Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же хорду.
Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R. Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается. Тем самым, он равен 30°.
Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°. Треугольник AOB является равносторонним, т. к. AO = OB = AB = R, поэтому угол AOB = 60°. Тогда
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
Центральные и вписанные углы
О чем эта статья:
Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
Центральный угол и вписанный угол
Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.
Определение центрального угла:
Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF
Определение вписанного угла:
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.
На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Свойства центральных и вписанных углов
Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.
- Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:
Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.
- Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:
- Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:
ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.
- Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:
ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.
Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:
На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.
Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.
- Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.
AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.
- Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.
ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.
- Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.
ㄥBAC + ㄥBDC = 180°
Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать
Примеры решения задач
Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.
Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?
Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°
Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.
Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°
Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?
СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°
Видео:Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать
Задачи по математике на тему «Центральные и вписанные углы» (8 класс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Задачи на тему «Центральные и вписанные углы»
1. AC и BD — диаметры окружности с центром O . Угол ACB равен 18°. Найдите угол AOD . Ответ дайте в градусах.
2. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 17. Найдите , если
3.
Точка О — центр окружности, ∠ AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).
4.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O . Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB Найдите угол ACB , если угол AOB равен 47°. Ответ дайте в градусах
5. В угол C величиной 140° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B , точка O — центр окружности. Найдите угол AOB . Ответ дайте в градусах.
6.
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что ∠ NBA = 44°. Найдите угол NMB . Ответ дайте в градусах.
7.
В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 112°. Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах.
8. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 13. Найдите , если
9. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC , угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD .
10.
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.
11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 1, tg A = . Найдите AB .
12. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 48. Найдите длину большей дуги.
13. В угол C величиной 84° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B , точка O — центр окружности. Найдите угол AOB . Ответ дайте в градусах.
14. AC и BD — диаметры окружности с центром O . Угол ACB равен 74°. Найдите угол AOD . Ответ дайте в градусах.
15.
Центр окружности, описанной около треугольника ABC , лежит на стороне AB . Найдите угол ABC , если угол BAC равен 24°. Ответ дайте в градусах.
🎥 Видео
Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать
8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 1Скачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Геометрия 8 класс : Решение задач на центральные и вписанные углыСкачать
ОГЭ 2018. Задание 17. Окружность. Центральный и вписанный угол.Скачать
Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать
Вписанные углы в окружностиСкачать
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ . §9 геометрия 8 классСкачать
Урок 2. Центральные и вписанные углы. Окружность| Решение задачСкачать
8 класс. Решаем задачи на центральные и вписанные углы | Часть 2Скачать
Геометрия 8 класс. Центральный и вписанный уголСкачать
Вписанный угол / Окружность / задача из ЕГЭ #27870Скачать
8кл.Вписанный угол.стандартные задачи(найти величину вписанного угла по дуге и наоборот)Скачать
Вписанные и центральные углыСкачать
Центральные и вписанные углыСкачать