Задачи на вписанный треугольник в окружность огэ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на вписанную и описанную окружность при подготовке к ОГЭ.

Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и угол АВС = 28 0 . Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.

Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность , и радиусом этой окружности, проведённым в одну из вершин стороны, равен 75 0 . Найдите n .

АС и BD -диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 69 0 . Найдите угол АО D . Ответ дайте в градусах.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 21 0 и 43 0 . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник АВС D вписан в окружность. Угол АВС равен 128 0 , угол CAD равен 78 0 . Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Стороны четырёхугольника АВС D AB , BC , CD и AD стягивают дуги описанной окружности , градусные величины которых равны соответственно 63 0 , 62 0 , 90 0 , 145 0 . Найдите угол В этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол А четырёхугольника АВС D , вписанного в окружность , равен 92 0 . Найдите угол С этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол С треугольника АВС, вписанного в окружность радиуса 12, равен 30 0 . Найдите сторону АВ этого треугольника.

Сторона АВ треугольника АВС равна11. Противолежащий её угол С равен 30 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Около окружности, радиус которой равен 16 , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанного около этого квадрата.

Периметр четырёхугольника , описанного около окружности . равен 56, две его стороны равен 17 и 22. найдите большую из оставшихся сторон.

В четырёхугольник АВС D вписана окружность , АВ =49, CD = 47. Найдите периметр четырёхугольника.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 120. Найдите её среднюю линию.

около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 96, средняя линия равна 16. Найдите боковую сторону трапеции.

Сторона ромба равна 34 , острый угол равен 60 0 . Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.

Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность , радиус которой равен 40.

Окружность , вписанная в равнобедренный треугольник , делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 25 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

В треугольнике АВС ВС=, угол С равен 90 0 . Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 8,5. Найдите АС.

Сторона правильного треугольника равна 36. Найдите радиус окружности , описанной около этого треугольника.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 954 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Как решать задания на окружность ОГЭ 2021? / Разбор всех видов окружностей на ОГЭ по математикеСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 505 706 материалов в базе

Другие материалы

• 30.06.2017
• 1023
• 12

• 30.06.2017
• 2147
• 0

• 30.06.2017
• 391
• 0

• 30.06.2017
• 2161
• 10

• 30.06.2017
• 676
• 0

• 30.06.2017
• 430
• 3

• 30.06.2017
• 251
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 30.06.2017 8961
• DOCX 15.1 кбайт
• 316 скачиваний
• Рейтинг: 3 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Коровятская Наталья Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 4 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 14563
• Всего материалов: 7

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:16 задача ОГЭ: четырёхугольник, вписанный в окружность; подобные треугольникиСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили создать в школах «ящики доверия» для обращений к психологу

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения намерено решить вопрос с третьей сменой в школах в 2023 году

Время чтения: 1 минута

Школы Пскова перевели на дистанционное обучение

Время чтения: 2 минуты

Школы Северной Осетии переведут на дистанционное обучение

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор заявил о возможности переноса сроков проведения досрочного периода ГИА

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать

Вписанные треугольники в окружность огэ

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Треугольник вписанный в окружность

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Видео:ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:ОГЭ по математике. Треугольник вписан в окружность . (Вар. 4) √ 17 модуль геометрия ОГЭСкачать

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Видео:Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Вписанные треугольники в окружность огэ

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Приведем решение Артура Ахметьянова.

Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO = OC как радиусы окружности, тогда

Видео:ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

Задание №16 ОГЭ по математике

В 16 задании ОГЭ по математике необходимо решить простую задачу по геометрии. Для успешного решения необходимо обладать базовыми знаниями по геометрии вообще, так как сложно выделить какую-то одну тему, по которой даны задания. Это относится ко всему модулю геометрии. Я рекомендую повторить понятия центральные и вписанные углы, свойства касательных к окружности, взаимосвязь между радиусом описанной или вписанной окружности в геометрические фигуры — в первую очередь прямоугольный треугольник и квадрат.

Теория к заданию №16

Несмотря на то, что в задании №16 могут потребоваться любые знания по геометрии, в данном разделе мы разберем теорию по теме «окружность».

Начнем рассмотрение с понятия вписанная окружность:

1. Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.
2. Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d

Длинна окружности и площадь: Касательная и секущая:

• Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
• Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

Описанная окружность и её свойства:

1. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
3. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.
4. Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

• Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
• В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.
• Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:

Центральный и вписанный углы:

Ниже я разобрал три различных примера 10 задания. Если у вас остались пожелания, или вы хотите разобрать задачу, которой здесь нет, напишите об этом в комментарии.

Внимательно посмотрим на рисунок. Угол ABC опирается на дугу ADC, а угол CAD — на дугу DC. Угол, который нам необходимо найти — ABD, опирается на дугу AD — которая является частью дуги ADC за вычетом дуги DC. Значит, угол ABD равен разности углов ABC и CAD:

∠ABD = 92 — 60 = 32

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Во-первых, касательные равны между собой по длине, а значит треугольник с основанием AB равнобедренный. Угол при вершине этого треугольника равен 2 градуса по условию, значит углы при основании равны:

Во-вторых, касательные перпендикулярны радиусу, то есть угол между ними и радиусом равен 90 градусов.

Заметим, что угол ABO, который необходимо найти, является частью угла между касательной и радиусом, а именно за вычетом угла, который мы нашли в первом пункте. Значит, этот угол равен:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для решения необходимо вспомнить, что центр описанной около прямоугольного треугольника окружности расположен в середине гипотенузы. То есть гипотенуза является диаметром, а её половина — радиусом.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу AB:

AB² = BC² + AC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

Гипотенуза равна 20, значит радиус — 10.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Для решения данной задачи необходимо провести радиус окружности к точке начала хорды:

Получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза c — радиус и равна 13 см, b — расстояние до хорды — 5 см. По теореме Пифагора находим катет a: a² + b² = c² a² = c² — b² = 13² — 5² = 169 — 25 = 144 Откуда а = √144 = 12 Но а — лишь половина хорды, поэтому вся

Хорда — длинный эластичный продольный тяж у хордовых животных; осевой скелет их предковых и некоторых современных форм. Тянется вдоль тела ниже центральной нервной системы и выше полости тела.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Сторона АВ треуг-ка АСВ является диаметром окружности. Это означает, что угол АСВ опирается на диаметр. Тогда угол АСВ равен 90 0 , и, следовательно, ∆АСВ прямоугольный. Если ∆АСВ прямоугольный, то для нахождения одной из его сторон можно применить т.Пифагора. По т.Пифагора

АС 2 +ВС 2 =АВ 2 (1)

По условию АС=16, радиус окружности R=10. Если R=10, то АВ=2R=2·10=20. Тогда из (1) получим: Ответ: 12

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Поскольку вершина О угла АОВ лежит в центре окружности, значит, этот угол центральный. А если так, то он равен величине дуги АВ. Т.е. ᴗАВ=113 0 . Угол АСВ является вписанным. Следовательно, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Из рисунка видно, что оба угла (АОВ и АСВ) опираются на одну и ту же дугу. Т.к. ᴗАВ=113 0 , то угол АСВ равен

0,5 · ᴗАВ = 0,5 · 113 0 = 56,5 0 .

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Радиус вписанной в квадрат окружности равен 22 √ 2 . Найти диагональ этого квадрата.

Для начала надо сделать построения на чертеже, чтобы увидеть, как располагаются известные и неизвестные элементы и чем они еще могут являться на чертеже.

Обозначим диагональ АВ, точкой О – центр окружности, С – один из углов квадрата. Покажем расстояние от центра окружности до стороны квадрата – радиус r. Если радиус равен 22 √ 2 , то сторона квадрата будет в два раза больше, т.е. 44 √ 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, который является равнобедренным (так как по условию дан квадрат) и боковые стороны равны по 44 √ 2 . Нам надо найти диагональ, т.е. гипотенузу данного треугольника. Вспомним, что для нахождения гипотенузы равнобедренного треугольника есть формула с=а √ 2 , где с – гипотенуза, а – катет. Подставим в неё наши данные:

с=44 √ 2 × √ 2 =44 √ 4 =44 × 2=88

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

🔥 Видео

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность вписана в равносторонний треугольник.Скачать

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задача 26 Треугольник в окружностиСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

Задание 16 (В1) ОГЭ по математике ▶ №11 (Минутка ОГЭ)Скачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать