Задачи с хордой и окружностью огэ

Материалы составлены из заданий Образовательного портала для подготовки к экзаменам СДАМ ГИА Дмитрия Гущина. В работе подобраны прототипы Задания№10 Окружность, круг и их элементы для подготовки к ОГЭ по математике 9 класс модуль»Геометрия» по теме «Касательная, хорда, секущая, радиус». Перед решением этих задач необходимо повторить понятия касательной, секущей, хорды и их свойств, понятия радиуса и диаметра. Повторить теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника.

Просмотр содержимого документа
«Задания для подготовки к ОГЭ по теме «Касательная, хорда, секущая, радиус.»»

Задание №10. Касательная, хорда, секущая, радиус.

К окруж­но­сти с цен­тром в точке О прове­де­ны касательная AB и секу­щая AO. Най­ди­те радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

К окруж­но­сти с цен­тром в точке О прове­де­ны касательная AB и секу­щая AO. Най­ди­те радиус окружности, если AB = 14 см, AO = 50 см.

Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с центром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду AC в точке D и перпенди­ку­ля­рен ей. Най­ди­те длину хорды AC, если BD = 1 см, а ради­ус окруж­ности равен 5 см.

Ра­ди­ус OB окруж­но­сти с центром в точке O пе­ре­се­ка­ет хорду MN в её середи­не — точке K. Най­ди­те длину хорды MN, если KB = 1 см, а ра­ди­ус окруж­но­сти равен 13 см.

Длина хорды окруж­но­сти равна 72, а расстояние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 27. Най­ди­те диа­метр окружности.

Длина хорды окруж­но­сти равна 96, а расстояние от цен­тра окруж­но­сти до этой хорды равно 20. Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окруж­но­сти. Хорда KM образует с касательной угол, рав­ный 83°. Най­ди­те величи­ну угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образу­ет с ка­са­тель­ной угол, равный 60°. Найди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окруж­но­сти. Хорда KM образу­ет с ка­са­тель­ной угол, равный 79°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в гра­ду­сах.

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружно­сти. Най­ди­те длину хорды CD, если AB = 20, а рас­сто­я­ния от цен­тра окружно­сти до хорд AB и CD равны соответ­ствен­но 24 и 10.

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружно­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 12, CD = 16, а рас­сто­я­ние от центра окруж­но­сти до хорды AB равно 8.

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружно­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а рас­сто­я­ние от центра окруж­но­сти до хорды AB равно 12.

От­рез­ки AB и CD яв­ля­ют­ся хор­да­ми окружно­сти. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды CD, если AB = 24 , CD = 32, а рас­сто­я­ние от цен­тра окружности до хорды AB равно 16.

От­ре­зок AB = 40 ка­са­ет­ся окруж­но­сти радиу­са 75 с цен­тромO в точке B. Окружность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­дите AD.

От­ре­зок AB = 48 ка­са­ет­ся окруж­но­сти радиу­са 14 с цен­тромO в точке B. Окружность пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AO в точке D. Най­ди­те AD.

На от­рез­ке AB вы­бра­на точка C так, что AC = 75 и BC = 10. По­стро­е­на окружность с цен­тром A, про­хо­дя­щая через C. Най­ди­те длину от­рез­ка касательной, про­ведённой из точки B к этой окруж­но­сти.

Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.

Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 6.

Задачи с хордой и окружностью огэ

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD·2 = 6.

Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.

Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол AOB — центральный и равен 60° Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом,

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30 , BC = Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем:

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники AOH и HOB, они прямоугольные, OH — общая, AO и OB равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда По теореме Пифагора найдём радиус окружности:

Диаметр равен двум радиусам, следовательно,

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Определение окружности

• Отрезки в окружности

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.