Проблема собственных чисел играет существенную роль не только в линейной алгебре, но и в других разделах математики, а также во многих прикладных областях (в менеджменте, психологии, юриспруденции).
Пусть задана квадратная матрица А размера (n X п), элементами которой являются действительные числа (R) и вектор неизвестных X размера (n X 1):
Предположим, что X — это некоторое неизвестное действительное число.
Если X и ненулевой вектор X удовлетворяют уравнению
то X называется собственным числом или собственным значением матрицы А, а X — собственным вектором этой же матрицы, соответствующим X.
Преобразуем уравнение (2.15) к следующему виду:
где Е — единичная матрица.
Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать
называется характеристической матрицей.
Так как по условию вектор неизвестных X не равен нулю, то среди его координат х , х2, . хп должна быть хотя бы одна ненулевая. А для того, чтобы система линейных однородных уравнений (2.16) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю (это следует из теоремы Кронекера-Капелли).
Число X = Xfc, где к = 1, п будет собственным числом только в том случае, если матрица (ХкЕ -А) — вырожденная.
Уравнение (2.17) называется характеристическим уравнением матрицы А и представляет собой алгебраическое уравнение степени п относительно X:
Уравнение (2.18) имеет п корней Xv Х2, Хп. Множество всех корней уравнения (2.18) называется спектром матрицы А.
Заметим, что уравнение det (А — ХЕ) = 0 имеет те же корни, что и уравнение (2.17), т. е.
Каждому собственному значению спектра матрицы А ставится в соответствие собственный вектор, определенный с точностью до скалярного множителя. Если Хк есть кратный корень характеристического уравнения, то для произвольной квадратной матрицы число соответствующих собственных векторов может быть не равно кратности корня. С геометрической точки зрения собственный вектор определяет в пространстве некоторое направление (прямую, проходящую через начало координат), которое в результате преобразования не изменяется и вдоль которого пространство испытывает растяжение или сжатие в X раз.
Полином Х п + р^” -1 + . + рп = 0 называют характеристическим полиномом. Коэффициенты рк (k = 1, п) можно вычислить по следующим рекуррентным формулам [57]:
Здесь SpA = S акк — след матрицы (сумма элементов, стоя-
Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать
щих на главной диагонали матрицы А). Заметим, что р = (-1)” X X det А. При отыскании собственных чисел даже для матриц невысокого порядка неизбежно большое количество вычислений. Для общего случая нельзя предложить оптимальный способ нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы.
Рассмотрим случай, когда собственные числа находятся сразу исходя из вида матрицы (исходная матрица либо диагональная, либо верхняя или нижняя треугольная). В этом случае собственные числа 2. п совпадают с элементами главной диагонали исходной матрицы ап, а22. апп.
Пусть задана верхняя треугольная матрица А размера (n X п):
Отсюда видно, что собственные числа равны:
С появлением ЭВМ получили распространение итерационные методы нахождения собственных чисел, которые не используют вычисление характеристического полинома. К этим способам относятся: степенной метод, метод обратных итераций, QR-алгоритм, метод вращений Якоби, QL-алгоритм и др. Причем применение конкретного итерационного метода зависит от вида исходной матрицы А [4].
Теперь рассмотрим конкретные примеры.
Пример 2.8. Дана матрица А размера (3 X 3)
Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.
Из условия задачи видно, что матрица А является верхней треугольной матрицей. Поэтому собственными числами данной матрицы будут элементы ее главной диагонали
Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать
Теперь найдем соответствующие найденным собственным числам собственные векторы. Для этого мы используем уравнение (2.16).
Для Х1 = -4 получаем
Далее раскроем матричное уравнение (2.20)
В результате получим
Так как матрица этой системы вырождена, то она имеет ненулевые решения, которые имеют вид:
т. е. получены искомые собственные вектора для Для Х2 = Х3 = 1 получаем
ил*
В результате получаем
т. е. это уравнение имеет ненулевые решения, которые и будут искомыми собственными векторами для 2.
Эти решения запишем в виде
Пример 2.9. Дана матрица А размера (2 X 2). Найти собственные числа и собственные матрицы А
Запишем характеристическое уравнение (2.17) для данного случая
Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать
Теперь найдем собственные векторы исходной матрицы А, соответствующие .1 = 1 и Х2 = -4.
В подробной записи получим
Так как определитель полученной матрицы равен нулю, то она имеет ненулевые решения, которые и являются собственными векторами Xv которые мы и находим
Из первого уравнения системы получаем х2 = 2xv Из второго уравнения системы получаем х2 = 2xv т. е. она имеет бесконечное множество решений. И искомый собственный вектор Xj будет иметь вид
Аналогично, для Х2 = -4 находим
В заключение приведем два полезных правила [38]:
1) сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы, т. е.
2) произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы
Кратко рассмотрим квадратичные формы.
Видео:Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать
Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких пременных. Обозначим их xv х2, . х .
Квадратичную форму в общем виде можно записать так:
В качестве примера рассмотрим квадратичную форму трех переменных:
Введем обозначения:
Тогда квадратичная форма примет вид
Дополнительно вводим симметричную матрицу В, вектор X.
В этом случае квадратичная форма примет вид
Последняя формула представляет собой матрично-векторный вид квадратичной формы.
А в общем случае получим:
где Ь..— коэффициенты при х 2 для всех i = 1, 2, n, a b’j = Ц< равны полусуммам коэффициентов при элементах, содержащих произведения х. х. и х. х< при всех г, j = 1, 2,п, г ^ j.
Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать
Матрица В является матрицей квадратичной формы.
В качестве примера запишем в матрично-векторном виде квадратичную форму
В данном случае получаем:
Матрица данной квадратичной формы принимает вид А ее матрично-векторная запись такова:
🔍 Видео
7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать
Собственные значения и собственные векторыСкачать
Собственные числа, собственные, присоединенные векторы. Матрица оператора в базисе...Скачать
Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать
Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать
Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать
Собственные векторы и собственные значенияСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Высшая математика. Собственные векторы значения. Векторы. Векторное скалярное произведение. ПределыСкачать
Образ, ядро, собственные векторы линейного оператораСкачать
7.1 Характеристический многочлен. Собственные векторы и подпространства IСкачать
Собственные значения матрицыСкачать
Собственные числа матрицыСкачать
Собственные векторы, собственные числа. Многочлены и делимость. Аффинные преобразования. Группы.Скачать