Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Данный урок является уроком обобщения и систематизации знаний по изученной теме.В ходе урока учащиеся имеют возможность проверить свои знания по темам «Вписанный угол» и «Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности», решить задачи открытого банка ОГЭ.

Просмотр содержимого документа
«Тема урока «Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности» 9 класс»

Урок № ____ (геометрия 9 класс)

Пропорциональность отрезков, хорд и секущих

Цель урока: закрепить свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства секущих отрезков и показать, как они используются при решении задач.

образовательная: проверить знания теоретического материала по темам «Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков, хорд и секущих»

развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;

воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.

Орг.момент (1 мин)

Проверка домашнего задания (фронтально) (3 мин.)

Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальная работа с классом. (7 мин.)

— Что такое окружность, центр окружности, радиус?

— Является ли радиусом этой окружности

-Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

— Постройте полупрямую DС. Как называется такая полупрямая?

— С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы?

— Дайте определение и назовите их на чертеже.

— Как связаны градусные меры этих углов?

— Как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются?

— Какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле нами изучены?

-Сформулируйте свойство отрезков пересекающихся хорд окружности.

-Сформулируйте свойство отрезков секущих окружности.

Тренировочные упражнения. Решение задач (14 мин.)

Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ : КА = 3 : 4.

Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Самостоятельная работа с взаимопроверкой (12 мин).

Центральный угол на 59 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол на 52 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 138 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

2)

В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 146 0 . Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

3)

Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=6 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ.

3)

Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=12 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ.

4)

Дано: ВС=12 см. ВЕ=4 см. ВА=16 см.

4)

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема о пропорциональности отрезков хорд и в секущих окружности. 22.05.2020.Скачать

Окружность. Свойства отрезков пересекающихся хорд, секущих и касательных

Презентация к уроку

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Окружность — это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

Далее продолжим работать в парах над решением простейших задач по применению этих свойств:

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

• Соображай-ка!
• Решай-ка!
• Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

4. Подведение итогов

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Видео:Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих. Геометрия 9 классСкачать

Конспект урока по геометрии на тему «Хорда»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Поурочный план по геометрии

Тема: Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Цель урока: закрепить свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства секущих отрезков и показать, как они используются при решении задач.

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность — это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр — точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius — “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие

Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS . BS=CS . DS.

Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 2,29). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 17. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и CSB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда AS . BS=CS . DS что и требовалось доказать.

Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP . BP=CP . DP.

Пусть точки А и C — ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 252). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р обпщй, а углы при вершинах Ви D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда PA . PB=PC . PD, что и требовалось доказать.

Доказать, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS.

Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис.1).

Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию 1. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда AS•BS = CS•DS ,что и требовалось доказать.

1) если из точки Р (рис.2), лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP•BP = CP•DP

2) если из точки Р (рис.3), лежащей вне окружности, проведены к ней секущая, пересекающая окружность в точках А и Б, и касательная PC, то РА•РВ = РС 2 .

Пример 1. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см.

Решение. Имеем: АЕ • BE = ED • СЕ (задача), или откуда5•2=2,5•ED , откуда ED=102,5=10025=4 (см).

Пример 2 . Из точки А, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Найти внешний отрезок второй секущей.

Решение. Обозначим через х длину внешнего отрезка второй секущей. Тогда согласно условию задачи длина внутреннего отрезка второй секущей будет х + 72. Теперь согласно утверждению 1) имеем:

Решая это уравнение, находим х = 6.

Пример 3. Из точки Р проведены к окружности касательная PC = 12 м и секущая РВ = 16 м. Найти внешнюю часть секущей АР.

Решение. Обозначим через х длину внешнего отрезка секущей. Тогда согласно утверждению 2) имеем:

Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Задача 1. Доказать, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS.

Доказательство. Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис.1).

Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию 1. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASD и С SB подобны.

Из подобия треугольников следует пропорция

Отсюда AS•BS = CS•DS ,что и требовалось доказать.

1) если из точки Р (рис.2), лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AP•BP = CP•DP

2) если из точки Р (рис.3), лежащей вне окружности, проведены к ней секущая, пересекающая окружность в точках А и Б, и касательная PC, то РА•РВ = РС 2 .

Пример 1 . Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см.

Решение. Имеем: АЕ • BE = ED • СЕ (задача), или откуда5•2=2,5•ED , откуда ED=102,5=10025=4 (см).

Стр.76-77 выучитьтеорему17, задача№200-203 стр.77

🎦 Видео

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Пропорциональные отрезки в окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Свойства отрезков хорд, касательных и секущих. Решение задач.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущихСкачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

теорема о произведении отрезков секущихСкачать

Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хордСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Геометрия. 9 класс. Теоремы о пропорциональности отрезков в окружности /15.04.2021/Скачать

ЕГЭ математика 2021: Все задачи на Секущие, хорды и касательные (6 задание)Скачать

Свойства отрезков, хорд, секущих и касательных.Скачать