Задачи на углы при параллельных прямых пересеченных секущей

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Урок-практикум по геометрии в 7-м классе «Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей»

Разделы: Математика

Цели урока: (Слайд №1)
Образовательные: закрепление умений использовать знания признаков, свойств углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, научить видеть различные способы при решении одной задачи.
Воспитательные: воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.
Развивающие: развитие логического мышления учащихся, внимания, активности, чувство ответственности, самостоятельности, культуры общения.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний учащихся.
Организационные формы: парная, дифференцированно групповая.
Технология: уровневая дифференциация.
Структура урока:

• вводное слово учителя
• самостоятельная работа групп №2, №3
• актуализация знаний учащихся группы №1
  1. диктант
  2. тест
• самостоятельная работа группы №1
• защита у доски работ группами №2, №3

К данному уроку прилагается презентация (Приложение 1)

Ход урока:
Вводное слово учителя
Многие великие люди всех времен и народов говорили о значении математики. Не только ученые — математики, но и поэты, писатели, философы. Высказывание одного великого мыслителя: «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» Леонардо да Винчи (слайд №2).
Предметом исследования нашего урока будут углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей. Задачей нашего урока является обобщение и систематизация ваших знаний по данной теме.
В ходе групповой, парной, самопроверки вы еще раз закрепите знания свойств углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей (слайд №3).

Организация работы групп

• класс делится на 3 группы по уровню их обученности
• каждая группа получает определенные задания

1. группа №3 — уровень «4-5». Решают по 3 задачи с последующей защитой у доски.
   Выполняют в тетрадях и сдают учителю.

   Задания для групп с уровнем обученности «4-5»

   Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

   

   Геометрия. 7 класс

   Конспект урока

   Свойства параллельных прямых

   Перечень рассматриваемых вопросов:

   • Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
   • Доказательство свойств параллельных прямых и их применение при решении задач.
   • Формулирование теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами.

   Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

   Утверждение, обратное данной теореме– это утверждение, в котором условие является заключением теоремы, а заключение – условием теоремы.

   1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
   1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
   2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
   3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
   4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
   5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

   Теоретический материал для самостоятельного изучения.

   Ранее мы узнали и научились применять признаки параллельности прямых.

   Рассмотрим утверждения, обратные к теоремам, выражающим признаки параллельности двух прямых.

   В любой теореме есть две части: условие (это то, что дано)и заключение (это то, что требуется доказать).

   Утверждением, обратным данному, называется утверждение, в котором условием является заключение, а заключением – условие.

   Итак, вспомним один из признаков параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны (это условие), то прямые параллельны (заключение).

   

   Сформулируем и докажем обратное утверждение.

   Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы,образованные этими прямыми и секущей,равны.

   ∠1 и ∠2 – накрест лежащие.

   Доказательство:( метод от противного):

   

   Отложим ∠PMN =∠2 (накрест лежащие) → МР║b→ через точку М проходит 2 параллельные прямые прямой b (МР║b– доказательство;a║b– условие).→∠1=∠2.

   Это противоречит теореме о единственности прямой параллельной данной и проходящей через точку.

   Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

   

   С пересекает а, значит, и пересекает параллельную ей прямую b(по следствию из аксиомы параллельных прямых).→ с – секущая к прямым а и b→∠1 = ∠2 = 90° (по только что доказанному свойству параллельных прямых).→ с ┴ b.

   Что и требовалось доказать.

   Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны(это условие), то прямые параллельны(заключение).

   

   Сформулируем и докажем обратное утверждение

   Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.

   

   Дано:

   Доказать:

   По условию a║b→∠1 = ∠3 (накрест лежащие углы). → ∠2 = ∠3 (вертикальные углы).

   Значит, ∠1 = ∠2, что и требовалось доказать.

   Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180° (условие), то прямые параллельны (заключение).

   

   Сформулируем и докажем обратное утверждение.

   Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180°.

   

   Дано:a║b,

   Доказать:

   По условию a║b→∠1=∠2 ‑соответственные углы, (в силу предыдущей теоремы).

   ∠2+∠4=180° (по свойству смежных углов).

   → ∠1+∠4= 180°,что и требовалось доказать.

   Материал для углубленного изучения темы.

   Задача на доказательство.

   Прямая m пересекает параллельные прямые а и b в точках А и В. Прямая р, проходящая через середину отрезка АВ, точку О, пересекает прямые а и b в точках С и D.

   Докажем, что ОС=ОD.

   По условию дано: а ║b, рՈа= А, рՈb = В, mՈа = D, mՈb = C.

   Доказать: ОС = ОD.

   Доказательство: рассмотрим, образовавшиеся при построении, треугольники AOD и BOC. Они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.к. АО=ВО (О– середина отрезка АВ по условию); ∠1=∠2(накрест лежащие углы); ∠3=∠4 (вертикальные углы). →Все элементы равных треугольников соответственно равны → ОС=ОD. Что и требовалось доказать.

   

   Разбор заданий тренировочного модуля.

   1. Три прямых а,р,с пересечены прямой k, при этом образуются соответственные углы: ∠1= 30°,∠2 = 40°,∠3= 30°,как показано на рисунке. Какие из прямых параллельны?

   

   На рисунке изображены прямые а, р, с, которые пересечены секущей k. При этом углы 1,2,3 соответственные. По условию: ∠3= ∠1= 30°,∠2 ≠ ∠1,∠2 ≠ ∠3.

   Следовательно, прямые а и р параллельные, прямые а и с, р и с не параллельные(по свойствам параллельных прямых).

   2. На рисунке прямые а║b, при этомMO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ, если сумма углов в треугольнике равна 180°?

   

   По условию а║b→∠М+∠Е=180° (по теореме о параллельных прямых об односторонних углах). Т.к. MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е →∠М = 2∠ОМЕ,

   ∠М+∠Е =2∠ОМЕ +2∠МЕО =180°.

   По условию сумма углов в треугольнике равна 180° → в ∆МОЕ.

   📺 Видео

   Углы при параллельных прямых и секущей. ОГЭ/ЕГЭ (часть 1)Скачать

   

   Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

   

   №203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

   

   УГЛЫ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ И СЕКУЩЕЙСкачать

   

   №201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210Скачать

   

   Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

   

   Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Решение задач.Скачать

   

   Свойства углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей Задачи на признаки параллельностСкачать

   

   ГЕОМЕТРИЯ 7 класс : Соответственные, односторонние и накрест лежащие углыСкачать

   

   Пары углов в геометрииСкачать

   

   29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

   

   СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ, параллельные прямые линии, секущая .Скачать

   

   Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

   

   решение задач на параллельность прямыхСкачать

   

   Углы при пересечении двух прямых секущей. Свойства и признаки параллельности прямых.Скачать

   

   Свойства параллельных прямых и секущей. 4 задачи.Скачать

   

   Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.Скачать