Из колоды, содержащей 36 карт, случайно выбирают одну карту; затем наугад выбирают еще одну карту из другой такой же колоды. Найти вероятность того, что будет выбранo2 карты разной масти
Из колоды, содержащей 36 карт, случайно выбирают одну карту; затем наугад выбирают еще одну карту из этой же колоды. Найти вероятность того, что будет выбрано 2 карты одной масти
Известно, что высказывания a и b — истинны, ac— ложно. Определить истинность высказываний 
и 
второе высказывание — ложно, первое высказывание — истинно
Какие из приведенных ниже дифференциальных уравнений являются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка
, 
Какие из приведенных ниже дифференциальных уравнений являются уравнением Бернулли
, 
Знакомимся с вектором
Основы линейной алгебры для тех, кого это миновало в универе.
Вы наверняка слышали много историй о программистах, которые учились в технических вузах, изучали высшую математику и теперь пользуются этими знаниями в программировании. И если кого-то это не коснулось, может быть ощущение, что он пропустил в жизни что-то важное.
Будем это исправлять. Попробуем разобрать некоторые базовые понятия из математики за пределами школьной программы. И заодно покажем, как оно связано с программированием и для каких задач полезно.
⚠️ Математики, помогайте. Мы тут многое упростили, поэтому будем рады увидеть ваши уточнения и замечания в комментариях.
Линейная алгебра
Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта. И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства.
Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.
Например, мы знаем, что если a + b = c , то a = c − b . Мы не знаем, что стоит на местах a, b или c, но для нас это такой абстрактный закон, который подтверждается практикой.
Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра.
В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения.
Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать.
Что такое вектор
Вы наверняка помните вектор из школьной программы — это такая стрелочка. Она направлена в пространство и измеряется двумя параметрами: длиной и направлением. Пока длина и направление не меняются, вектор может перемещаться в пространстве.
Физическое представление вектора: есть длина, направление и нет начальной точки отсчёта. Такой вектор можно как угодно двигать в пространстве
У аналитиков вектор представляется в виде упорядоченного списка чисел: это может быть любая информация, которую можно измерить и последовательно записать. Для примера возьмём рынок недвижимости, который нужно проанализировать по площади и цене домов — получаем вектор, где первая цифра отвечает за площадь, а вторая — за цену. Аналогично можно сортировать любые данные.
Аналитическое представление вектора: данные можно перевести в числа
Математики обобщают оба подхода и считают вектор одновременно стрелкой и числом — это связанные понятия, перетекающие друг в друга в зависимости от задачи. В одних случаях удобней считать, а в других — показать всё графически. В обоих случаях перед нами вектор.
Математическое представление вектора: данные можно перевести в числа или график
В дата-сайенс используется математическое представление вектора — программист может обработать данные и визуализировать результат. В отличие от физического представления, стрелки векторов в математике привязаны к системе координат Х и У — они не блуждают в пространстве, а исходят из нулевой точки.
Векторная система координат с базовыми осями Х и Y. Место их пересечения — начало координат и корень любого вектора. Засечки на осях — это отрезки одной длины, которые мы будем использовать для определения векторных координат
👉 Получается, вектор – это такой способ записывать, хранить и обрабатывать не одно число, а какое-то организованное множество чисел. Благодаря векторам мы можем представить это множество как единый объект и изучать его взаимодействие с другими объектами.
Например, можно взять много векторов с ценами на недвижимость, как-то их проанализировать, усреднить и обучить на них алгоритм. Без векторов это были бы просто «рассыпанные» данные, а с векторами — порядок.
Как записывать
Вектор можно записать в строку или в столбец. Для строчной записи вектор обозначают одной буквой, ставят над ней черту, открывают круглые скобки и через запятую записывают координаты вектора. Для записи в столбец координаты вектора нужно взять в круглые или квадратные скобки — допустим любой вариант.
Строгий порядок записи делает так, что каждый набор чисел создаёт только один вектор, а каждый вектор ассоциируется только с одним набором чисел. Это значит, что если у нас есть координаты вектора, то мы их не сможем перепутать.
Способы записи вектора
Скаляр
Помимо понятия вектора есть понятие скаляра. Скаляр — это просто одно число. Можно сказать, что скаляр — это вектор, который состоит из одной координаты.
Помните физику? Есть скалярные величины и есть векторные. Скалярные как бы описывают просто состояние, например, температуру. Векторные величины ещё и описывают направление.
Как изображать
Вектор из одного числа (скаляр) отображается в виде точки на числовой прямой.
Графическое представление скаляра. Записывается в круглых скобках
Вектор из двух чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х и Y. Числа задают координаты вектора в пространстве — это такая инструкция, по которой нужно перемещаться от хвоста к стрелке вектора. Первое число показывает расстояние, которое нужно пройти вдоль оси Х; второе — расстояние по оси Y. Положительные числа на оси Х обозначают движение вправо; отрицательные — влево. Положительные числа на оси Y — идём вверх; отрицательные — вниз.
Представим вектор с числами −5 и 4. Для поиска нужной точки нам необходимо пройти влево пять шагов по оси Х, а затем подняться на четыре этажа по оси Y.
Графическое представление числового вектора в двух измерениях
Вектор из трёх чисел отображается в виде точки на плоскости осей Х, Y и Z. Ось Z проводится перпендикулярно осям Х и У — это трёхмерное измерение, где вектор с упорядоченным триплетом чисел: первые два числа указывают на движение по осям Х и У, третье — куда нужно двигаться вдоль оси Z. Каждый триплет создаёт уникальный вектор в пространстве, а у каждого вектора есть только один триплет.
Если вектор состоит из четырёх и более чисел, то в теории он строится по похожему принципу: вы берёте координаты, строите N-мерное пространство и находите нужную точку. Это сложно представить и для обучения не понадобится.
Графическое представление числового вектора в трёх измерениях. Для примера мы взяли координаты −5, 2, 4
Помните, что все эти записи и изображения с точки зрения алгебры не имеют отношения к нашему реальному трёхмерному пространству. Вектор — это просто какое-то количество абстрактных чисел, собранных в строгом порядке. Вектору неважно, сколько там чисел и как их изображают люди. Мы же их изображаем просто для наглядности и удобства.
Например, в векторе спокойно может быть 99 координат. Для его изображения нам понадобилось бы 99 измерений, что очень проблематично на бумаге. Но с точки зрения вектора это не проблема: перемножать и складывать векторы из двух координат можно так же, как и векторы из 9999999 координат, принципы те же.
И зачем нам это всё
Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например:
- На основании векторов получаются матрицы. Если вектор — это как бы линия, то матрица — это как бы плоскость или таблица.
- Машинное обучение в своей основе — это перемножение матриц. У тебя есть матрица с данными, которые машина знает сейчас; и тебе нужно эту матрицу «дообучить». Ты умножаешь существующую матрицу на какую-то другую матрицу и получаешь новую матрицу. Делаешь так много раз по определённым законам, и у тебя обученная модель, которую на бытовом языке называют искусственным интеллектом.
Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте.
И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.
Что дальше
В следующий раз разберём операции с векторами. Пока мы готовим материал — рекомендуем почитать интервью с Анастасией Никулиной. Анастасия ведёт ютуб-канал по дата-сайнс и работает сеньором дата-сайентистом в Росбанке.
Векторная форма записи общего решения неоднородной системы уравнений
Общее решение неоднородной системы уравнений АХ = В равняется сумме частного решения этой системы К и линейной комбинации решений фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы уравнений АХ = 0, т.е.
где К — какое-либо решение неоднородной системы уравнений АХ= В:
FvF2, . Fk — фундаментальная система решений однородной системы уравнений АХ = 0;
1. Подставим X = К + F1tl + F2t2+ . + Fktk в уравнение АХ = В, получим 
так как векторы Fv /у, . /у являются решениями однородной системы АХ = 0.
Следовательно, X является решением системы АХ = В.
2. Покажем, что любое решение уравнения АХ = В имеет вид
Пусть К — некоторое частное решение уравнения АХ = B,L — любое другое решение этого же уравнения. Разность этих решений (L — К) является решением однородного уравнения АХ = 0. Действительно, A(L — К) = AL — АК = В — В = 0. Поэтому L — К является линейной комбинацией векторов-решений фундаментальной системы однородной системы уравнений, т.е.
Отсюда 
Пример 4.2. Найти и записать в векторном виде общее решение системы уравнений 
Решение. Приводим исходную систему уравнений к равносильной разрешенной системе уравнений. Последовательность вычислений приведена в таблице.
В результате получаем
В качестве частного решения этой системы уравнений можно взять ее базисное решение. Полагаем х3 = х4 = х5 = 0, получаем х = 2,
Найдем фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений
Находим три линейно независимых частных решения этой системы. Задавая свободным неизвестным значения х3 = 1, х4 = 0, х5 = О, находим х = 4, х2 = 1. Имеем частное решение /у = (-4, 1, 1, 0, 0). Задавая свободным неизвестным значения х., = 0, х4 = 1, х = 0, находим значения х = -4, х2 = -3. Имеем частное решение F2 = (-4, -3, 0, 1, 0). Задавая свободным неизвестным значения х., = 0, х4 = 0, х = 1 находим х< = -5, х2 = -1. Имеем частное решение F3 = (-5, -1, 0, 0, 1). Данные вычисления удобно записать в виде таблицы.