Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольников на три уровня
тренажёр по геометрии (8 класс) на тему

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на нахождение площади четырехугольников на 3 уровня

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Скачать:

ВложениеРазмер
zadachi_na_ploshchad_po_urovnyam.docx15.04 КБ

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Предварительный просмотр:

Задачи 1 уровня

1.Найдите площадь прямоугольника, если его длина 2 дм, а ширина 4 см.

2.Найдите площадь параллелограмма, если одна из его сторон равна 6 см , а высота, проведенная к этой стороне, равна 9 см.

3.Катеты прямоугольного треугольника 12 и 8см. Найдите площадь треугольника.

4.Найдите площадь прямоугольника, если его длина 110 см, а ширина 10 м.

5.Найдите площадь прямоугольной трапеции, если основания равны 8 см и 10 см, а боковая сторона, перпендикулярная нижнему основанию равно 5 см.

6.Найдите площадь прямоугольника, если его длина 15 дм, а ширина 20 м.

7.Основания трапеции 6см и 8 см, высота 2 см. Найдите площадь трапеции.

8.Основания трапеции 9 см и 1 см, высота 4 см. Найдите площадь трапеции.

9.Основание треугольника 16, а высота, проведенная к основанию 5. Найдите площадь треугольника.

10.Основание параллелограмма равно 20, а высота, проведенная к основанию равна 7. Найдите площадь параллелограмма.

Задачи 2 уровня.

1.Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

2.Найдите площадь ромба с диагоналями 5см и 8 см.

3.Стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

4.Периметр квадрата 40 см. Найдите его площадь.

5.Площадь квадрата 81 кв. см. Найдите его периметр.

6.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты 8 см и 15 см.

7.Основание равнобедренного треугольника 16 см, а медиана, проведенная к основанию, равна 6 см. Найдите площадь треугольника.

8.Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

Задачи 3 уровня.

1.Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

2.Высоты параллелограмма равны 3 см и 4 см, острый угол между сторонами равен 30 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

3.Найдите площадь трапеции со сторонами 6 см, 6 см, 10см и 14 см, если угол между боковой стороной и нижнем основанием 30 градусов.

4.Стороны параллелограмма равны 8 см и 15 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

5.Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты 8 см и 6 см., а гипотенуза равна 10 см

Видео:Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.Скачать

Геометрия 8. Урок 12 - Площадь четырехугольников. Формулы.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Площади четырехугольников

Материал для обобщающего урока по теме «Площади четырехугольников» для 8 класса, представляющий различные формы работы с обучающимися.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Зачет по геометрии в 8 классе по теме «Площади четырехугольников»

Карточка для зачета , 2 варианта.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Разработка урока-соревнования в 8 классе по геометрии на тему «Четырехугольники. Свойства, признаки и площади четырехугольников»

Материал урока систематизирует и обобщает знания о четырехугольниках, их свойствах, признаках, площадях.

Презентация. Решение задач на вычисление площадей четырехугольников.

Данная презентация содержит задачи на вычисление площадей многоугольников: прямоугольника, параллелограмма, а также треугольника, трапеции с применением свойств площадей многоугольников, свойств.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Учебный элемент к уроку геометрии по теме: «Четырехугольники. Формулы для нахождения площадей четырехугольников «

Учебный элемент содержит теоретический материал по данной теме и примеры задач.

Урок геометрии в 8 классе «Решение задач на вычисление площади четырехугольников»

Урок обобщения по теме «Площадь четырехуголников&quot.

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

8 класс, 15 урок, Площадь трапеции

Решение задач на вычисление площадей с примерами вычисления и определения

Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей.

Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры).

В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры.

Пример:

Найдите площадь трапеции, в которой одно из оснований равно 24 см, высота 12 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см.

Решение:

Пусть Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

1) Для трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 152, а): из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециипо теореме Пифагора имеем Задачи на площадь четырехугольника и трапециианалогично из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииимеем Задачи на площадь четырехугольника и трапециитогда Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

2) Для трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 152, б): из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециипо теореме Пифагора имеем Задачи на площадь четырехугольника и трапециианалогично из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииимеем Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

3) Для трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 152, в): из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециипо теореме Пифагора имеем Задачи на площадь четырехугольника и трапециианалогично из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииимеем Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

4) Для трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 152, г): из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециипо теореме Пифагора имеем Задачи на площадь четырехугольника и трапециианалогично из треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииимеем Задачи на площадь четырехугольника и трапециитогда Задачи на площадь четырехугольника и трапециит.е. точки Задачи на площадь четырехугольника и трапециирасположены на прямой в указанном порядке.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции
Ответ: Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании.

Пример:

Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция Задачи на площадь четырехугольника и трапецииЗадачи на площадь четырехугольника и трапецииЗадачи на площадь четырехугольника и трапеции

Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам Задачи на площадь четырехугольника и трапециии Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Такое решение позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек Задачи на площадь четырехугольника и трапецииотрезку Задачи на площадь четырехугольника и трапециинужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение.

Решение:

Проведем через вершину Задачи на площадь четырехугольника и трапециипрямую Задачи на площадь четырехугольника и трапециипараллельную Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 154).

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Поскольку по построению Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— параллелограмм, то Задачи на площадь четырехугольника и трапецииследовательно, Задачи на площадь четырехугольника и трапецииСтороны треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециипропорциональны числам 3, 4, 5, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, он является прямоугольным с гипотенузой Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

По формуле Задачи на площадь четырехугольника и трапециинаходим высоту этого треугольника, которая одновременно является и высотой трапеции: Задачи на площадь четырехугольника и трапецииСледовательно, Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Ответ: 270 Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение.

Пример:

Диагонали трапеции равны 30 см и 40 см и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию.

Решение:

Пусть дана трапеция Задачи на площадь четырехугольника и трапециив которой Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапецииПроведем через вершину Задачи на площадь четырехугольника и трапециипрямую Задачи на площадь четырехугольника и трапециипараллельную диагонали Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 155).

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Очевидно, что по построению угол Задачи на площадь четырехугольника и трапециибудет прямым, т.е. треугольник Задачи на площадь четырехугольника и трапециипрямоугольный с гипотенузой Задачи на площадь четырехугольника и трапецииС другой стороны, Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— параллелограмм, тогда Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Обратим внимание на то, что треугольники Задачи на площадь четырехугольника и трапецииравновеликие, поскольку Задачи на площадь четырехугольника и трапецииа высоты, проведенные к этим сторонам, являются высотами трапеции. Таким образом, Задачи на площадь четырехугольника и трапециит.е. искомая площадь трапеции равна площади треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециикоторая, в свою очередь, равна полупроизведению его катетов:
Задачи на площадь четырехугольника и трапеции
Ответ: 600 Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Видео:Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. ЗадачиСкачать

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. Задачи

Применение площадей

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть Задачи на площадь четырехугольника и трапециис коэффициентом Задачи на площадь четырехугольника и трапециит.е. Задачи на площадь четырехугольника и трапецииДокажем, что

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Проведем в данных треугольниках высоты Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 161).

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Прямоугольные треугольники Задачи на площадь четырехугольника и трапецииподобны, поскольку Задачи на площадь четырехугольника и трапецииЭто означает, что Задачи на площадь четырехугольника и трапециит.е. Задачи на площадь четырехугольника и трапецииУчитывая, что Задачи на площадь четырехугольника и трапецииимеем:

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Пример:

Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8 Задачи на площадь четырехугольника и трапецииНайдите площадь данного треугольника.

Решение:

Пусть Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— средняя линия треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециипараллельная стороне Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 162), Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Треугольники Задачи на площадь четырехугольника и трапецииподобны по двум сторонам и углу между ними, причем Задачи на площадь четырехугольника и трапецииТогда по доказанной теореме Задачи на площадь четырехугольника и трапецииоткуда Задачи на площадь четырехугольника и трапеции
Ответ: Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Метод площадей

Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть дан параллелограмм со сторонами Задачи на площадь четырехугольника и трапециик которым проведены высоты Задачи на площадь четырехугольника и трапециидлину которой необходимо найти (рис. 163).

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

По формуле площади параллелограмма Задачи на площадь четырехугольника и трапецииоткуда Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Таким образом, Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей.

Заметим, что из формул площади параллелограмма Задачи на площадь четырехугольника и трапециии площади треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииследует важное утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.

Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверждений.

Пример:

Сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть точка Задачи на площадь четырехугольника и трапециилежит внутри равностороннего треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапециисо стороной Задачи на площадь четырехугольника и трапециии Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— расстояния от данной точки до сторон треугольника (рис. 164).

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Соединим точку Задачи на площадь четырехугольника и трапециис вершинами треугольника. Площадь треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииравна сумме площадей треугольников Задачи на площадь четырехугольника и трапециии Задачи на площадь четырехугольника и трапециив которых отрезки Задачи на площадь четырехугольника и трапецииявляются высотами. Имеем:

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Отсюда Задачи на площадь четырехугольника и трапециит.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Другие доказательства теоремы Пифагора

Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур:

  • площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны».

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь.

Докажем теорему Пифагора с помощью площадей.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Задачи на площадь четырехугольника и трапециии гипотенузой Задачи на площадь четырехугольника и трапеции(рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной Задачи на площадь четырехугольника и трапециитак, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна Задачи на площадь четырехугольника и трапецииПостроенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью Задачи на площадь четырехугольника и трапециии четырехугольника со сторонами длиной Задачи на площадь четырехугольника и трапециикоторый является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем: ^

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

т.е. Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции
Сумма углов многоугольника
Сумма углов выпуклого Задачи на площадь четырехугольника и трапеции-угольника равна Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции
Сумма внешних углов выпуклого Задачи на площадь четырехугольника и трапеции-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции
Описанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат в этой окружности.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Описанный многоугольник.

Многоугольником называют описанным около окружностей, если все его стороны касаются этой окружности.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Аксиомы площадей

  1. Равные многоугольники имеют равные площади.
  2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
  3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— стороны прямоугольника.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— сторона квадрата

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— сторона параллелограмма,

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— проведенная к ней высота

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— сторона треугольника, Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— проведенная к ней высота.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапецииЗадачи на площадь четырехугольника и трапеции— катеты прямоугольного треугольника.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— сторона треугольника.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— диагонали ромба.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции Задачи на площадь четырехугольника и трапециигде Задачи на площадь четырехугольника и трапецииоснование трапеции, Задачи на площадь четырехугольника и трапеции— высота трапеции.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Историческая справка:

Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня.

Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон.

В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом Задачи на площадь четырехугольника и трапециибрали сумму членов натурального ряда от 1 до Задачи на площадь четырехугольника и трапециит.е. число Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника Задачи на площадь четырехугольника и трапецииЕе обосновал средневековый математик Герберт, который в X ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра II.

Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики!

Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар
  • Четырехугольник
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Геометрия. Урок 4. Четырехугольники

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение четырехугольника
  • Выпуклые четырехугольники
  • Параллелограмм

Видео:Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать

Трапеция, решение задач. Вебинар | Математика

Определение четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые ( A B C D ) и невыпуклые ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) .

Задачи на площадь четырехугольника и трапеции

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Выпуклые четырехугольники

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: A B и A D , A B и B C , B C и C D , C D и A D .

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: A B и C D , B C и A D .

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C , B и D .

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. A C и B D – диагонали четырехугольника A B C D .

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S = 1 2 d 1 d 2 ⋅ sin φ

где d 1 и d 2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов : параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций : произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны равны.
  • Противоположные углы равны.
  • Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 ° .
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d 1 2 + d 2 2 = 2 ( a 2 + b 2 )

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Видео:Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | Математика

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90 ° .

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны.
  • Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Видео:Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать

Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Сохраняет свойства ромба.
  • Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

Как квадрат стороны.

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Видео:8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12Скачать

8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями , другие две стороны называются боковыми сторонами .

B C и A D – основания, A B и C D – боковые стороны трапеции A B C D .

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m = a + b 2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

💥 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№11 - Площадь трапеции.)

Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Задача первоклассника в 1 шаг! Невероятное решение!Скачать

Задача первоклассника в 1 шаг! Невероятное решение!

Найдите площадь четырёхугольникаСкачать

Найдите площадь четырёхугольника

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 10 "Площадь четырехугольника"

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shorts
Поделиться или сохранить к себе: