Значение которое находится в собственном векторе не равно

Собственные числа, собственные векторы матриц и квадратичные формы

Проблема собственных чисел играет существенную роль не только в линейной алгебре, но и в других разделах математики, а также во многих прикладных областях (в менеджменте, психологии, юриспруденции).

Пусть задана квадратная матрица А размера (n X п), элементами которой являются действительные числа (R) и вектор неизвестных X размера (n X 1):

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Предположим, что X — это некоторое неизвестное действительное число.

Если X и ненулевой вектор X удовлетворяют уравнению

Значение которое находится в собственном векторе не равно

то X называется собственным числом или собственным значением матрицы А, а X — собственным вектором этой же матрицы, соответствующим X.

Преобразуем уравнение (2.15) к следующему виду:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

где Е — единичная матрица.

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Собственные векторы и собственные значения матрицы

называется характеристической матрицей.

Так как по условию вектор неизвестных X не равен нулю, то среди его координат х , х2, . хп должна быть хотя бы одна ненулевая. А для того, чтобы система линейных однородных уравнений (2.16) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю (это следует из теоремы Кронекера-Капелли).

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Число X = Xfc, где к = 1, п будет собственным числом только в том случае, если матрица (ХкЕ -А) — вырожденная.

Уравнение (2.17) называется характеристическим уравнением матрицы А и представляет собой алгебраическое уравнение степени п относительно X:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Уравнение (2.18) имеет п корней Xv Х2, Хп. Множество всех корней уравнения (2.18) называется спектром матрицы А.

Заметим, что уравнение det (А — ХЕ) = 0 имеет те же корни, что и уравнение (2.17), т. е.

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Каждому собственному значению спектра матрицы А ставится в соответствие собственный вектор, определенный с точностью до скалярного множителя. Если Хк есть кратный корень характеристического уравнения, то для произвольной квадратной матрицы число соответствующих собственных векторов может быть не равно кратности корня. С геометрической точки зрения собственный вектор определяет в пространстве некоторое направление (прямую, проходящую через начало координат), которое в результате преобразования не изменяется и вдоль которого пространство испытывает растяжение или сжатие в X раз.

Полином Х п + р^” -1 + . + рп = 0 называют характеристическим полиномом. Коэффициенты рк (k = 1, п) можно вычислить по следующим рекуррентным формулам [57]:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Здесь SpA = S акк — след матрицы (сумма элементов, стоя-

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

щих на главной диагонали матрицы А). Заметим, что р = (-1)” X X det А. При отыскании собственных чисел даже для матриц невысокого порядка неизбежно большое количество вычислений. Для общего случая нельзя предложить оптимальный способ нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы.

Рассмотрим случай, когда собственные числа находятся сразу исходя из вида матрицы (исходная матрица либо диагональная, либо верхняя или нижняя треугольная). В этом случае собственные числа 2. п совпадают с элементами главной диагонали исходной матрицы ап, а22. апп.

Пусть задана верхняя треугольная матрица А размера (n X п):

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Отсюда видно, что собственные числа равны:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

С появлением ЭВМ получили распространение итерационные методы нахождения собственных чисел, которые не используют вычисление характеристического полинома. К этим способам относятся: степенной метод, метод обратных итераций, QR-алгоритм, метод вращений Якоби, QL-алгоритм и др. Причем применение конкретного итерационного метода зависит от вида исходной матрицы А [4].

Теперь рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2.8. Дана матрица А размера (3 X 3)

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Из условия задачи видно, что матрица А является верхней треугольной матрицей. Поэтому собственными числами данной матрицы будут элементы ее главной диагонали

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)

Теперь найдем соответствующие найденным собственным числам собственные векторы. Для этого мы используем уравнение (2.16).

Для Х1 = -4 получаем Значение которое находится в собственном векторе не равно

Далее раскроем матричное уравнение (2.20)

Значение которое находится в собственном векторе не равно

В результате получим

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Так как матрица этой системы вырождена, то она имеет ненулевые решения, которые имеют вид:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

т. е. получены искомые собственные вектора для Для Х2 = Х3 = 1 получаем

ил* Значение которое находится в собственном векторе не равно

В результате получаем

Значение которое находится в собственном векторе не равно

т. е. это уравнение имеет ненулевые решения, которые и будут искомыми собственными векторами для 2.

Эти решения запишем в виде

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Пример 2.9. Дана матрица А размера (2 X 2). Найти собственные числа и собственные матрицы А

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Запишем характеристическое уравнение (2.17) для данного случая Значение которое находится в собственном векторе не равно

Видео:Собственные значения и собственные векторы. ТемаСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Тема

Теперь найдем собственные векторы исходной матрицы А, соответствующие .1 = 1 и Х2 = -4.

Значение которое находится в собственном векторе не равно

В подробной записи получим

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Так как определитель полученной матрицы равен нулю, то она имеет ненулевые решения, которые и являются собственными векторами Xv которые мы и находим

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Из первого уравнения системы получаем х2 = 2xv Из второго уравнения системы получаем х2 = 2xv т. е. она имеет бесконечное множество решений. И искомый собственный вектор Xj будет иметь вид

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Аналогично, для Х2 = -4 находим

Значение которое находится в собственном векторе не равно

В заключение приведем два полезных правила [38]:

1) сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы, т. е.

Значение которое находится в собственном векторе не равно

2) произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Кратко рассмотрим квадратичные формы.

Видео:Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать

Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10

Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких пременных. Обозначим их xv х2, . х .

Квадратичную форму в общем виде можно записать так:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

В качестве примера рассмотрим квадратичную форму трех переменных:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Введем обозначения: Значение которое находится в собственном векторе не равно

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Тогда квадратичная форма примет вид

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Дополнительно вводим симметричную матрицу В, вектор X.

Значение которое находится в собственном векторе не равно

В этом случае квадратичная форма примет вид

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Последняя формула представляет собой матрично-векторный вид квадратичной формы.

А в общем случае получим:

Значение которое находится в собственном векторе не равно

Значение которое находится в собственном векторе не равно

где Ь..— коэффициенты при х 2 для всех i = 1, 2, n, a b’j = Ц< равны полусуммам коэффициентов при элементах, содержащих произведения х. х. и х. х< при всех г, j = 1, 2,п, г ^ j.

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицы

Матрица В является матрицей квадратичной формы.

В качестве примера запишем в матрично-векторном виде квадратичную форму

Значение которое находится в собственном векторе не равно

В данном случае получаем: Значение которое находится в собственном векторе не равно

Матрица данной квадратичной формы принимает вид Значение которое находится в собственном векторе не равноА ее матрично-векторная запись такова:


источники:

🔍 Видео

7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

7 4  Собственные векторы и собственные значения

Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные значения и собственные векторы

Собственные числа, собственные, присоединенные векторы. Матрица оператора в базисе...Скачать

Собственные числа, собственные, присоединенные векторы. Матрица оператора в базисе...

Собственные значения и собственные векторы. ПримерСкачать

Собственные значения и собственные векторы. Пример

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСкачать

Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные векторы и собственные значения

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Высшая математика. Собственные векторы значения. Векторы. Векторное скалярное произведение. ПределыСкачать

Высшая математика. Собственные векторы значения. Векторы. Векторное скалярное произведение. Пределы

Образ, ядро, собственные векторы линейного оператораСкачать

Образ, ядро, собственные векторы линейного оператора

7.1 Характеристический многочлен. Собственные векторы и подпространства IСкачать

7.1 Характеристический многочлен.  Собственные векторы и подпространства I

Собственные значения матрицыСкачать

Собственные значения матрицы

Собственные числа матрицыСкачать

Собственные числа матрицы

Собственные векторы, собственные числа. Многочлены и делимость. Аффинные преобразования. Группы.Скачать

Собственные векторы, собственные числа. Многочлены и делимость. Аффинные преобразования. Группы.
Поделиться или сохранить к себе: