сохранить к себе: