Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧ

Задача № 1. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; ∠BOC = 120°; AB = 9 см. Найти: AC.

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Задача № 2. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; ∠CAD = 30°; AC = 12 см. Найти: PAOB.

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Задача № 3. Дано: ABCD — прямоугольник; BM — биссектриса угла B; AM = MD; BC = 12 см. Найти: PABCD.

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Задача № 4. Дано: ABCD — прямоугольник; BK — биссектриса ∠DBC; BD — биссектриса ∠ABK; DL ∥ BK; KC = 3 см. Найти: PDLBK.

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Задача № 5. Дано: ABCD — прямоугольник; AC ∩ BD = 0; расстояние от точки О до АВ на 4 см больше расстояния от точки О до AD; PABCD = 56 см. Найти: AB; BC; CD; AD.

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ по теме Прямоугольники». Выберите дальнейшие действия:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

  • 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • 2. Все углы прямоугольника прямые.
  • 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
  • 4. Диагонали прямоугольника равны.
  • 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность
Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность.(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность. Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьв (2), получим:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Ответ: Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

( small R=frac )(3)

Подставляя (3) в (2), получим:

( small R=frac<large sqrt> )(4)

Пример 2. Стороны прямоугольника равны Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьв (4), получим:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность
Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Ответ: Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность. Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьв (5), получим:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Ответ: Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(6)
Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(8)
Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьЗадачи о вписанном прямоугольнике в окружность(11)

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac

>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность, а периметр равен Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность, Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьв (11):

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Подставляя значения Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьи Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьв первую формулу (12), получим:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьи Задачи о вписанном прямоугольнике в окружностьв формулу, получим:

Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Ответ: Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность, Задачи о вписанном прямоугольнике в окружность

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

📽️ Видео

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. ЗадачаСкачать

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Задача

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.Скачать

Задача.Окружность и прямоугольник вписаны в квадрат.

Все окружности в №16 с нуля. Вписанные и центральные углы. Вписанный прямоугольник.Скачать

Все окружности в №16 с нуля. Вписанные и центральные углы.  Вписанный прямоугольник.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Три окружности в прямоугольнике.Скачать

Три окружности в прямоугольнике.

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Как найти центр круга #2Скачать

Как найти центр круга #2
Поделиться или сохранить к себе: