Ас 2 30 мм прямые a k l m параллельны друг другу используя теорему фалеса (8 видео)

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Содержание

Формулировка теоремы
Обобщенная формулировка
Обратная теорема Фалеса
Пример задачи
ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.V №385. Докажите теорему Фалеса.
Теорема Фалеса
Формулировка теоремы Фалеса
Примеры решения задач
Историческая справка
🔍 Видео

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.

Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:

* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.

Видео:№385. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательноСкачать

Пример задачи

Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.

Решение

Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.

Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.

Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).

Видео:Геометрия 8. Урок 8 - Теорема Фалеса - теорияСкачать

ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.V №385. Докажите теорему Фалеса.

Помогите разобраться: Гл.V №385.
Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Доказательство т. Фалеса из задачи Гл.V №385.

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, . и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, . . Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, . равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁ и l₂ параллельны (рис а). Тогда A₁A₂ = В₁В₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов A₁B₁B₂A₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃.
Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В, проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис.б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному B₁C = CD. Отсюда получаем: В₁В₂ = В₂В₃ (см. задачу Гл.V №384). Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т. д.

Видео:ТЕОРЕМА ФАЛЕСА . §11 геометрия 8 классСкачать

Теорема Фалеса

Видео:Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать

Формулировка теоремы Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).

Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Примеры решения задач

Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть $AB$ — заданный отрезок (рис. 3), который необходимо разделить на четыре равные части.

Через точку $A$ проведем произвольную полупрямую $a$ и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка $AC, CD, DE, EK$ .

Соединим точки $B$ и $K$ отрезком и проведем через оставшиеся точки $C$, $D$ и $E$ прямые, параллельные прямой $BK$ так, чтобы они пересекли отрезок $AB$ .

Согласно теореме Фалеса отрезок $AB$ разделится на четыре равные части.

Теорема Фалеса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$. Отрезок $CK$ пересекает медиану $AM$ треугольника в точке $P$, причем $AK = AP$. Найти отношение $BK : PM$ .

Решение. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CK$, которая пересечет $AB$ в точке $D$ (рис. 4).

По теореме Фалеса $BD = KD$ .

По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что

$$P M=K D=frac Rightarrow B K: P M=2: 1$$

Ответ. $B K: P M=2: 1$

Видео:Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Историческая справка

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.