Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Видео:Орт вектора. Нормировать вектор. Найти единичный векторСкачать

Орт вектора.  Нормировать вектор.  Найти единичный вектор

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Видео:Единичный векторСкачать

Единичный вектор

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = и b ¯ = записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = и b ¯ = условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать

Векторное произведение векторов | Высшая математика

Ортогональный и ортонормированный базисы евклидова пространства

Так как евклидово пространство является линейным, на него переносятся все понятия и свойства, относящиеся к линейному пространству, в частности, понятия базиса и размерности.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортогональным , если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

Базис [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] евклидова пространства называется ортонормированным , если его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице:

Теорема 8.5. В конечномерном евклидовом пространстве любую систему ортогональных (ортонормированных) векторов можно дополнить до ортогонального (ортонормированного) базиса.

В самом деле, по теореме 8.2 любую систему линейно независимых векторов, в частности, ортогональную (ортонормированную), можно дополнить до базиса. Применяя к этому базису процесс ортогонализации, получаем ортогональный базис. Нормируя векторы этого базиса (см. пункт 4 замечаний 8.11), получаем ортонормированный базис.

Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1

Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей

Пусть [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] — базис евклидова пространства, в котором векторы [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] имеют координаты [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math] и [math]y_1,y_2,ldots,y_n[/math] соответственно, т.е.

Выразим скалярное произведение, используя следствие 3 из аксиом скалярного произведения:

Преобразуем это выражение, используя операции с матрицами:

y=begin y_1&cdots& y_n end^T[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] , a [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] — квадратная симметрическая матрица, составленная из скалярных произведений

которая называется матрицей Грама системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] .

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Преимущества ортонормированного базиса

Для ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] формула (8.32) упрощается, так как из условия (8.31) следует, что матрица Грама [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)[/math] ортонормированной системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] равна единичной матрице: [math]G(mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_n)=E[/math] .

1. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] находится по формуле: [math]langle mathbf,mathbfrangle= x_1y_1+x_2y_2+ldots+x_ny_n[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] , а [math]y_1,ldots,y_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

2. В ортонормированном базисе [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n[/math] длина вектора [math]mathbf[/math] вычисляется по формуле [math]|mathbf|= sqrt[/math] , где [math]x_1,ldots,x_n[/math] — координаты вектора [math]mathbf[/math] .

3. Координаты [math]x_1,ldots,x_n[/math] вектора [math]mathbf[/math] относительно ортонормированного базиса [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_n[/math] находятся при помощи скалярного произведения по формулам: [math]x_1=langle mathbf,mathbf_1rangle,ldots, x_n=langle mathbf,mathbf_nrangle[/math] .

В самом деле, умножая обе части равенства [math]mathbf= x_1 mathbf_1+ldots+x_n mathbf_n[/math] на [math]mathbf_1[/math] , получаем

Аналогично доказываются остальные формулы.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^=S^T[/math] .

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

Свойства определителя Грама

Определитель матрицы (8.33) называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det<G (mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

3. Определитель квадратной матрицы [math]A[/math] (n-го порядка) удовлетворяет неравенству Адамара :

Действительно, обозначив [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] столбцы матрицы [math]A[/math] , элементы матрицы [math]A^TA[/math] можно представить как скалярные произведения (8.27): [math]langle a_i,a_jrangle= (a_i)^Ta_j[/math] . Тогда [math]A^TA=G(a_1,a_2,ldots,a_n)[/math] — матрица Грама системы [math]a_1,a_2,ldots,a_n[/math] векторов пространства [math]mathbb^n[/math] . По свойству 3, теореме 2.2 и свойству 1 определителя получаем доказываемое неравенство:

4. Если [math]A[/math] — невырожденная квадратная матрица, то любой главный минор матрицы [math]A^TA[/math] положителен. Это следует из пункта 2, учитывая представление произведения [math]A^TA=G(a_1,ldots,a_n)[/math] как матрицы Грама системы линейно независимых векторов [math]a_1,ldots,a_n[/math] — столбцов матрицы [math]A[/math] (см. пункт 3).

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Коллинеарность векторов

Изоморфизм евклидовых пространств

Два евклидовых пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] называются изоморфными [math](mathbbleftrightarrow mathbb’)[/math] , если они изоморфны как линейные пространства и скалярные произведения соответствующих векторов равны:

где [math](cdot,cdot)[/math] и [math](cdot,cdot)'[/math] — скалярные произведения в пространствах [math]mathbb[/math] и [math]mathbb'[/math] соответственно.

Напомним, что для изоморфизма конечномерных линейных пространств необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали (см. теорему 8.3). Покажем, что это условие достаточно для изоморфизма евклидовых пространств (необходимость следует из определения). Как и при доказательстве теоремы 8.3, установим изоморфизм n-мерного евклидова пространства [math]mathbb[/math] с вещественным арифметическим пространством [math]mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27). В самом деле, взяв в пространстве [math]mathbb[/math] какой-нибудь ортонормированный базис [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] , поставим в соответствие каждому вектору [math]mathbfin mathbb[/math] его координатный столбец [math]xin mathbb^n

(mathbfleftrightarrow x)[/math] . Это взаимно однозначное соответствие устанавливает изоморфизм линейных пространств: [math]mathbbleftrightarrow mathbb^n[/math] . В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] пространства [math]mathbb[/math] находится по формуле

(см. пункт 1 преимуществ ортонормированного базиса). Такое же выражение дает скалярное произведение (8.27) координатных столбцов [math]x[/math] и [math]y[/math] , т.е. скалярные произведения соответствующих элементов равны

Следовательно, евклидовы пространства [math]mathbb[/math] и [math]mathbb^n[/math] изоморфны.

Таким образом, изучение конечномерных евклидовых пространств может быть сведено к исследованию вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27).

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задачи по алгебре. Выпуск 2.

Задача 1. Найти 5А, если

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 2. Найти А +В, если

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Задача 3. Найти АВ , если

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 4. Найти транспонированную матрицу относительно матрицы

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Задача 5. Найти Найти нормированный вектор ортогональный векторам , если

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 6. Найти Найти нормированный вектор ортогональный векторам , если

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 7. Вычислить определитель

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Решение: Разложим определитель по первой строке:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 8. Найти обратную матрицу для матрицы

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Определитель нулю не равен, следовательно, обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу), т. е.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Мы сами можем проверить результат, Известно, что Найти нормированный вектор ортогональный векторам . Так ли это?

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.

Задача 9. Решить систему матричным способом:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Не является ли матрица А вырожденной? Найдем ее определитель: det А =1•[-1•4 – 1•2] – 1•[2•4 – 2•4] + 2•[2•1 – 4•(-1)] = -6 + 12 = 6

Определитель не равен нулю, то есть матрица не вырожденная. Значит, существует обратная матрица

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Можно убедиться проверкой в правильности решения: подставим вектор Х в первоначальное матричное уравнение.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Действительно вектор Х удовлетворяет заданной системе.

Задача 10. Решить систему с помощью формул Крамера :

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Задача 11. Вычислить :

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Раскроем скобки и получим:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Так как Найти нормированный вектор ортогональный векторам , то получаем:

Задача 12. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Представим число z в тригонометрической форме.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам , следовательно, а=1, b =1 и Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Применим формулу Муавра:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам ,

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 13. Выполнить деление с остатком f ( x )= x 3 — x 2 — x на x -1+2 i .

Решение: Составим таблицу, в которой над чертой расположены коэффициенты многочлена f ( x ), под чертой соответствующие коэффициенты частного и остаток, последовательно вычисляемые, а слева сбоку – значение c = 1-2 i в данном примере.

Таким образом: f ( x )= x 3 — x 2 — x =( x -1+2 i ) ( x 2 -2 ix -5-2 i )-9+8 i .

Ответ : f(x)=x 3 -x 2 -x=(x-1+2i) (x 2 -2ix-5-2i)-9+8i.

Задача 14. Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам , Найти нормированный вектор ортогональный векторам , Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам ; Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 15. Проверить, что векторы х = (1, -2, 2, -3), у = (2, -3, 2, 4) ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов.

Решение: Найдем скалярное произведение данных векторов: ( х , у) = 2+6+4-12 = 0 Найти нормированный вектор ортогональный векторам х , у – ортогональны .

Найдем векторы, дополняющие данную систему векторов до ортогонального базиса.

Пусть z = (z1, z2, z 3, z 4) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Эта система имеет множество решений, например,

Пусть теперь k = ( k 1, k 2, k 3, k 4) попарно ортогонален с векторами x , y , z . Получаем следующую систему:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Эта система имеет множество решений, например,

Таким образом, можно добавить векторы

(2, 2, 1, 0), (-5, 2, 6, 1).

Задача 16. Найти векторы, дополняющие следующую систему векторов Найти нормированный вектор ортогональный векторам и Найти нормированный вектор ортогональный векторам до ортонормированного базиса.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам , Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам , Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Пусть z = (z1, z2, z 3) попарно ортогонален с данными векторами, т.е. ( x , z ) = 0 и ( y , z ) = 0. Получаем следующую систему:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Эта система имеет множество решений, например,

Нормируя этот вектор, получим вектор, дополняющий данную систему векторов до ортонормированного базиса:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 17. Доказать, что проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость натянутую на вектора e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3, является линейным преобразованием, и найти его матрицу в базисе e 1, e 2, e 3..

Решение: Пусть L — трёхмерное пространство, e 1, e 2, e 3 — базис L , преобразование Найти нормированный вектор ортогональный векторам — проектирование L на координатную плоскость векторов e 1, e 2 параллельно оси координат вектора e 3.

Пусть х — произвольный вектор L , т.е. x Î L .

Пусть x =( x 1, x 2, x 3) — координаты вектора x в базисе e 1, e 2, e 3, т.е. x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3. Тогда при преобразовании j имеем:

Докажем, что для любых x Î L , y Î L и числа l

1) j ( x+y )= j (x)+ j (y),

2) j ( l x )= l j (x).

j ( l x ) = ( l x 1, l x 2, 0) = l ( x 1, x 2, 0) = l j ( x ) .

Следовательно, j — линейное преобразование.

Найдем матрицу преобразования j в базисе e 1, e 2, e 3. Известно, что координаты образа j ( x ) вектора x при линейном преобразовании выражаются через координаты вектора x в том же базисе при помощи матрицы преобразования A j следующим образом:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Откуда следует, что

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Задача 18. Линейное преобразование φ в базисе е 1 , е2, е3, е4 имеет матрицу

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Выпишем матрицу перехода от базиса е 1234 к новому базису:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Теперь найдем матрицу преобразования В j в новом базисе по формуле В j =Т -1 А j Т.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Задача 19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Решение: Собственные значения являются корнями характеристического уравнения преобразования j .

Составим характеристическую матрицу:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найдем определитель матрицы и вычислим корни характеристического уравнения:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

= (2 — Найти нормированный вектор ортогональный векторам )(3+ Найти нормированный вектор ортогональный векторам )(2+ Найти нормированный вектор ортогональный векторам )+3-2(3+ Найти нормированный вектор ортогональный векторам )-5(2+ Найти нормированный вектор ортогональный векторам ) =

= Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам +3-6-2 Найти нормированный вектор ортогональный векторам -10-5 Найти нормированный вектор ортогональный векторам =

= 12+4 Найти нормированный вектор ортогональный векторам -3 Найти нормированный вектор ортогональный векторам -7 Найти нормированный вектор ортогональный векторам -13 = Найти нормированный вектор ортогональный векторам ,

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Получим собственные значения: Найти нормированный вектор ортогональный векторам или Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Для каждого собственного значения найдем собственный вектор.

По определению имеем: Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Но, в тоже время, Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Беря значением Найти нормированный вектор ортогональный векторам = -1, получаем с.л.а .у . :

Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Собственными векторами будут являться вектора, входящие в фундаментальную систему решений (ф.с.р.) этой с.л.а .у . Найдем ф.с.р. это с.л.а .у .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Таким образом, собственным вектором, отвечающим собственному значению Найти нормированный вектор ортогональный векторам = -1, является вектор Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Задача 20. Найти нормальный вид и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следующей квадратичной формы: Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Решение: Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам ,

после чего получим Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам , получим, что Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найдем невырожденное линейное преобразование.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам , Найти нормированный вектор ортогональный векторам , Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Задача 21. Следующую квадратичную форму привести к каноническому виду с целыми коэффициентами посредством невырожденного линейного преобразования с рациональными коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые.

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Решение: Приведем данную форму к каноническому виду:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам = =2 Найти нормированный вектор ортогональный векторам = Найти нормированный вектор ортогональный векторам

= Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам

Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам ,

Найти нормированный вектор ортогональный векторам Найти нормированный вектор ортогональный векторам

получим канонический вид квадратичной формы:

Найти нормированный вектор ортогональный векторам .

🔥 Видео

Ортогональность. ТемаСкачать

Ортогональность. Тема

A.7.3 Проекции векторов. А вот и датасайнс!Скачать

A.7.3 Проекции векторов. А вот и датасайнс!

§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

§48 Ортонормированный базис евклидова пространства

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)

Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторыСкачать

Векторы #3: многомерные системы координат, базисные векторы

2 37 Нахождение орта вектораСкачать

2 37 Нахождение орта вектора

Проекция вектора на вектор.Скачать

Проекция вектора на вектор.
Поделиться или сохранить к себе: