Построение центра гомотетии для двух окружностей (4 видео)

Метод гомотетии

При решении задач на построение методом гомотетии следует иметь в виду следующее.

1. В качестве центра гомотетии можно выбрать любую точку плоскости, но практически удачный выбор центра гомотетии ведет к упрощению построений. Целесообразный выбор центра гомотетии, приводящий к наиболее простому и быстрому решению задачи, зависит от условий и требований задачи. Следует заметить, что нередко за центр гомотетии принимают одну из вершин вспомогательной фигуры или один из концов линейного элемента (отрезка) вспомогательной фигуры, соответственного данному. Например, для построения равнобедренного треугольника ВАС по углу при вершине А и радиусу R описанной окружности строят вспомогательный, подобный искомому, равнобедренный треугольник В’А’С с углом при вершине А, а затем, принимая центр окружности, описанной около треугольника В’А’С’,

за центр гомотетии и полагая к = —, преобразуют его в искомый.

2. Отношение сумм (разностей) соответственных линейных элементов двух подобных фигур равно отношению их сходственных (соответственных) линейных элементов и равно коэффициенту гомотетии к (например, периметры подобных треугольников относятся, как их соответственные стороны). При решении задач это отношение обычно и принимается за коэффициент гомотетии. Площади двух подобных фигур относятся, как квадраты их соответственных элементов.

Перейдем к решению задач.

Задача 6.29. Построить ромб по отношению диагоналей т : п и высоте h.

Анализ. Допустим, что ромб ABCD построен: АС : BD = т : п и EF = h (рис. 6.30). Замечаем, что по свойству ромба: 1) АО : OD = т : п;

2) ZAOD = 90° и 3) OF = —. По условиям 1) и 2) строим ДА’0’D’, гомотетичный ДАОП. Приняв точку О за центр гомотетии и отношение (h : h‘) (h’ — это длина отрезка OF) за коэффициент гомотетии, построим ДAOD, а затем и искомый ромб.

Рис. 6.30 96

Построение. По первым двум условиям строим треугольник А’О’В’,

подобный искомому, и строим его высоту ОТ’ = —, сходственную

высоте искомого треугольника AOD. Вершину О принимаем за центр гомотетии и полагаем коэффициент

В установленной гомотетии преобразуем треугольник A’O’D’ в искомый треугольник AOD, для чего на луче ОТ’ строим отрезок ОТ = — и через точку F проводим прямую, параллельную A’D’; получаем AAOD. Достраиваем AAOD до ромба, для чего строим ОС = ОА, OB = OD и соединяем отрезками прямых точки А с В, В с С и С с D; ABCD — искомый ромб. Доказательство. Так как AAOD

= т : п и ZAOD = 90°. Высота OF = Следовательно, АС : DB =АО : DO =

— т : п, EF — h, т.е. ABCD — искомый ромб.

Исследование. Решение задачи единственное, так как всякий другой ромб A₁B-_lC₁D_b удовлетворяющий условию задачи, должен быть подобным построенному и должно выполняться соотношение

но так как = h, то А,!»! = AD и, следовательно, ромб AjBjC^, равен ромбу ABCD. Значит, задача имеет единственное решение.

Задача 6.30. В данный круговой сегмент вписать квадрат ABCD так, чтобы его вершины А и В лежали на основании сегмента, а вершины D и С — на дуге его.

Анализ. Пусть ABCD — искомый квадрат (рис. 6.31). Построим вспомогательный квадрат A’B’C’D’ так, чтобы он был расположен с данным сегментом по одну сторону относительно основания сегмента и вершины его лежали бы на основании сегмента симметрично относительно его середины F. Тогда гомотетия с центром F и коэффициентом FB FA

k = преобразует A’B’C’D’ в искомый квадрат ABCD.

Построение. Строим середину F основания сегмента, затем отрезки FA’ = FB’. По одну сторону с данным сегментом относительно его основания строим квадрат A’B’C’D’ со стороной, равной А’В’. Преобразуем построенный квадрат A’B’C’D’ с помощью гомотетии с центром

в точке F и коэффициентом к = —-. При этом преобразовании получим

Доказательство. Квадрат ABCD — искомый, что следует из свойств гомотетии.

Исследование. Задача имеет единственное решение, если дуга

сегмента не превышает — всей окружности. Задача не имеет решения, если дуга сегмента больше ^ окружности.

Задача 6.31. В данный выпуклый четырехугольник ABCD вписать ромб так, чтобы его стороны были параллельны диагоналям данного четырехугольника.

Анализ. Предположим, что PQMN — искомый ромб (рис. 6.32). Примем точку А за центр гомотетии, а произвольное действительное число к * 0 (например, 0 2 .

Содержание

Применение геометрических преобразований к решению задач
ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Гомотетия
🎥 Видео

Видео:Гомотетия. Коэффициент гомотетии. Центр гомотетии. Гомотетичные фигуры. Геометрия 8-9 классСкачать

Применение геометрических преобразований к решению задач

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Ученики 10 класса хорошо знакомы, а ученики 9 класса уже познакомились с такими геометрическими преобразованиями плоскости как поворот вокруг некоторой точки на заданный угол, параллельный перенос, осевая и центральная симметрии. Наша задача: сделать небольшой шаг за рамки школьного учебника и изучить еще несколько замечательных преобразований плоскости. Начнем мы с гомотетии.

Определение 1. Гомотетией с центром в точке М0 и коэффициентом k называется правило, по которому каждая точка М отображается в точку М’, и при этом выполняется условие:

(1).

Две фигуры назовем гомотетичными, если одна может быть получена и другой с помощью некоторой гомотетии.

Рассмотрим примеры гомотетии с различными коэффициентами.

На первом рисунке построен образ треугольника АВС при гомотетии с коэффициентом 2, а на втором – приведен пример гомотетии с коэффициентом -2. Наблюдательный читатель сразу заметит, что на обоих чертежах изображены пары подобных треугольников. Причем в обоих случаях коэффициент подобия равен 2. Кроме того, хорошо видно, что соответствующие стороны треугольника АВС и треугольника А’В’С’ – попарно параллельны.

Сформулируем основные свойства гомотетии.

Свойство 1. При гомотетии точка отображается в точку, отрезок в отрезок, а прямая в прямую.

Свойство 2. Гомотетия сохраняет принадлежность объектов (инцидентность). Другими словами, если точка принадлежит некоторой фигуре, то ее образ будет принадлежать образу этой фигуры, и наоборот.

Свойство 3. Гомотетия сохраняет параллельность. То есть, две параллельные прямые отображаются в две параллельные прямые.

Свойство 4. Гомотетия прямую отображает в параллельную ей прямую.

Рассмотрим важное следствие их этих свойств.

Следствие 1. Гомотетия любую фигуру отображает в подобную ей, причем коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии.

Доказательство. Достаточно показать, что это утверждение выполняется для треугольников. (Используем следующий признак подобия: два треугольника подобны, если соответственные углы у них равны.)

Равенство соответственных углов вытекает из свойства 4. Действительно, соответственные стороны исходного треугольника и его образа попарно параллельны, а это приводит к равенству углов.

Построение центра гомотетии для двух окружностей

Осталось доказать, что коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии. Рассмотрим чертеж на рисунке 3. Из определения гомотетии следует, что

(2).

Из этого, по свойству пропорциональных отрезков, следует, что АВ параллельна А’В’, откуда вытекает, что треугольники М0АВ и М0А’В’ подобны, так как у них пропорциональны длины сторон, прилежащих к общему (или вертикальным, если k

Видео:ГомотетияСкачать

Гомотетия

Гомотетия — это преобразование, при котором каждой точке A ставится в соответствие точка A1, лежащая на прямой OA, по правилу

где k — постоянное, отличное от нуля число, O — фиксированная точка.

Точка O называется центром гомотетии, число k — коэффициентом гомотетии.

гомотетия с коэффициентом k>0

Чтобы построить четырёхугольник, гомотетичный 4-угольнику ABCD с центром гомотетии в точке O и коэффициентом k, k>0, нужно провести лучи с началом в точке O, проходящие через вершины A, B, C, D, отложить на них отрезки соответствующей длины: