Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.

а) Докажите, что Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

б) Найдите KN, если Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеа радиус окружности равен 12.

a) Равные дуги стягивают равны хорды; вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Поэтому достаточно доказать, что Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеПусть угол КВС равен α. Сумма острых углов прямоугольного треугольника BНC равна 90°, поэтому Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеЦентральный угол ВОА в два раза больше вписанного угла ВСА, опирающегося на ту же дугу АВ, поэтому Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеНаконец, треугольник BОА равнобедренный, поскольку AO = OB как радиусы окружности, поэтому каждый из равных углов при его основании АВ равен Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеИтак, Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонепоэтому Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеТребуемое доказано.

б) Заметим, что Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеТогда:

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Далее, Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонекак угол, опирающийся на диаметр. Диаметр равен удвоенному радиусу: Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеТогда Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонекак катет, лежащий против угла в 30° в прямоугольном треугольнике BKN.

Ответ: Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Примечание Евгения Обухова (Москва).

Пункт а) это известный факт о том, что при изогональном сопряжении ортоцентр переходит в центр описанной окружности.

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимающийся в математическом кружке или посещающий факультатив по математике, узнает в задаче стандартную конструкцию: радиус описанной окружности и высоту, проведенные из одной вершины треугольника. Эти отрезки переходят друг в друга при симметрии относительно биссектрисы треугольника, исходящей из той же вершины. Поскольку при такой симметрии стороны угла также переходят в друг друга, угол КВС переходит в угол ABN. Отсюда и следует равенство хорд AN и СК.

Прямые, проходящие через вершину угла и симметричные относительно биссектрисы этого угла, называются изогональными. Материалы для занятия со школьниками по данной теме можно взять, например, в статье Д. Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники».

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Видео:Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать

Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С  и касается прямой AB в

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеСерединный перпендикуляр к отрезку
Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеОкружность описанная около треугольника
Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Видео:найти угол треугольника вписанного в окружность с центром на сторонеСкачать

найти угол треугольника вписанного в окружность с центром на стороне

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Остроугольный треугольник окружность с центром на сторонеВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОстроугольный треугольник окружность с центром на сторонеОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник окружность с центром на сторонеЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОстроугольный треугольник окружность с центром на сторонеЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОстроугольный треугольник окружность с центром на стороне
Площадь треугольникаОстроугольный треугольник окружность с центром на стороне
Радиус описанной окружностиОстроугольный треугольник окружность с центром на стороне
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности
Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Для любого треугольника справедливо равенство:

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскостиСкачать

2034 треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O точки O и C лежат в одной полуплоскости

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Остроугольный треугольник окружность с центром на стороне

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

🔥 Видео

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O Угол BAC равен 32°Скачать

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O  Угол BAC равен 32°

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Окружность с центром в точке O описана ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Окружность с центром в точке O описана ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаютсяСкачать

2184 касательная в точках A и B к окружности с центром О пересекаются

Задание 24 Треугольник ОкружностьСкачать

Задание 24 Треугольник Окружность

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Окружность описана около равнобедренного треугольника. Найти центральный уголСкачать

Окружность описана около равнобедренного треугольника.  Найти центральный угол

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник
Поделиться или сохранить к себе: